重積分知識點

1、重積分 1·二重積分（1） 二重積分定義設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上，將區(qū)域任意分成個子域，并以表示第個子域的面積。在上任取一點作和。如果當各個子域的直徑中的最大值趨于零時，此和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分，記為，即這時，稱在上可積，其中稱被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為面積元素，稱為積分域，稱為二重積分號。（2） 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1 （積分可加性） 函數(shù)和（差）的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和（差），即f(x,y)±g(x,y)d=f(x,y)d±g(x,y)d性質(zhì)2 （積分滿足數(shù)乘） 被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號外，即kf(x,y)d

2、=kf(x,y)d (k為常數(shù)）性質(zhì)1與性質(zhì)2合稱為積分的線性性。性質(zhì)3 如果在區(qū)域D上有f(x,y)g(x,y),則f(x,y)dg(x,y)d推論 f(x,y)dg(x,y）d性質(zhì)4 設(shè)M和m分別是函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)間D上的最大值和最小值，為區(qū)域D的面積，則mf(x,y)dM性質(zhì)5 如果在有界閉區(qū)域D上f(x,y)=1, 為D的面積，則S=d性質(zhì)6二重積分中值定理設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)間D上連續(xù)，為區(qū)域的面積，則在D上至少存在一點（，），使得f(x,y)d=f(，）（3）二重積分計算2·三重積分（1） 三重積分的定義設(shè)三元函數(shù)z=f(x,y,z）定義在有界閉區(qū)域上將

3、區(qū)域任意分成n個子域vi(i=123，n）并以vi表示第i個子域的體積.在vi上任取一點（iii）作和（n/i=1 （iii）vi）.如果當各個子域的直徑中的最大值趨于零時，此和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z）在區(qū)域上的三重積分，記為f(x,y,z)dv，即f(x,y,z)dv=lim 0 （n/i=1 f（i，i，i）vi），其中dv叫做體積元素。（2） 三重積分的性質(zhì)性質(zhì)1線性性質(zhì)：設(shè)、為常數(shù)，則f(x,y,z)+g(x,y,z)dv=f(x,y,z)dv+g(x,y,z)dv。性質(zhì)2如果空間閉區(qū)域G被有限個曲面分為有限個子閉區(qū)域，則在G上的三重積分等于各部分閉區(qū)域上三重積分的和。性質(zhì)3如果在G上，且f(x,y,z）1，v為G的體積，則v1dvdv.性質(zhì)4如果在G上，f(x,y,z）（xyz），則有，f(xyz)dv（x,y,z)dv，特殊地，f(x,y,z)dvf(x,y,z)dv.性質(zhì)5設(shè)M、m分別為f(x,y,z）在閉區(qū)域G上的最大值和最小值，v為G的體積，則有mvf(x,y,z)dvMv.性質(zhì)6設(shè)函數(shù)f(x,y,z）在閉區(qū)