鐵軍考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義

1、萬學(xué)海文2013考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班輔導(dǎo)講義主講: 鐵軍 教授鐵軍教授簡(jiǎn)介：著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家，近幾年在北京、南京、天津、沈陽、武漢、廣州、上海、廈門等各大城市聲名鵲起，成為與王式安、李永樂齊名的考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)“三駕馬車”之一。鐵軍教授從事考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)工作以來，以其高屋建瓴、大氣磅礴、睿智幽默的風(fēng)格，對(duì)考點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)全面、深刻、透徹的把握，關(guān)愛學(xué)生、高度負(fù)責(zé)的態(tài)度以及對(duì)考題的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，令考生受益無窮。特別是鐵軍老師的數(shù)學(xué)全程保過班，更是以無與倫比的連續(xù)性、系統(tǒng)性和考生的數(shù)學(xué)成績(jī)大面積高分而受到廣大莘莘學(xué)子的愛戴！ 2013年，考研競(jìng)爭(zhēng)空前激烈！我們邀請(qǐng)鐵軍老師親臨海文面授，為您考研成功指點(diǎn)迷津，保

2、駕護(hù)航。大師風(fēng)范，品質(zhì)感人！2013年，我們將與您攜手并肩，您的理想將在您我的共同努力下實(shí)現(xiàn)。這是我們的信心，也將是您的信心！因?yàn)槲覀兊淖孕牛屇幼孕?！?shù)學(xué)考試根據(jù)工學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)各學(xué)科和專業(yè)對(duì)碩士研究生入學(xué)所應(yīng)具備的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力的不同要求，將數(shù)學(xué)統(tǒng)考試卷分為數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三。第一節(jié) 函數(shù)及其特性函數(shù)是微積分的研究對(duì)象，極限是微積分的理論基礎(chǔ)，而連續(xù)性是可導(dǎo)性與可積性的重要條件。它們是每年必考的內(nèi)容之一。【考點(diǎn)分析】按照考試大綱的要求，函數(shù)部分主要考查：函數(shù)的四個(gè)常見性態(tài)奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性與函數(shù)的兩種運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算和反函數(shù)運(yùn)算。在歷年的試題中，既有單純考查函數(shù)有關(guān)知識(shí)

3、的題目，也有許多把函數(shù)有關(guān)知識(shí)融匯于其他內(nèi)容當(dāng)中的綜合性題目。題型以填空題和選擇題為主。一、函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)于任，都有，稱為偶函數(shù)；若對(duì)于任都有，稱為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱?！究键c(diǎn)一】判別給定函數(shù)的奇偶性的主要方法是：不管的具體形式是什么，均計(jì)算的值。如果，則由定義知為偶函數(shù)；如果，則由定義知為奇函數(shù)。【例1】判別下列函數(shù)的奇偶性：（1）（2），（3）【考點(diǎn)二】設(shè)二階可導(dǎo)，則有：（1） 若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且。簡(jiǎn)單地說，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù)。（2） 若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且。簡(jiǎn)單地說，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇

4、函數(shù)。【例2（1997數(shù)學(xué)三、四）】若在內(nèi) 且，則在內(nèi)有( C )（A）（B）（C）（D）二、函數(shù)的周期性對(duì)函數(shù)，若存在常數(shù)，使得對(duì)于定義域的每一個(gè)，仍在定義域內(nèi)，且有，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，T稱為的周期。【考點(diǎn)三】判斷函數(shù)是否為周期函數(shù)，主要方法是根據(jù)周期函數(shù)的定義，要先找到一個(gè)非零常數(shù)，計(jì)算是否有等式成立。而對(duì)于抽象的周期函數(shù)，其周期一定與已知條件中所給的參數(shù)或常數(shù)有關(guān)，是其二倍、三倍?！纠?】設(shè)對(duì)任何存在常數(shù)。證明是周期函數(shù)?！纠?】設(shè)，則在內(nèi)，（ ）.(A) 是周期函數(shù)，周期為 (B) 是周期函數(shù)，周期為(C) 是周期函數(shù)，周期為 (D) 不是周期函數(shù)【例5】設(shè)在上有定義，且恒有關(guān)系式成

5、立，其中為正實(shí)數(shù)，證明是周期函數(shù)?！究键c(diǎn)四】可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是具有相同周期的周期函數(shù)。也就是說，如果函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)，且有，則，?！纠?】設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，并滿足且若 則（ ）(A) (B) (C) (D) 三、函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)在數(shù)集X上有定義，若存在正數(shù)M，使得對(duì)于每一個(gè)，都有 成立，稱在X上有界，否則，即這樣的M不存在，稱在X上無界。 【考點(diǎn)五】（1）無界變量與無窮大量的區(qū)別：無窮大量一定是無界變量，但無界變量不一定是無窮大量。（2）非零的有界變量與無窮大量的乘積是無界變量，但不是無窮大量.【評(píng)注】(1) 無界變量與有界變量是函數(shù)有界性的正反兩個(gè)方面。（2）用無窮大量的定義和

6、無界變量的定義來區(qū)別這兩個(gè)概念。是指，在x=x0處的充分小鄰域內(nèi)，對(duì)于所有的都可以任意大，而“無界”不要求“所有的”?！纠?】當(dāng)時(shí)，變量是（ ）（A）無窮小。（B）無窮大。（C）有界的，但不是無窮小量。（D）無界的，但不是無窮大。【例8】設(shè)數(shù)列，則下列斷言正確的是（ ） （A）若發(fā)散，則必發(fā)散 （B）若無界，則必有界（C）若有界，則必為無窮小 （D）若為無窮小，則必為無窮小 四、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對(duì)于上任意兩點(diǎn)與且時(shí)，均有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。如果其中的“”或“”改為“”），稱函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,

7、b)內(nèi)可導(dǎo)，若對(duì)任一，有在a,b上單調(diào)增加（減少）。注意： 若將上面的不等式的點(diǎn)（駐點(diǎn)）只有有限個(gè)，則結(jié)論仍成立?！究键c(diǎn)六】（1）判斷抽象的函數(shù)的單調(diào)性，在考試時(shí)采用舉反例排除法，而盡量不用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；（2）導(dǎo)數(shù)大于零的函數(shù)一定單調(diào)遞增，但單調(diào)遞增的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不一定嚴(yán)格大于零，其導(dǎo)數(shù)也可能等于零?！纠?】設(shè)f(x)在內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則（ ） （A） 對(duì)任意 （B）對(duì)任意 （C）函數(shù)單調(diào)增加 （D）函數(shù)單調(diào)增加 .第二節(jié) 數(shù)列的極限【考點(diǎn)分析】數(shù)列極限的考點(diǎn)主要包括：定義的理解，極限運(yùn)算法則的理解，單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則求極限，利用定積分的定義求和式的極限等等。一、數(shù)

8、列的極限1數(shù)列的極限無窮多個(gè)數(shù)按一定順序排成一列：稱為數(shù)列，記為數(shù)列稱為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)。設(shè)有數(shù)列和常數(shù)A。若對(duì)任意給定的，總存在自然數(shù)，當(dāng)nN時(shí)，恒有 ，則稱常數(shù)A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記為。沒有極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。收斂數(shù)列必為有界數(shù)列，其極限存在且唯一。2極限存在準(zhǔn)則（1）定理（夾逼定理）設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)恒有，且有 ， 則極限 存在，且等于A .注 對(duì)其他極限過程及數(shù)列極限，有類似結(jié)論. （2）定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限. 3重要結(jié)論：（1）若，則，其中為任意常數(shù)。 （2）。 （3） 。【考點(diǎn)七】(1) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.(2) 單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞

9、增且無上界的數(shù)列的極限為.（3）單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且無下界的數(shù)列的極限為.【評(píng)注】（1）在應(yīng)用【考點(diǎn)七】進(jìn)行證明時(shí)，有些題目中關(guān)于單調(diào)性與有界性的證明有先后次序之分，需要及時(shí)進(jìn)行調(diào)整證明次序。（2）判定數(shù)列的單調(diào)性主要有三種方法：I 計(jì)算 . 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。II 當(dāng)時(shí)，計(jì)算 . 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。III 令，將n改為x，得到函數(shù)。若可導(dǎo)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減?！纠?】(1) (武漢大學(xué)，2003年)設(shè)，, 證明：收斂，并求其極限。(2) （中國(guó)科學(xué)院，2002年）設(shè) （n1），則 .【例2】（1）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有 成

10、立.（2）設(shè)，證明數(shù)列收斂.【考點(diǎn)八】（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)有正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則.【評(píng)注】在使用夾逼準(zhǔn)則時(shí)，需要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行“縮小”和“放大”，要注意：“縮小”應(yīng)該是盡可能地大，而“放大”應(yīng)該是盡可能地小，在這種情況下，如果仍然“夾”不住，那么就說明夾逼準(zhǔn)則不適用于這個(gè)題目，要改用其他方法?！纠?】求下列極限：【例4】設(shè) （），求 .第三節(jié) 函數(shù)的極限【考點(diǎn)分析】函數(shù)極限的考點(diǎn)主要包括：用洛必達(dá)法則求未定式的極限，由已知極限求未知極限，極限中的參數(shù)問題，無窮小量階的比較等等?！究键c(diǎn)九】 也就是說，函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是，左極限與右極限都存在，并且都等于A?！驹u(píng)注】在求極限時(shí)，如果函數(shù)中包

11、含或項(xiàng)，則立即討論左右極限和，再根據(jù)【考點(diǎn)九】判斷雙側(cè)極限是否存在?！纠?】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限（ ） （A）等于2. （B）等于0.（C）為（D）不存在但不為【例2】求極限【考點(diǎn)十】使用洛必達(dá)（）法則求型未定式的極限之前，一定要將所求極限盡可能地化簡(jiǎn)?；?jiǎn)的主要方法： （1）首先用等價(jià)無窮小進(jìn)行代換。注意：等價(jià)無窮小代換只能在極限的乘除運(yùn)算中使用，而不能在極限的加減運(yùn)算中使用，但在極限的加減運(yùn)算中高階無窮小可以略去； （2）將極限值不為零的因子先求極限； （3）利用變量代換（通常是作倒代換，令） （4）恒等變形：通過因式分解或根式有理化消去零因子，將分式函數(shù)拆項(xiàng)、合并或通分達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。【記憶

12、要點(diǎn)】常見的等價(jià)無窮小代換：（一）基本情形：當(dāng)時(shí)，我們有：（1）sinxx (2)arcsinxx （3）tanxx (4)arctanxx (5) (6) (7) (8) (9) (10)() （11） （12）（二）差函數(shù)中常用的等價(jià)無窮小代換：當(dāng)時(shí)，我們有： （1） （2） （3） （4）（5） （6）【例3】（2003數(shù)學(xué)二）若是等價(jià)無窮小，則【例4】.【例5】若.【考點(diǎn)十一】（1）求冪指函數(shù)型不定式的極限，常用“換底法”或“用e抬起法”，化為型后再使用洛必達(dá)法則，即（2）計(jì)算型極限的最簡(jiǎn)單方法是使用如下的型極限計(jì)算公式：。推導(dǎo)如下（為簡(jiǎn)便，略去自變量）：【例6】【例7】求極限.【考點(diǎn)

13、十二】（1）已知 A，則有： 若g(x) 0，則f (x) 0； 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0.（2）已知，若，則.【評(píng)注】在已知函數(shù)的極限求未知的參數(shù)問題時(shí)，【考點(diǎn)十二】是主要的分析問題與解決問題的方法?！纠?】若，則a =，b =.【例9】已知函數(shù)，設(shè)試求的取值范圍【考點(diǎn)十三】在已知條件或欲證結(jié)論中涉及到無窮小量階的比較的話，則“不管三七二十一”，先用 無窮小量階的比較的定義處理一下再說?！驹u(píng)注】無窮小量階的比較，是一個(gè)重要考點(diǎn)。其主要方法是將兩個(gè)無窮小量相除取極限，再由定義比較階的高低。設(shè)是同一過程下的兩個(gè)無窮小，即。若若則稱是比低階的無窮?。蝗羧羧魟t稱與是等價(jià)無窮小?！纠?/p>

14、10】當(dāng)?shù)?（A）低階無窮小。（B）高階無窮小。（C）等價(jià)無窮小。（D）同階但非等價(jià)無窮小?！纠?1】設(shè)當(dāng)高階的無窮小，則 （A）。（B）。（C）。（D）?！纠?2】已知當(dāng)x 0時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則 ( )(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c =4(C) k=3,c =4 (D) k=3,c =4第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性【考點(diǎn)分析】主要考點(diǎn)包括：函數(shù)連續(xù)的充要條件，間斷點(diǎn)的類型及其判斷，閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理及其應(yīng)用等。一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn). 函數(shù)連續(xù)性概念定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，并稱為連續(xù)點(diǎn)。定義2 若函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)左（右）鄰域內(nèi)有定義，并

15、且 ，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左（右）連續(xù)。顯然，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是在點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。定義3 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，是指在內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù)；在閉區(qū)間上連續(xù)，是指在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，并且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)。使函數(shù)連續(xù)的區(qū)間，稱為的連續(xù)區(qū)間。 . 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類 定義 函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)，即在點(diǎn)處有下列三種情況之一出現(xiàn)：（1）在點(diǎn)附近函數(shù)有定義，但在點(diǎn)無定義；（2）不存在；（3）與都存在，但則稱在點(diǎn)處不連續(xù)，或稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。 間斷點(diǎn)的分類 設(shè)為函數(shù)的間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的分類是以 點(diǎn)的左、右極限來劃分的。 第一類間斷點(diǎn) 若與都存在，則稱為第一類間斷點(diǎn)： （1）若，則稱為跳躍

16、型間斷點(diǎn)，并稱為點(diǎn)的跳躍度； （2）若存在（即=），則稱為可去間斷點(diǎn)。此時(shí)，當(dāng)在無定義時(shí)，可以補(bǔ)充定義，則在連續(xù)；當(dāng)存在，但時(shí)，可以改變?cè)诘亩x，定義極限值為該點(diǎn)函數(shù)值，則在連續(xù)。 第二類間斷點(diǎn) 若與中至少有一個(gè)不存在，則稱為第二類間斷點(diǎn)，其中若與中至少有一個(gè)為無窮大，則稱為無窮型間斷點(diǎn)；否則稱為擺動(dòng)型間斷點(diǎn)。【考點(diǎn)十四】在連續(xù)性的各種題型中，無論是確定函數(shù)（特別是分段函數(shù)）的間斷點(diǎn)及其類型，還是利用連續(xù)性確定函數(shù)中的常數(shù)，解題方法的核心均為先求函數(shù)在一些特殊點(diǎn)（特別是無定義的點(diǎn)和分段函數(shù)的分段點(diǎn)）處的左右極限和，然后再根據(jù)間斷點(diǎn)的定義與函數(shù)連續(xù)的充要條件求出相應(yīng)結(jié)果。在由抽象函數(shù)構(gòu)造的連續(xù)性

17、選擇題中，選擇的次序應(yīng)從最簡(jiǎn)單的函數(shù)開始，最簡(jiǎn)單的往往就是正確選項(xiàng)。【例1】設(shè)有定義，分別各有唯一的間斷點(diǎn)，則必有間斷點(diǎn)的函數(shù)是（ ）（A）fg(x) (B)f(x)g(x)(C)f(x)+g(x) (D)f(sinx)+g(sinx)【例2】設(shè)內(nèi)有定義，為連續(xù)函數(shù)，且有間斷點(diǎn)，則（A）必有間斷點(diǎn)。（B）必有間斷點(diǎn)。（C）必有間斷點(diǎn)。（D）必有間斷點(diǎn)?！纠?】設(shè)函數(shù)處連續(xù)，則.【例4】函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理 1.（有界性定理） 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)必在a,b上有界。定理2. (最大值最小值定理)

18、 閉區(qū)間a,b上的函數(shù)，必在a,b上有最大值和最小值，即在a,b上，至少存在兩點(diǎn)，使得對(duì)a,b上的一切x，恒有 .此處與就是在a,b上最小值與最大值。定理 3.(介值定理) 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b連續(xù)，m與M分別為在a,b上的最小值與最大值，則對(duì)于任一實(shí)數(shù)c(mcM)，至少存在一點(diǎn)，使。定理4.（零點(diǎn)定理或根的存在定理） 若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)，使?！究键c(diǎn)十五】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且對(duì)任，均有，則函數(shù)在區(qū)間上必恒正或恒負(fù)（即在區(qū)間上必恒大于零或恒小于零）.【證明】反證之。假設(shè)在區(qū)間上不恒正且不恒負(fù)，則必存在使.又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以在區(qū)間或區(qū)間上連續(xù)，且區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，即，故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)或，使，這與已知條件矛盾。因此，所作的假設(shè)是錯(cuò)誤的，函數(shù)在區(qū)間上必恒正或恒負(fù)（即在區(qū)間上必恒大于零或恒小于零）.【例5】設(shè)y=f(x)在（0，1）內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求證：（1）對(duì)于（0，1）內(nèi)任一點(diǎn)，存在唯一的成立。（2）令，求當(dāng)時(shí)的極限值。第五節(jié) 羅爾定理中值定理是一元函數(shù)微分學(xué)的理論核心，它反映了導(dǎo)數(shù)更深刻的性質(zhì)，是用導(dǎo)數(shù)與微分研究函數(shù)性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，也是研究生考試的考核重點(diǎn)。羅爾定