高數(shù)中需要掌握證明過(guò)程的定理二

1、高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（二）在第一期的資料內(nèi)我們總結(jié)了高數(shù)前半部分需要掌握證明過(guò)程的定理，由于最近比較忙，所以一直沒(méi)來(lái)得及寫(xiě)?，F(xiàn)將后半部分補(bǔ)上。希望對(duì)大家有所幫助。1）泰勒公式（皮亞諾余項(xiàng)）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處存在階導(dǎo)數(shù)，則在的某一鄰域內(nèi)成立【點(diǎn)評(píng)】：泰勒公式在計(jì)算極限、高階導(dǎo)數(shù)及證明題中有很重要的應(yīng)用。對(duì)于它們，我們首要的任務(wù)是記住常見(jiàn)函數(shù)（）在處的泰勒公式，并能利用它們計(jì)算其它一些簡(jiǎn)單函數(shù)的泰勒公式，然后在解題過(guò)程中加以應(yīng)用。在復(fù)習(xí)的前期，如果基礎(chǔ)不是很好的話(huà)，兩種不同形式的泰勒公式的證明可以先不看。但由于證明過(guò)程中所用到的方法還是很常用的。因此把它寫(xiě)在這里。證明：令則我們要證明。由高階無(wú)

2、窮小量的定義可知，需要證明。這個(gè)極限式的分子分母都趨于零，并且都是可導(dǎo)的，因此用洛必達(dá)法則得再次注意到該極限式的分子分母仍趨于零，并且也都是可導(dǎo)的，因此可以再次運(yùn)用洛必達(dá)法則。不難驗(yàn)證該過(guò)程可以一直進(jìn)行下去，運(yùn)用過(guò)次洛必達(dá)法則后我們可以得到由于在點(diǎn)處存在階導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的定義可知代入可得。 證畢注：這個(gè)定理很容易得到如下錯(cuò)誤的證明：直接用次洛必達(dá)法則后得到錯(cuò)誤的原因在于定理?xiàng)l件中僅告知了在點(diǎn)處存在階導(dǎo)數(shù)，并沒(méi)有說(shuō)明在其它點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)是否存在。就算其它點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)也存在，也不一定連續(xù)，也不一定成立。希望大家注意。2）泰勒公式（拉格朗日余項(xiàng)）設(shè)函數(shù)含有點(diǎn)的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)內(nèi)任意一點(diǎn)，都

3、成立其中，其中介于和之間?！军c(diǎn)評(píng)】：同上。證明：令則我們需要證明。由于，因此易知，滿(mǎn)足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，在和之間存在一點(diǎn)使得而因此，此時(shí)仍然有。則。易知，仍滿(mǎn)足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，在和之間存在一點(diǎn)使得。由于在和之間，因此也在和之間。容易檢驗(yàn)，上述過(guò)程可以一直進(jìn)行下去，使用過(guò)次柯西公式后即可得到。 證畢注：在計(jì)算極限或確定無(wú)窮小量的階時(shí)，一般用到皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式；在做證明題時(shí)用拉格朗日余項(xiàng)比較多。兩種泰勒公式的條件是不同的，其中拉格朗日余項(xiàng)的條件更強(qiáng)，結(jié)論也更強(qiáng)。這兩個(gè)定理的證明，如果基礎(chǔ)不太好一時(shí)接受不了的話(huà)可以先跳過(guò)，到下一階段再看。3）定積

4、分中值定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點(diǎn)使得下式成立：【點(diǎn)評(píng)】：積分中值定理是定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理的推論，它在是證明微積分基本定理的基礎(chǔ)，在整個(gè)微積分中具有極大的理論意義。同時(shí)，證明題中對(duì)該定理的應(yīng)用也比較常見(jiàn)，通常會(huì)和微分中值定理結(jié)合使用，考生首先應(yīng)該熟記該定理的條件和結(jié)論。另外，考試中還出現(xiàn)過(guò)與該定理證明方法類(lèi)似的證明題。因此，該定理的證明過(guò)程也是需要掌握的。該定理的證明過(guò)程教材上有，因?yàn)楸容^重要，也為了方便大家，在這里寫(xiě)一下我的證明過(guò)程證明：由于在區(qū)間上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理可知：在區(qū)間上可以取到最大與最小值。設(shè)最大值為，最小值為。則有。

5、則有，也即兩邊同時(shí)除以可得。可知是介于函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值為之間的一個(gè)數(shù)。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，能取到上的一切數(shù)。因此在積分區(qū)間上存在一點(diǎn)使得：。也即。 證畢附：下面是02年數(shù)三的一道證明題，證明方法與本定理很類(lèi)似，大家可以試一試?！?2年數(shù)三 6分】：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且。試?yán)瞄]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)，使得。4）積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則變積分上限函數(shù)在上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是【點(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理的重要性不用強(qiáng)調(diào)了，考試中也直接考到過(guò)它的證明。由于是對(duì)定理的證明，因此要證明的導(dǎo)數(shù)等于只能用定義，對(duì)于大家強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的定義是一個(gè)很好的訓(xùn)練。證明：由導(dǎo)數(shù)的

6、定義可知，本定理等價(jià)于證明。而由于在區(qū)間上連續(xù)，因此由定積分中值定理可知：存在介于與之間的使得，則。由于介于與之間，因此當(dāng)時(shí)，。又由于在區(qū)間上連續(xù)，可知。也即。由導(dǎo)數(shù)的定義可知。 證畢5）牛頓萊布尼茲公式如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則【點(diǎn)評(píng)】：牛頓-萊布尼茲公式又名微積分基本定理，是因?yàn)樗靡粋€(gè)簡(jiǎn)單的公式就成功地聯(lián)系起了微積分中最重要的兩個(gè)概念：微分和積分，極大地簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算。它是微積分最核心的定理之一，其簡(jiǎn)潔明了的形式也使它被認(rèn)為是微積分幾百年研究歷史中最漂亮的結(jié)論之一！該定理和上一個(gè)定理實(shí)際上是等價(jià)的，只需要用到一個(gè)函數(shù)在同一區(qū)間上的不同原函數(shù)間僅相差一個(gè)常數(shù)。大家不妨自

7、己推證。6）柯西施瓦茲不等式設(shè)函數(shù)都在區(qū)間上可積且平方可積（注意：這里沒(méi)有說(shuō)連續(xù)），則有【點(diǎn)評(píng)】：這個(gè)公式是教材上的習(xí)題，在考試時(shí)可以直接用。該公式在連續(xù)時(shí)也成立，但證明方法有區(qū)別，通過(guò)這個(gè)例子可以說(shuō)明應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式時(shí)檢驗(yàn)被積函數(shù)是否連續(xù)的重要性。證明：法一：令則。而因此在區(qū)間上單調(diào)遞減。則有。整理即得所需不等式。 證畢注：就本題來(lái)說(shuō)，這個(gè)證明過(guò)程是錯(cuò)的。因?yàn)楸绢}沒(méi)有說(shuō)連續(xù)，因此不能用變上限積分求導(dǎo)公式，也就是說(shuō)對(duì)的計(jì)算是不合法的。把這個(gè)證明過(guò)程放在這里是因?yàn)樵诳佳蟹秶鷥?nèi)我們遇到的函數(shù)大多是連續(xù)的，而且利用函數(shù)單調(diào)性的方法在積分不等式的證明中也是很有代表性的。法二：易知，有。將括號(hào)打開(kāi)可

8、得將該式看作變量的二次函數(shù)，?？芍?，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立。由二次函數(shù)的相關(guān)理論可知，該二次函數(shù)的判別式小于或等于零也即整理即得所需不等式。 證畢注：由于這種證明方法所用到的條件比連續(xù)弱，因此當(dāng)連續(xù)時(shí)，該證明過(guò)程也成立。但這個(gè)證明過(guò)程所用到的方法不具有代表性，大家了解一下即可。7）二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與可微的關(guān)系如果函數(shù)在點(diǎn)可微，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在，并且【點(diǎn)評(píng)】：學(xué)到多元函數(shù)時(shí)第一個(gè)困擾我們的就是多元函數(shù)的可微與可導(dǎo)不再等價(jià)，它們與連續(xù)性的關(guān)系也變得更為復(fù)雜了。下面希望能通過(guò)幾個(gè)定理與反例來(lái)將這個(gè)關(guān)系說(shuō)清楚。證明：由可微的定義可知存在只與有關(guān)而與實(shí)數(shù)使得在點(diǎn)附近成立?，F(xiàn)證明，由偏導(dǎo)數(shù)定義可知，這等價(jià)于證明。由于成立，因此則。由高階無(wú)窮小的定義可知。因此，有。也即。同理，可證。 證畢注1：關(guān)于二元函數(shù)可微，偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的關(guān)系可以用下圖來(lái)表示：也就是說(shuō)：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)必然可微，可微的函數(shù)必然連續(xù)并且存在偏導(dǎo)數(shù)，但連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)存在這兩個(gè)概念本身是互不包含的（也就是說(shuō)連續(xù)的函數(shù)不一定存在偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)也不一定連續(xù)）。注二：例如：1）函數(shù)，在連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在。2）又如函數(shù)，在（0，0）處