高中數學題型講義直線與圓

1、直 線 與 圓 題 型 庫（1）知識精髓n 直線方程² 二個概念（斜率、傾斜角）² 三個距離（點點、點線、平行線間）² 四組關系（相交、平行、垂直、對稱）² 五種形式（點斜（標準）、斜截、兩點、截距、一般）n 圓方程² 兩種形式（標準、一般）² 三種關系（點圓、線圓、圓圓）重點難點：直線間關系 難點：對稱關系；直線旋轉一定角度后的斜率計算，如過圓外固定點的兩條切線或割線斜率計算。直線與圓間關系圓與圓間關系溫馨提示：時刻不要忘記斜率不存在情況的討論主干題型思維路徑l 傾斜角范圍討論T1*已知，求直線的傾斜角范圍？T2（SDM10）* ，

2、求其傾斜角范圍？T1:,T2：，因為如圖：直線越靠近y軸，斜率絕對值越大，反之亦然本題中，其絕對值，直線越靠近x軸，所以傾斜角是溫馨提示：傾斜角范圍一般由斜率范圍反演，有兩種情形：兩邊和中間，即：；斜率逆時針增大：0à,跨過y軸后，à0 正切函數在上單增斜率絕對值越大，直線越靠近y軸，絕對值越小，直線越靠近x軸。l 斜率范圍討論T1*直線過點且與以為端點的線段相交，求直線的斜率范圍？T1:求直線斜率范圍，要重點分析動直線是否存在“垂直狀態(tài)”情形，若存在，則分兩類：>0和<0,若不存在，則要么是在.>0類范圍，要么在<0類范圍。通過圖形可知本題動直線存

3、在“垂直狀態(tài)”的情況，因此分兩類討論。l 求直線方程（求斜率和過點，點斜式是根本）T1*直線經點，且兩坐標上的截距相等，求直線方程？T2*過點的直線交兩軸于A,B兩點，求（1）當面積最小時直線方程？（2）最小時直線方程？T1：這種類型的題高考不會考，屬于基本功題型；但必須熟練掌握，為高考題打下基礎；T2：這類題屬于條件約束下的直線方程問題，通解思路就是根據條件選擇合適直線方程形式，寫出含參的直線方程形式，根據約束條件建立參數方程，進而求出參數即可。這也是所有這類題型的通用解法。直 線 與 圓 題 型 庫（2）主干題型思維路徑l 兩條直線的平行與垂直T1*（AH10）過點且與直線平行（垂直）的直

4、線方程是？T2*已知兩條直線，試求兩直線平行、垂直時的值?？旖萏崾荆褐灰婕暗街本€問題，就得單拎出斜率不存在的情況進行分析。T1、略。T2：先分析特殊情形：軸：，此時：再分析一般情形：然后再以上的兩種情況下分別從平行和垂直約束下求參數值l 兩直線交點問題T1*直線過兩直線和，且垂直于直線的直線方程？T2*（BJM10）直線與直線的交點位于第一象限，則范圍？T1、求出交點和斜率，點斜式寫出即可。T2：可通過圖象分析求得。l 距離問題T1*求過點（-2，2）且與點（-1,1）的距離為1的直線方程？T2*直線及點A（4,1），B（0,4），C（2,0）求（1）在直線上求一點P，使得AP+CP最??；（

5、2）在直線上求一點Q，使得AQ-BQ絕對值最大。T1：分特殊情況和一般情況進行分類分析；T2：圖形如圖： 同側 兩側l 中點問題T1*過點P（3，0）作直線使它被兩條直線所截得線段恰好被P點平分，求直線方程？T1：中點問題一般是設中點線段坐標，然后中點公式表示中點，如本題：可設線段的一個端點是，另一個端點，則可列出四個方程（斜率和中點：2+2），然后只要求出一個端點，則就能把中點線段方程寫出，直 線 與 圓 題 型 庫（3）主干題型思維路徑l 點對稱問題T*直線：關于點（2,3）對稱的直線方程？T：思路1：軌跡法：所求直線上任一點關于對稱點（2,3）的對稱點（中點關系）在已知直線上，因此：思路

6、2：點對稱直線平行且對稱點到兩直線距離相等。利用這個幾何關系列方程也可。l 軸對稱問題T*直線，直線，直線與直線關于直線對稱，求直線方程？T：思路1：軌跡法：直線上任一點關于直線的對稱點一定在已知直線上，其中軸對稱點關系：連線垂直對稱軸+中點在對稱軸上思路2：具體點：在已知直線上取一具體點（0,4），然后求出其關于對稱對稱的點（），然后與對稱軸和已知直線交點用兩點式寫出直線方程?？偠灾褪堑妊切侮P系主干題型思維路徑l 求圓方程T1*圓半徑為，圓心在直線上，圓被直線截得弦長為，求圓標準方程？T2*圓心在軸上，半徑為的圓O位于y軸左側，且與直線相切，則圓方程？T3*（KB10L）過點（1,4

7、）的圓C與直線相切于點B（2,1）則圓C的方程為？圓就抓圓心。因此本類題關鍵是要把圓心的坐標求出，見弦就垂徑！，垂徑后解直角三角形！解略。l 與圓有關的最值問題T1*已知方程，求（1）范圍；（2）求的范圍；（3）求的范圍？T2*（CQ11）在圓內，過點E（0,1）的最長弦和最短弦分別為AC、BD，則四邊形ABCD的面積為？T1：已知方程是一條幾何曲線，所求表達也是一種幾何度量，綜合兩者求出其范圍。所求表達一般有三種形式結構：，直線平移中的截距范圍（如：線性規(guī)劃）；：以點為圓心的圓半徑范圍；：曲線上點與點連線的斜率范圍。T2：最長弦：直徑；最短弦：中點弦。直 線 與 圓 題 型 庫（4）主干題型

8、思維路徑l 與圓有關的軌跡問題T1（GD11*設圓C與兩圓中的一個內切，另一個外切，（1）求圓C的圓心軌跡方程（2）已知點且P為L上動點，求的最大值及此時點P的坐標。T1：（1）求軌跡方程首先把軌跡點的坐標設為，然后根據題目約束條件求出方程即可。題目約束關系為：或，然后根據題目條件求方程關系。（2）由（1）可知軌跡L是一組焦點在x軸上的雙曲線，已知點M、F分布于一支雙曲線的兩側，MF連線與雙曲線的交點即為所求。 （2，l 圓的一般方程應用T（HB10M）*若方程表示圓，求參數取值范圍，并求出其半徑最小的圓方程.T:圓的一般方程中參數的范圍核心約束就是“半徑表達”>0且二次項系數因此首先，

9、然表達半徑，轉化為二次反比例復合函數的值域問題l 綜合求圓方程T（HN10M）*根據下列條件求圓方程：（1） 過點和坐標原點，且圓心在直線上；（2） 圓心在直線相切于點P（3，-2）（3） 過三點T：（1）標準方程（2）思維1：標準方程，思維2：切線關系。（3）思維1：一般方程；思維2：兩條線段中垂線交點為圓心直 線 與 圓 題 型 庫（5）直線與圓關系知識精髓² 兩個問題：切線和弦長切線方程：圓方程，過點的切線方程為： 特殊情形：，過點的切線方程為： 以上公式推理邏輯：幾何法：圓心切點連線垂直切線，切點在切線和圓上；代數法：斜截式直線斜率滿足相交方程關系。當然也可以利用導數工具。注

10、意：不要忘記斜率不存直線的討論！弦長問題：圓截直線弦：幾何法和代數法。幾何法（垂徑關系下的勾股定理）在圓中首選，代數法通用于所有曲線弦問題。² 三種直線與圓的關系：相交、相切、相離（代數法：；幾何法：圓心到直線的距離與半徑關系）² 四種圓與圓的關系：相交、內切、外切、相離（外離、內含）幾何法：圓心和（差）與半徑和（差）關系）² 圓系方程：同心圓系：或 過兩圓交點圓系：，（，不包括圓2）兩圓公共弦直線方程：溫馨提示：遇到圓的問題時，多用幾何關系，輔以代數處理。主干題型思維路徑l 直線與圓的關系T1（SH11）*直線與圓的位置關系是什么？T2（SDM11）*將圓沿x軸

11、正方向平移1個單位后得圓C，若過點（3,0）的直線和圓C相切，則直線的斜率=？T3（LN09L）*圓C與直線及都相切，圓心在直線上，則圓C的方程為？T4(JX11L)*若曲線與曲線有四個不同交點，則參數取值范圍？T5（SX12）*圓C：，過點（3,0），則的關系為？(先判斷定點與圓C的關系：內部，因此相交)T1：遇到參數直線形式，一定要找到變中的不變，要不過定點（繞定點轉動），要不斜率不變（傾斜一定平移），本題直線過定點，然后再考察定點與圓的關系，代入計算知：在圓內，因此直線與圓相交。當然也可以計算圓心到直線距離表達后與半徑比較；或者計算相交二次方程的T2：幾何法：畫出切線直角三角形，并根據直

12、角三角形三邊長計算切線斜率。代數法：圓心（1,0）到直線的距離=半徑，求出。T3：畫圖從幾何關系入手分析。T4：曲線是由直線和【過定點（-1,0）】組成，畫圖后可知，兩條臨界直線是斜率為，旋轉過程中不能與y=0重合（四個交點）。直 線 與 圓 題 型 庫（6）主干題型思維路徑l 弦長與中點弦問題T1*圓內一點，過點P的直線的傾斜角為，直線交圓于A、B兩點，（1）當時，AB的長為？（2）當弦AB被點P平分時，求直線方程。T2（JX10）*直線與圓相交于M、N兩點，若，則取值范圍？（過圓外一定點的定值弦長問題）T3*直線上一點向圓引切線，則切線長最小為？T4（HB11M）*過點P（3,4）作圓的兩

13、條切線，切點為A、B，則線段AB長為？T5（JS12L）*圓C方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則的最大值是？T1：（1）垂徑直角關系求之 （2）思維1：設出A、B兩點坐標，列出在圓上的方程，兩式相減求出斜率。思維2：挖掘幾何關系：圓心與弦中點P連線后垂直弦，中點又在弦上。直線方程可求。T2：幾何法：如圖：過圓外一定點固定弦長定點P與圓心連線斜率，利用垂徑定理可算出上下對稱角的正切值上切線的斜率下切線的斜率 傾斜角的和差關系（正切和差公式）代數法：表達出，然后滿足T3：遇到切線連圓心和切點，然后解切心直角三角形：動點P，圓心M，切點Q，則,因此切線長由動點與圓心連線長決定。T4：AB的一半是切心直角三角形斜邊上的高，切心直角三角形三邊都可算出。T5：此題中的邏輯變化有兩方面：直線旋轉+每條直線上不同的圓心。分析多方向變化情形時，要先固定其余變化，分析其余不變的情形下單向變化影響。如此題：先固定直線方向（斜率固定），然后圓