高階系統(tǒng)的時(shí)域分析課程設(shè)計(jì)

1、課程設(shè)計(jì)任務(wù)書(shū)題 目: 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析 初始條件：設(shè)單位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為要求完成的主要任務(wù): （包括課程設(shè)計(jì)工作量及其技術(shù)要求，以及說(shuō)明書(shū)撰寫(xiě)等具體要求）（1） 當(dāng)K=10，a=1，b=4時(shí)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2） 如穩(wěn)定，則求取系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)、單位斜坡響應(yīng)和單位加速度響應(yīng)，用Matlab繪制相應(yīng)的曲線，并計(jì)算單位階躍響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，計(jì)算單位斜坡響應(yīng)和單位加速度響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。（3） 如不穩(wěn)定，則計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K、a和b的取值范圍，在穩(wěn)定范圍內(nèi)任取一值重復(fù)第2個(gè)要求。（4） 繪制a=1，b=4時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。時(shí)間安排：任 務(wù)時(shí) 間（天）指導(dǎo)老師下達(dá)任

2、務(wù)書(shū)，審題、查閱相關(guān)資料2分析、計(jì)算3編寫(xiě)程序2撰寫(xiě)報(bào)告2論文答辯1指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日系主任（或責(zé)任教師）簽名： 年 月 日目 錄1 高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型12 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析13 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析33.1 單位階躍響應(yīng)43.1.1 求單位階躍響應(yīng)43.1.2 單位階躍響應(yīng)動(dòng)態(tài)性能73.1.3 單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能93.2 單位斜坡響應(yīng)103.2.1 求單位斜坡響應(yīng)103.2.2 單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能113.3 單位加速度響應(yīng)113.3.1 求單位加速度響應(yīng)113.3.2 單位加速度響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能134 系統(tǒng)根軌跡135 設(shè)計(jì)心得體會(huì)15參考文獻(xiàn)15高階系統(tǒng)的時(shí)域分析1 高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

3、一個(gè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為：對(duì)分子、分母進(jìn)行因式分解，得到零極點(diǎn)形式： (1)式(1)中，K=b0/a0；zi ,pj分別為系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)。本設(shè)計(jì)給定的單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 (2)則其閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假設(shè)為負(fù)反饋）： (3)2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于s左半平面。若求出閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根，就可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但對(duì)于高階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，求特征方程根很困難，并且不易對(duì)參數(shù)進(jìn)行分析?，F(xiàn)使用一種不用求解特征根來(lái)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法勞斯穩(wěn)定判據(jù)。設(shè)系統(tǒng)的特征方程為，則可列出勞斯表如表1所示。

4、表1 勞斯表按照勞斯穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：勞斯表中第一列各值均為正。否則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列各系數(shù)符號(hào)改變次數(shù)即為特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。當(dāng)K=10，a=1，b=4時(shí)，代入式(3)得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：D(s)=s4+5s3+12s2+18s+40=0. 按勞斯判據(jù)可列出如下勞斯表：由于勞斯表第一列數(shù)值符號(hào)有兩次變化，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，且存在2個(gè)正實(shí)部根。現(xiàn)繼續(xù)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)求原給定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K，a，b的取值范圍。原給定系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：D(s)=s4+(4+a)s3+(8+4a)s2+(8a+K)s+Kb=0，按勞斯判據(jù)可列出如下勞斯表：根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，

5、令勞斯表中第一列各元素為正，即：即K、a和b必須滿足： (4)系統(tǒng)才穩(wěn)定。3 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析取K=15，a=2，b=2時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) (5)分析，此時(shí)K、a、b的值滿足不等式組(4)，系統(tǒng)穩(wěn)定。3.1 單位階躍響應(yīng) 求單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入r(t)=1(t)，R(s)=1/s.對(duì)于n（n3）階系統(tǒng)先將系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)一般形式化成如(1)式所示零極點(diǎn)形式，則在單位階躍輸入作用下，系統(tǒng)輸出可表示為（假設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)均不相同）：將該式展開(kāi)成部分分式的形式，響應(yīng)可表示為式中，A0、Aj(j=1,2,q)、Bk和Ck(k=1,2,r)是由部分分式展開(kāi)時(shí)獲得的系數(shù)。對(duì)上式取拉普拉斯反變換得到系統(tǒng)

6、時(shí)域響應(yīng)表達(dá)式：由上式可知，高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量組成。對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，上式瞬態(tài)響應(yīng)分量的指數(shù)衰減項(xiàng)和正弦衰減項(xiàng)均隨響應(yīng)時(shí)間t趨于無(wú)窮而趨于零，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。各瞬態(tài)分量在過(guò)渡過(guò)程中所起作用的大小，將取決于它們的指數(shù)的值及相應(yīng)系數(shù)項(xiàng)Aj、Bk、Ck的大小。在瞬態(tài)過(guò)程中，某衰減項(xiàng)的指數(shù)|pj|或的值越大，則該項(xiàng)衰減越快，反之亦然。而|pj|和就是系統(tǒng)的極點(diǎn)到虛軸的距離。因此，如果分布在s平面左半部分的極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，則它對(duì)應(yīng)的分量衰減越快。顯然，對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點(diǎn)。各衰減項(xiàng)的系數(shù)不僅與相應(yīng)的極點(diǎn)在s平面中的位置有關(guān)，而且還與

7、零點(diǎn)的位置有關(guān)。極點(diǎn)的位置距原點(diǎn)越遠(yuǎn)，則相應(yīng)分量的系數(shù)越小，該分量對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的影響就越小。如果某極點(diǎn)與零點(diǎn)很靠近，則相應(yīng)分量的系數(shù)也很小，這時(shí)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的影響也將很小。因此，高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性主要由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中那些靠近虛軸而又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的極點(diǎn)來(lái)決定。如果高階系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)（或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）離虛軸最近，且其附近又無(wú)零點(diǎn)存在，而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的五倍以上，則可近似地認(rèn)為系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性由這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)來(lái)確定，而其它極點(diǎn)的影響可以忽略不計(jì)，這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)就稱為高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。下面以選取的系統(tǒng)進(jìn)行分析，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為上面的式(5)。在

8、單位階躍輸入作用下，系統(tǒng)輸出為對(duì)上式進(jìn)行部分分式展開(kāi)：對(duì)部分分式進(jìn)行拉普拉斯反變換，并設(shè)初始條件全部為零，得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： (6)對(duì)于高階系統(tǒng)，用上述解析法求解系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)比較復(fù)雜，若借助MATLAB軟件將十分簡(jiǎn)單。MATLAB中tf2zp()函數(shù)能將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為零極點(diǎn)模型，residue()函數(shù)可以直接求出傳遞函數(shù)部分分式展開(kāi)，由這些結(jié)果可以直接寫(xiě)出系統(tǒng)的輸出解析解。另外，利用step()函數(shù)還能準(zhǔn)確繪制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線。式(5)所表示系統(tǒng)可以用下面的MATLAB語(yǔ)句求解系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。num=15 30;den=1 6 16 31 30; %描述閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子

9、、分母多項(xiàng)式sys=tf(num,den); %高階系統(tǒng)建模z,p,k=tf2zp(num,den);%對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行因式分解zpk(z,p,k) %給出閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式r,p,k=residue(num,den,0) %對(duì)C(s)部分分式展開(kāi) %在分母多項(xiàng)式后補(bǔ)零相當(dāng)于乘以sstep(sys) %繪制高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線grid %添加?xùn)鸥駎itle(單位階躍響應(yīng)); %標(biāo)注標(biāo)題xlabel(t); ylabel(c(t); %標(biāo)注橫、縱坐標(biāo)軸程序運(yùn)行后得到系統(tǒng)零極點(diǎn)形式、部分分式展開(kāi)式，這里不列出。繪制的單位階躍響應(yīng)曲線如圖1所示。 圖1 單位階躍響應(yīng)曲線由(6)式單位階躍響

10、應(yīng)時(shí)域表達(dá)式可知系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)，單位階躍響應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)和阻尼正弦余弦項(xiàng)均趨近于零，穩(wěn)態(tài)輸出為常數(shù)項(xiàng)1，這與用MATLAB繪制的響應(yīng)曲線相符。現(xiàn)將(6)式中三個(gè)瞬態(tài)分量曲線用MATLAB軟件畫(huà)出，如圖2所示。其中曲線1為瞬態(tài)分量，曲線2為分量，曲線3為分量.由比較曲線可以看到，各分量的衰減速率和初始值都與相應(yīng)的極點(diǎn)到虛軸的距離密切相關(guān)。與e-3t項(xiàng)相比，e-0.5t項(xiàng)具有慢得多的衰減速率。因此，對(duì)于除了t趨近于零以外的所有時(shí)間，e-3t項(xiàng)在合成的時(shí)域響應(yīng)中的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)。所以可以說(shuō)，e-0.5t項(xiàng)在響應(yīng)中起著主導(dǎo)作用，相應(yīng)地，s = -0.5±2.1794i是該系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。圖2

11、單位階躍響應(yīng)瞬態(tài)分量比較 單位階躍響應(yīng)動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)是指穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間t的變化狀況的指標(biāo)，體現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程特征。用解析法求解高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)很困難，這里用MATLAB編程求解。調(diào)用單位階躍響應(yīng)函數(shù)step()，獲得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，當(dāng)采用y,t=step(sys)的調(diào)用格式時(shí)，將返回值y及相應(yīng)的時(shí)間t，通過(guò)對(duì)y和t進(jìn)行計(jì)算，可以得到高階系統(tǒng)各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。利用MATLAB編程求取系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)流程圖如圖3所示。圖3 求取系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能程序流程圖利用MATLAB編程求取系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)程序如下：sys=tf(15 30,1 6 16 31 30);

12、 %系統(tǒng)建模 %計(jì)算峰值時(shí)間tp和對(duì)應(yīng)最大超調(diào)量MpC=dcgain(sys) %取系統(tǒng)終值y,t=step(sys); %求取單位階躍響應(yīng)，返回變量輸出y和時(shí)間tY,k=max(y); %求輸出響應(yīng)的最大值Y（即峰值）和位置ktp=t(k) %取峰值時(shí)間Mp=(Y-C)/C %計(jì)算最大超調(diào)量 %計(jì)算上升時(shí)間trn=1;while y(n)<C %循環(huán)求取第一次到達(dá)終值時(shí)的時(shí)間 n=n+1;endtr=t(n) %計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間(誤差帶取2%)i=length(t); %求取仿真時(shí)間t序列的長(zhǎng)度while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C) i=i-1

13、;endts=t(i)程序運(yùn)行后，輸出結(jié)果為：C=1tp=1.8265Mp=0.3685tr=1.2645ts=7.5868即上升時(shí)間為1.2645s，峰值時(shí)間為1.8265s，最大超調(diào)量為36.85%，并且系統(tǒng)在7.5868s后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。 單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能是系統(tǒng)在典型輸入作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)輸出量的最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。穩(wěn)態(tài)性能分析主要是指穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量?，F(xiàn)采用靜態(tài)誤差系數(shù)法計(jì)算單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差。將K=15，a=2，b=2代入（2）式，得待分析系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，其靜態(tài)位置誤差系數(shù)為：所以單位階躍輸入作用下系統(tǒng)的穩(wěn)

14、態(tài)誤差為：3.2 單位斜坡響應(yīng) 求單位斜坡響應(yīng)單位斜坡輸入，此時(shí)展開(kāi)為部分分式：對(duì)部分分式進(jìn)行拉普拉斯反變換，并設(shè)初始條件全部為零，得系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)： (7)用MATLAB繪制系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)曲線使用lsim()函數(shù)，lsim()可以繪制線性定常系統(tǒng)在任意輸入信號(hào)作用下的時(shí)間響應(yīng)曲線，程序代碼如下：sys=tf(15, conv(1 3,1 1 5); %系統(tǒng)建模t=0:0.01:10; %響應(yīng)時(shí)間u=t; %單位斜坡輸入lsim(sys,u,t) %單位斜坡響應(yīng)gridxlabel(t); ylabel(c(t) %標(biāo)注橫、縱坐標(biāo)軸title(單位斜坡響應(yīng)); %標(biāo)注標(biāo)題程序運(yùn)行后得到系

15、統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)曲線如圖4所示。圖4 單位斜坡響應(yīng)曲線由(7)式單位斜坡響應(yīng)時(shí)域表達(dá)式分析可知，本系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量為(t-0.5333)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出速度恰好與單位斜坡輸入速度相同，即系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入，在位置上存在穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，這與圖4所示曲線相符合。 單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能待分析系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，其靜態(tài)速度誤差系數(shù)為所以系統(tǒng)在單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為3.3 單位加速度響應(yīng) 求單位加速度響應(yīng)單位加速度輸入，此時(shí)展開(kāi)為部分分式形式：對(duì)部分分式進(jìn)行拉普拉斯反變換，并設(shè)初始條件全部為零，得系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)：(8)下面用MATLAB繪制系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)曲線，仍然使用lsim(

16、)函數(shù)。在MATLAB工作空間中輸入如下程序代碼：num=15; den=conv(1 3,1 1 5); sys=tf(num,den); %系統(tǒng)建模t=0:0.01:10; %響應(yīng)時(shí)間序列u=0.5*t.2; %單位加速度輸入lsim(sys,u,t) %繪制單位加速度響應(yīng)曲線gridxlabel('t'); ylabel('c(t)');title('單位加速度響應(yīng)');程序運(yùn)行后，得到系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)曲線如圖5所示。由(8)式單位加速度響應(yīng)時(shí)域表達(dá)式分析可知，系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出為()，穩(wěn)定時(shí)系統(tǒng)不能跟蹤加速度輸入，隨響應(yīng)時(shí)間t

17、的增大，穩(wěn)態(tài)位置誤差將越來(lái)越大，從圖5所示單位加速度響應(yīng)曲線也可以看出。圖5 單位加速度響應(yīng)曲線 單位加速度響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能待分析系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，其靜態(tài)速度誤差系數(shù)為：所以在單位加速度輸入作用下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：4 系統(tǒng)根軌跡繪制a=1，b=4時(shí)系統(tǒng)的根軌跡圖，將a、b的值代入式(2)，得到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 (9)MATLAB中提供了rlocus()函數(shù)，可以直接用于繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。先在MATLAB中輸入系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，然后調(diào)用rlocus()函數(shù)就可以繪制出精確的根軌跡曲線，具體MATLAB程序代碼如下：num=1 4; den=conv(1 0,conv(1 4 8,1 1

18、);sys=tf(num,den);rlocus(sys) %繪制根軌跡圖title(根軌跡圖)xlabel(實(shí)軸); ylabel(虛軸);程序運(yùn)行后，得到系統(tǒng)根軌跡圖如圖6所示。圖6 系統(tǒng)根軌跡圖單擊根軌跡上的點(diǎn)，則可以顯示出該點(diǎn)處的增益值和其他相關(guān)信息。例如，若單擊根軌跡和虛軸相交的點(diǎn)，則可以得出該點(diǎn)處增益的臨界值為6.64，如圖6所示?？梢钥闯?，當(dāng)0<K<6.64時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。5 設(shè)計(jì)心得體會(huì)對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析，運(yùn)用經(jīng)典解析方法，采用拉普拉斯反變換求解瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)域表達(dá)式比較復(fù)雜，要計(jì)算出各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)也很困難。但對(duì)于許多高階系統(tǒng)，利用主導(dǎo)極點(diǎn)法可以簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析和性能指標(biāo)的估算。而利用MATLAB軟件可以方便地對(duì)高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行準(zhǔn)確分析。通過(guò)本次課程設(shè)計(jì)，加深了對(duì)所學(xué)自動(dòng)控制原理課程知識(shí)的理解，特別是系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，系統(tǒng)各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，穩(wěn)態(tài)誤差以及系統(tǒng)根軌跡等相關(guān)知識(shí)的理解。設(shè)計(jì)時(shí)借助MATLAB軟件進(jìn)行控制系統(tǒng)分析，進(jìn)一步熟悉了MATL