資料級(jí)數(shù)部分

1、第一部分：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念和結(jié)論無窮級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列定義：(1)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義當(dāng)部分和數(shù)列收斂，稱級(jí)數(shù)收斂 當(dāng)部分和數(shù)列發(fā)散時(shí)，稱級(jí)數(shù)發(fā)散 （2）收斂級(jí)數(shù)的和的定義:(3)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)l 數(shù)乘運(yùn)算：若收斂，則也收斂，l 加法運(yùn)算：若和收斂， 則它們的和級(jí)數(shù)也收斂，且l 改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)的值，不影響級(jí)數(shù)的收斂性。(4)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂(5)幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)以及它們的收斂幾何級(jí)數(shù) 當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散p級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散(6)正項(xiàng)（非負(fù)）級(jí)數(shù)收斂性的判別法l 部分和級(jí)數(shù)判別法: 若單調(diào)上升且有界，則收斂l 比較判別法: 兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)之間比較，若則(1)收斂 收斂; (2)發(fā)散

2、發(fā)散應(yīng)用1: 級(jí)數(shù)和的比較。若，則（1）當(dāng)時(shí)，收斂（2）當(dāng)時(shí)，發(fā)散應(yīng)用2: 級(jí)數(shù)和的比較。若，則(1)當(dāng)時(shí)，收斂(2)當(dāng)時(shí)，發(fā)散，不定應(yīng)用3: 級(jí)數(shù)和的比較。若，則(1)當(dāng)時(shí)，收斂(2)當(dāng)時(shí)，發(fā)散(3)當(dāng)時(shí)，不定(7)交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理一般項(xiàng)正負(fù)交替出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。通?？蓪懽?（首項(xiàng)為負(fù)），或 （首項(xiàng)為正）。進(jìn)一步，若單調(diào)下降趨向于0，則交錯(cuò)級(jí)數(shù)稱作Leibniz級(jí)數(shù).定理：萊布尼茨型級(jí)數(shù)收斂(8)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂級(jí)數(shù)稱為絕對(duì)收斂，如果收斂。級(jí)數(shù)稱為條件收斂，如果級(jí)數(shù)收斂，但發(fā)散。 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)本身收斂第二部分：級(jí)數(shù)例題1. 設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則如下級(jí)數(shù) 必收斂. D（A）

3、。（B）。（C）。 （D）。思考：舉出三個(gè)收斂級(jí)數(shù)的例子，分別使得上述級(jí)數(shù)(A),(B),(C)發(fā)散。2. 設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，且 ，則該級(jí)數(shù)的和為 . 83. 設(shè) 則下列級(jí)數(shù) 必收斂. D (A); (B); (C); (D) 思考：同例1的思考, 舉出三個(gè)收斂級(jí)數(shù)的例子，分別使得上述級(jí)數(shù)(A),(B),(C)發(fā)散。4. 設(shè)常數(shù)，級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù) .（A）絕對(duì)收斂。（B）條件收斂。（C）發(fā)散。（D）收斂性與有關(guān)。 A5. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂, 則 D (A) 極限小于1; (B) 極限小于等于1;(C) 若極限存在, 其值小于1; (D) 若極限存在, 其值小于等于1;6. 設(shè)參數(shù)，則收斂性的結(jié)論是

4、 B （A） 絕對(duì)收斂.（B）條件收斂.（C）發(fā)散.（D）與參數(shù)取值有關(guān)。提示：則7.(正常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的收斂性，與一般項(xiàng)的無窮小階的關(guān)系)設(shè) 若級(jí)數(shù)收斂, 則的取值范圍是 .解: 由假設(shè)可知 。由級(jí)數(shù)的收斂性可知（）。因此必有（）。故。8.判斷 的收斂性.級(jí)數(shù)收斂。因?yàn)?9. 判斷 的收斂性.解: 記級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為, 則。于是。因此，當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂; 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;而當(dāng)時(shí), 由于單調(diào)上升趨于e，故有 ，。因此級(jí)數(shù)發(fā)散.10. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減，且級(jí)數(shù)發(fā)散，試問是否收斂？證明結(jié)論。收斂11. 討論級(jí)數(shù) 的收斂性.解: 記，則，所考慮的級(jí)數(shù)是交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)。由于不單調(diào)，故不能直接應(yīng)用Leib

5、niz定理. 需另外解法?？紤]加括號(hào)級(jí)數(shù). 經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算得 。因此加括號(hào)級(jí)數(shù)收斂。 再利用條件可知原級(jí)數(shù)收斂. 易證，級(jí)數(shù)發(fā)散. 于是原級(jí)數(shù)條件收斂. 證畢。12. 討論級(jí)數(shù) 的收斂性 .解: 記，則原級(jí)數(shù)可寫作 。注意級(jí)數(shù)是Leibniz型級(jí)數(shù)收斂，條件收斂。 因此級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)且僅當(dāng) 收斂。注意到 ，即級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 ，當(dāng)時(shí). 于是我們得到如下結(jié)論：(1) 當(dāng)時(shí)，（絕對(duì)）收斂,且也絕對(duì)收斂, 故原級(jí)數(shù) 也絕對(duì)收斂.(2) 當(dāng)時(shí), 絕對(duì)收斂,條件收斂, 故條件收斂.(3) 當(dāng)時(shí), 發(fā)散, 收斂, 故發(fā)散.注：對(duì)原級(jí)數(shù) 的不能直接應(yīng)用Leibniz定理。13. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和微分方程設(shè)函數(shù)是初值

6、問題的解, 討論級(jí)數(shù) 的收斂性.解: 對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得， 于是 ， ，。由Taylor公式得。于是級(jí)數(shù) 收斂。 因此原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.14. （常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和積分估值）設(shè), 討論級(jí)數(shù) 的收斂性.解: 對(duì)積分作換元 , 則。于是 .因此，當(dāng)時(shí), 原級(jí)數(shù)收斂. 解答完畢。15. 考慮兩條拋物線和。記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為。（1）求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積。（2）求級(jí)數(shù)之和。解: (1)令 得 。于是 。所求面積為。(2) 。解答完畢。16. 討論級(jí)數(shù) （）的收斂性。解： 級(jí)數(shù)（）當(dāng)充分大（即）時(shí)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且單調(diào)減少趨于零，所以（）收斂；又由于, 發(fā)散，所以級(jí)數(shù)（）條件收斂。解答完畢。1

7、7. 討論級(jí)數(shù) 的收斂性。解：當(dāng)時(shí)的一般項(xiàng)都為零，所以級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。設(shè)，當(dāng)充分大（即）時(shí)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且單調(diào)減少趨于零，所以收斂；又由于，發(fā)散，所以級(jí)數(shù)條件收斂。18. 討論級(jí)數(shù) 的收斂性。解：，因此不存在，所以發(fā)散。19. 討論級(jí)數(shù)的收斂性。解：記級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為，則 。由于三個(gè)級(jí)數(shù)，和都是Leibniz級(jí)數(shù)，均收斂。所以存在且有限。由于一般項(xiàng)趨向于零，因此。由此可知級(jí)數(shù)收斂。由于，發(fā)散，所以級(jí)數(shù)條件收斂。解答完畢。20. 討論級(jí)數(shù) 的收斂性。解：記級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為。則 。因此當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂， 即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。當(dāng)時(shí)，故級(jí)數(shù)，條件收斂。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。解答完畢。21. 討論級(jí)數(shù) ()的

8、收斂性。解：記級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為。當(dāng)時(shí)，所以級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，。級(jí)數(shù)為條件收斂。當(dāng)時(shí)，由于收斂，單調(diào)有界，由Abel判別法，級(jí)數(shù)收斂。不難看出此時(shí)級(jí)數(shù)是條件收斂。因?yàn)橛捎?，而?jí)數(shù)發(fā)散。解答完畢。22. 利用Cauchy收斂準(zhǔn)則，證明下述級(jí)數(shù)發(fā)散： 1+-+-+-+; 1-+-+-+。證（1）設(shè)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為，則 。上述不等式對(duì)任意均成立。故由Cauchy收斂準(zhǔn)則可知級(jí)數(shù)發(fā)散。（2）設(shè)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為，則 。根據(jù)Cauchy收斂準(zhǔn)則原理可知級(jí)數(shù)發(fā)散。解答完畢。23. 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，且數(shù)列單調(diào)減，證明= 0。證 根據(jù)假設(shè)收斂，利用Cauchy收斂原理可知，對(duì)任意給定的，存在正整數(shù)，對(duì)一切，成立 。

9、 取，我們有 ，從而 ，。取，我們有 ，從而，。這表明，對(duì)任意給定的，存在，當(dāng)時(shí)，成立 。此即 = 0。證畢。24. 考慮兩個(gè)級(jí)數(shù)和。若級(jí)數(shù)收斂，且 = 1。問級(jí)數(shù)是否收斂?解 不一定收斂。反例：, ，則 = 1，但級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)發(fā)散。解答完畢。25. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且級(jí)數(shù)發(fā)散。判斷級(jí)數(shù)的收斂性，并說明理由。解 級(jí)數(shù)收斂。 理由如下因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，所以必定收斂。如果，則是Leibniz級(jí)數(shù)，從而收斂。此條件矛盾。所以必定有。于是當(dāng)充分大時(shí)，。因此收斂。證畢。26. 假設(shè)數(shù)列收斂，且級(jí)數(shù)收斂。證明級(jí)數(shù)收斂。證：記級(jí)數(shù)的部分和為。則。于是 。因此級(jí)數(shù)收斂。證畢。27. 設(shè)在上具有二階連續(xù)可微，且。證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。證 由可知, 于是 （），所以級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。證畢。28. 假設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散，證明級(jí)數(shù)也發(fā)散。證： 反證。假設(shè)級(jí)數(shù)收斂。令，則。由于數(shù)列單調(diào)有界，則由Abel判別法可知級(jí)數(shù)收斂。此于假設(shè)矛盾。所以級(jí)數(shù) 發(fā)散。證畢。29. 我們回憶一下曾經(jīng)證明過的結(jié)論：數(shù)列 收斂。其極限通常記作 ，稱為Euler常數(shù)。它的近似值為 （注：關(guān)于Euler常數(shù)我們了解的很少。至今我們還不知道它是否為無理數(shù)。雖然如此，但一般期待它是個(gè)超越數(shù)。誰能證明是無理數(shù)（或有理數(shù)， 或超越數(shù)（更難），誰就是數(shù)學(xué)界的大英雄，將名垂數(shù)學(xué)史冊(cè)。自古