題解第6章 參數(shù)估計(jì)

1、習(xí)題6.11.設(shè)總體服從二項(xiàng)分布：并設(shè)是從該總體中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣，試求的無(wú)偏估計(jì)。解：由于是從該總體中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣，利用矩估計(jì)法： 而：。故的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)。2.設(shè)是來(lái)自參數(shù)為的泊松分布的一個(gè)子樣，試證:（1）子樣均值和子樣方差都是的無(wú)偏估計(jì)。（2），也是的無(wú)偏估計(jì)。證：（1），而。為無(wú)偏估計(jì)。又：，而。為無(wú)偏估計(jì)。（2），。所以也是的無(wú)偏估計(jì)。3.設(shè)總體服從均勻分布：是從總體中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣，試證：及都是的無(wú)偏估計(jì)。證：因?yàn)榭傮w服從均勻分布：當(dāng)時(shí)有：，從而是的無(wú)偏估計(jì)。另：時(shí)有：，從而是的無(wú)偏估計(jì)。4.設(shè)是從正態(tài)總體中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣，選擇適當(dāng)參數(shù)，使為的無(wú)偏估

2、計(jì)。解：若為的無(wú)偏估計(jì)，則應(yīng)有：。事實(shí)上：5.設(shè)總體服從泊松分布（是未知參數(shù)），是一子樣。試求：的最小方差無(wú)偏估計(jì)（是正整數(shù)）。解：總體服從泊松分布，為無(wú)偏估計(jì)。另：為最小方差無(wú)偏估計(jì)。6.設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)容量為2的子樣，證明：都是的無(wú)偏估計(jì)，并指出哪一個(gè)的方差最小。解：同理：都是的無(wú)偏估計(jì)。另:同理：是的所列三個(gè)估計(jì)中方差最小的無(wú)偏估計(jì).7.設(shè)是從正態(tài)總體中抽取的一個(gè)子樣，其中已知，證明：為的最小方差無(wú)偏估計(jì)。證明：為的最小方差無(wú)偏估計(jì)8. 設(shè)是從指數(shù)分布中抽取的一個(gè)子樣，其中已知，證明：為的最小方差無(wú)偏估計(jì)，且還是一個(gè)相和估計(jì)。證明：為的無(wú)偏估計(jì)。為的最小方差無(wú)偏估計(jì)。再則：。從而：

3、為的最小方差無(wú)偏估計(jì)，且還是一個(gè)相和估計(jì)。習(xí)題6.21.設(shè)總體服從二項(xiàng)分布：并設(shè)是從該總體中抽取的一個(gè)子樣，是的一個(gè)觀測(cè)值，計(jì)算子樣均值及子樣方差。解：，2.使用儀器對(duì)同一零件進(jìn)行12次測(cè)量，其結(jié)果為（單位：）：試用矩法估計(jì)該零件的尺寸，并計(jì)算測(cè)量的方差。解：,3. 設(shè)總體服從二項(xiàng)分布：。 其中為未知參數(shù)，是從總體中抽取的子樣，求：未知參數(shù)的矩估計(jì)。解：未知參數(shù)的矩估計(jì)為：。4. 設(shè)總體服從泊松分布： 其中為未知參數(shù)，是從總體中抽取的子樣，求：未知參數(shù)的矩估計(jì)及最大似然估計(jì)。解：未知參數(shù)的矩估計(jì)為：，未知參數(shù)的最大似然估計(jì)為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點(diǎn)，有:從而，有：令，得：。5.設(shè)總體具有分布密

4、度：其中是未知參數(shù)，是從總體中抽取的子樣，求：未知參數(shù)的矩估計(jì)及最大似然估計(jì)。解：未知參數(shù)的矩估計(jì)為：，而：從而：。未知參數(shù)的最大似然估計(jì)為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點(diǎn)，考:從而，有：得：。6.設(shè)總體服從閉區(qū)間的均勻分布，其中是未知參數(shù)，是從總體中抽取的子樣。試求：未知參數(shù)的矩估計(jì)量。解: 未知參數(shù)的矩估計(jì)為：，而：而:，從而有方程組：7.設(shè)是來(lái)自參數(shù)為的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：求：未知參數(shù)的矩估計(jì)量。解：未知參數(shù)的矩估計(jì)為：，另8.設(shè)是從對(duì)數(shù)正態(tài)總體中抽取的一個(gè)子樣，求：未知參數(shù)的最大似然估計(jì)。解：未知參數(shù)的最大似然估計(jì)為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點(diǎn)，考:得：，9.罐中裝有若干黑球和白球若干，有放回

5、的抽取一個(gè)人容量為的子樣，其中有個(gè)白球，求罐子里黑球與白球之比的極大似然估計(jì)。解：，故的最大似然估計(jì)為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點(diǎn)，考:得：，得：10. 設(shè)總體服從韋布爾分布，其密度函數(shù)為：設(shè)是從總體中抽取的子樣。試求：為未知參數(shù)，求的極大似然估計(jì)（已知）。解：的極大似然估計(jì)為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點(diǎn)，考:，得。11. 設(shè)總體服從分布，其密度函數(shù)為：設(shè)是從總體中抽取的子樣。試求：已知，為未知參數(shù)，求的極大似然估計(jì)。解：的極大似然估計(jì)為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點(diǎn)，考:得：12設(shè)總體服從分布，其密度函數(shù)為：設(shè)是從總體中抽取的子樣。試求：為未知參數(shù)，求的矩估計(jì)。解：未知參數(shù)的矩估計(jì)為：另：，從而：習(xí)題6.

6、31.設(shè)容量的子樣觀測(cè)值為。求子樣均值、子樣方差及修正了的子樣方差。解:,2. 用儀器測(cè)得煉鋼平爐溫度，重復(fù)測(cè)量五次，（單位：）：1789,1804,1810，1795，1801項(xiàng)分布：試問(wèn)溫度的真值在什么范圍(置信度分別以:0.99與0.95；假定測(cè)量系統(tǒng)是沒(méi)有誤差的)？解：由于測(cè)量系統(tǒng)是沒(méi)有誤差，有：，置信度分為:0.99時(shí)。從而置信度分為:0.99得置信區(qū)間為：置信度分為:0.95時(shí)。從而置信度分為:0.95得置信區(qū)間為：3.為測(cè)量鋁的比重，對(duì)樣品共進(jìn)行了16次試驗(yàn)，測(cè)得，求樣品鋁的比重的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：，置信度為0.95。故所求置信區(qū)間為：，置信度分為:0.95時(shí)。從而

7、置信度分為:0.95得置信區(qū)間為：4某種元件的壽命（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布，其中均未知?，F(xiàn)測(cè)16只元件的壽命，得到 ， 。 問(wèn)是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命小于258小時(shí)（置信度為0.95）。解：，置信度為0.95。故所求置信區(qū)間為：，置信度分為:0.95時(shí)。從而置信度分為:0.95得置信區(qū)間為：由于我們有95%的把握，因而可以認(rèn)為元件的平均壽命小于258小時(shí)。5. 為獲得某型汽車100（km/h）0(km/h)剎車距離進(jìn)行了10次試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如下（單位：米）：。 試求置信度為0.95的置信區(qū)間。解：由Excel：得到 ，置信度分為:0.95時(shí)，從而：6. 某型自動(dòng)車床加工零件，抽取16個(gè)零件

8、測(cè)得其直徑如下（單位mm）：s試求:方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：。置信度分為:0.95，自由度為故。所求置信區(qū)間為：習(xí)題6.41設(shè)某批建筑材料的抗彎強(qiáng)度,現(xiàn)從中抽取容量為16的樣本,測(cè)得樣本均值,求的置信度為0.95的置信區(qū)間.解：，從而的置信度為0.95的置信區(qū)間為：2某磚瓦廠生產(chǎn)的磚的抗斷強(qiáng)度服從正態(tài)分布，其中未知?，F(xiàn)測(cè)10 只的抗斷強(qiáng)度（單位），得到：32.5630.4829.4428.7131.3330.1727.9833.0531.2030。.15求的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：，從而的置信度為0.95的置信區(qū)間為：3有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機(jī)的取16袋，稱得重量（單位為

9、：g）：506508499503504510497512514505493496506502509496設(shè)糖果的重量近似的服從正態(tài)分布，試分別求出總體均值和方差的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：。由：，從而得置信水平為0.95的置信區(qū)間為：， 故求得所求區(qū)間：。4. 使用一測(cè)量?jī)x器對(duì)一生產(chǎn)線得產(chǎn)品進(jìn)行12次測(cè)量，得到數(shù)據(jù)如下：232。.50232。.48232。.15232。.22232。.53232。.54232。.50232。.36232。.25232。.37232。.41232。.44設(shè)總體，均未知，試分別求出總體均值的置信水平為0.95及0.99的置信區(qū)間。解：。由：，從而得置信水平

10、為0.95的置信區(qū)間為：。從而得置信水平為0.99的置信區(qū)間為：。5.取某牌子香煙8只測(cè)得其焦油平均含量為毫克，同時(shí)得毫克。求此牌號(hào)香煙的焦油含量的標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間，置信度，假定其焦油含量服從正態(tài)分布。解：。由：，從而得置信水平為0.95的置信區(qū)間為：， 故求得所求區(qū)間：。6.抽查某食品廠生產(chǎn)的方便面10袋，得到數(shù)據(jù)如下：147152144151148146142149146150假定其產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，試分別求出總體均值的置信水平為0.95及0.99的置信區(qū)間。解：。由：，從而得置信水平為0.95的置信區(qū)間為：。從而得置信水平為0.99的置信區(qū)間為：。7. 已知甲、乙兩射擊選手進(jìn)行射擊訓(xùn)

11、練，現(xiàn)在得知甲選手射擊12發(fā)，計(jì)算其成績(jī)?yōu)榄h(huán)，現(xiàn)在得知乙選手射擊8發(fā)，計(jì)算其成績(jī)?yōu)榄h(huán)。試以0.95的置信度給出倆選手平均環(huán)數(shù)差的置信區(qū)間。解：由：得：的置信度為的置信區(qū)間為：，所求為：8. 對(duì)一個(gè)地區(qū)的學(xué)生進(jìn)行健康調(diào)查，隨機(jī)抽取.200名男生測(cè)得平均體重。隨機(jī)抽取女生100名測(cè)得平均體重。試求男、女生平均體重之差的置信度0.98的置信區(qū)間。解：由：得：的置信度為的置信區(qū)間為：，所求為：。9.磚廠為提高產(chǎn)品質(zhì)量，改變了生產(chǎn)配方。磚廠質(zhì)檢員隨機(jī)從甲批產(chǎn)品抽取6塊（配方改變后），從乙批產(chǎn)品抽取8塊（配方改變前）。測(cè)得其抗斷強(qiáng)度為(單位：)：甲批產(chǎn)品乙批產(chǎn)品已知兩批產(chǎn)品抗斷強(qiáng)度分別服從，。求：的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：由：得：的置信度為的置信區(qū)間為：，所求為：10設(shè)是其子樣的觀測(cè)值，問(wèn)：（1）如果已知，取多大時(shí)能保證的置信度為0.95的置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于給定的。（2）如果未知，取