解析幾何中的定值和定點問題

1、解析幾何中的定值定點問題(一)一、定點問題 22-【例1】.已知橢圓C：與 22 1(a b 0)的離心率為 義,以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓 a b2與直線x y/0相切.求橢圓C的方程； 設(shè)P(4, 0) , M、N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié) PN交橢圓C于另一點E,求直線PN的斜率的取值范圍；在的條件下，證明直線 ME與x軸相交于定點.4b2,又因為bl21,所以1 1一22 r2解：由題意知e £色，所以e2 、a 2a a2222a 4, b 1 ,故橢圓C的方程為C ： L y 1 .4由題意知直線PN的斜率存在，設(shè)直線 PN的萬程為yk(x

2、4)聯(lián)立y k(x2x 27 y4)消去y得：(4k212221)x2 32k2x 4(16k21) 0,2 2(32k2)2224(4k2 1)(64k2 4)20 得 12k1 0,0不合題意,所以直線PN的斜率的取值范圍是設(shè)點 N(X1，y) E y2),則 M (x1 ,y),直線ME的方程為y2J(X X2),X2由得X1X2所以直線¥2(X2 Xi)X2 , 1 寸 y1y2 y122銬L X1X2 64k2 4代入整理,得4k 11 4k 1k(X1 4), y2k(X2 4)代入整理，得X1x 2-X2 4(X1 X2)XiX28ME與x軸相交于定點(1,0).【針對

3、性練習(xí)1】 在直角坐標系XOy中，點M到點F1的距離之和是4 ,點M的軌跡是C與x軸的負半軸交于點 A ,不過點A的直線l : y 求軌跡C的方程；uur uurkX b與軌跡C交于不同的兩點 P和Q .當AP AQ 0時，求k與b的關(guān)系，并證明直線l過定點.解：點M到 石，0 , 73,0的距離之和是4, M的軌跡C是長軸為4,焦點在X軸上焦中為2班2的橢圓，其方程為-y2 1.4將y kx b,代入曲線C的方程,整理得(1 4k2)x2 8j2kx 4 0 ,因為直線l與曲線C交于不同的兩點P和Q ,所以64k2b2 4(122224k )(4 b 4) 16(4k b 1) 0設(shè) P x

4、i , yi , Q X2 , y2 ,則 x1x28岳 xx, 42 , & x2 2 J1 4k1 4k且 y1 y2 (kx1 b)(kx2 b)2(k x/z) kb(x1X2) b2 ,顯然，曲線C與x軸的負半軸交于點uuuuur以 AP x 2 , % , AQx2 2 , y2 .由uur uuirAP AQ 0,得(xi 2)(x2 2) yiy2 0 .將、代入上式，整理得_ 2212k 16kb 5b0.所以(2k b) (6k 5b)-k ,經(jīng)檢驗, 5都符合條件，當b 2k時，直線l的方程為y kx 2k.顯然，此時直線l經(jīng)過定點2 , 0點.即直線l經(jīng)過點A,

5、與題意不符.當 b 6k時，直線5,6.l的方程為y kx -k k x5顯然，此時直線l經(jīng)過定點6,0點，且不過點 A .綜上,5k與b的關(guān)系且直線l經(jīng)過定點一,0 點.5【針對性練習(xí)2】在平面直角坐標系 xoy中，如圖，已知橢圓2y- 1的左、5右頂點為 A、B,右焦點為F。設(shè)過點T( t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點 M(x1, y1)、N(x2, y2),其中m>0, y10, y20。(1)設(shè)動點P滿足PF2 PB24,求點P的軌跡;(2)設(shè)Xi-1，一一2, x2-,求點T的坐標;3(3)設(shè)t 9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與 m無關(guān))。【解析】本小題主

6、要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識?？疾檫\算求解能力 和探究問題的能力。解：(1)設(shè)點 P (x, y),則：F (2, 0)、B (3, 0)、A (-3, 0)。由 PF2 PB2 4,得(x 2)2 y2 (x 3)2 y2 4,化簡得 x 9。2 9故所求點P的軌跡為直線x 9o2(2)將 x12, x25 、， 1以及 y1 0, y2 0 得：M (2, )、N (_ ,20一)9直線直線y0xJ即50233y0x32010393MTA方程為:yNTB方程為:即7x1 、，、-分別代入橢圓方程,31,聯(lián)立方程組，解得:10，所以點T的坐標為 10、(7,三)。

7、3(3)點T的坐標為(9,m)A直線直線y0x2即ym( (xm09312y0x即ym /一(xm0936MTA方程為:3),NTB方程為:3)。1聯(lián)立方程組，同時考慮到2x2分別與橢圓9Xi3, X2解得：M(t°m2)2m一 2 一T)、N(3m-80 m20 m20m 、20 m2)°(方法一)當為x2時，直線MNr程為:令y 0,解得:20m20 m240m 280 m20m20 m23(m2 20)20 m23(80 m2)3(m2 20)X 1。此時必過點 D (1, 0);當x1 x2時，直線MN程為：x 1 ,與x軸交點為D (1, 0)。所以直線 MN5過

8、x軸上的一定點 D (1,0)。(方法二)若入240 3m2x2 ,則由2280 m23m2 6020 m此時直線MN的方程為x 1 ,過點D (1,0)。若x1 x2,則m 2痂,直線MD的斜率kMD40m80 m2240 3m2 d2180 m280 m220 m210m2，40 m220m直線ND的斜率kND20 .10m2，得kMD kND ,所以直線 MNi D點。3m2 60 彳 40 m22- 120 m2因此，直線MN、過x軸上的點(1,0)。【針對性練習(xí)3】已知橢圓C中心在原點，焦點在 x軸上，焦距為2,短軸長為2J3. (I)求橢圓C的標準方程;(n )若直線l : ykx

9、 m k 0與橢圓交于不同的兩點M、N (M、N不是橢圓的左、右頂點)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點 A .求證：直線l過定點,并求出定點的坐標.解:2c2b2 a2,23,b2解得a 2,_ 橢圓C的標準方程為b 3,設(shè)橢圓的長半軸為a,短半軸長為b,半焦距為c,則2()由方程組y3 kx m3 4k2x2 8kmx 4m2 12 0.由題意8km224 3 4k2 4 m2 120,整理得:3 4k2x/、Nx>, y2，則Xix28 km2-，3 4kX1X24m2 123 4k2由已知,AM AN ,且橢圓的右頂點為 A (2,0),x210分k2x1x2 km 2x1x2

10、0,也即k24 m2 124k2km 28 km4k2“2m 4整理得7m216mk解得2k2k7均滿足11分2k時，直線l的方程為kx過定點(2,0),不符合題意舍去;2k一時，直線7l的方程為2,過定點(2,0), 7二、定值問題【例2】.已知橢圓的中心在原點，焦點 F在y軸的非負半軸上，點 F到短軸端點的距離是 4,橢圓上的點 到焦點F距離的最大值是6.(I )求橢圓的標準方程和離心率 e ;(n )若F為焦點F關(guān)于直線y 3的對稱點，動點 M滿足MF e ,問是否存在一個定點 A ,使M2MF到點A的距離為定值？若存在，求出點 A的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.解：(I)設(shè)橢圓長

11、半軸長及半焦距分別為a, c,由已知得解得a4, c2 .a c 6,2221所以橢圓的標準方程為匕上 1.離心率e 2.161242(n ) F(0,2),F (0,1),設(shè) M(x,y),由 JM e得仁 (y 2 1MFx2 (y 1)22化簡得 3x2 3y2 14y 15 0,即 x2 (y 7)2 (2)2337 2故存在一個定點 A(0,-),使M到A點的距離為定值，其定值為 -.33【例3】.已知拋物線 C的頂點在坐標原點，焦點在 x軸上，P(2, 0)為定點.(I)若點P為拋物線的焦點，求拋物線 C的方程；(n)若動圓M過點P,且圓心M在拋物線C上運動，點A B是圓M與y軸的

12、兩交點，試推斷是否存在一條拋物線C,使|AB|為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由.解：(1)設(shè)拋物線方程為y22Px(p0),則拋物線的焦點坐標為(衛(wèi),0).由已知，-2,即p 4,22故拋物線C的方程是y2 8x.(n)設(shè)圓心M (a, b)( a 0),點A(0, y1)，B(0, y2).因為圓M過點P(2 , 0),則可設(shè)圓M的方程為(x a)2 (y b)2 (a 2)2b2.令 x 0,得y22by4a4 0.則 y1y 2b,y y 4a 4.所以 | AB|J(y1J(m3 4.y244b2 16a16.，設(shè)拋物線C的22萬程為y mx(m 0),因為圓心 M在拋物

13、線C上，則b ma .所以|AB| "ma 16a_16 ，4a(m 4)16 .由此可得，當 m 4時，|AB| 4為定值.故存在一條拋物線y2 4x,使|AB|為定值4.解析幾何中的定值定點問題（二）1、已知橢圓C的離心率e 盤,長軸的左右端點分別為 Ai 2 ,0 , A2 2 ,0。（ I ）求橢圓C的方程;2（n）設(shè)直線x my 1與橢圓C交于P、Q兩點，直線AF與A2Q交于點S。試問：當m變化時，點S是 否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。22解法一：（I）設(shè)橢圓C的方程為駕 y21ab 0。 1分a b1 a 2 , e -

14、 -, c j3, b2 a2 c2 1。 4 分a 22，橢圓C的方程為xr y2 1。 5分4（n）取m 0,得P 1,靈，Q 1,理，直線A1P的方程是y 頁x 更，2263直線A2Q的方程是y 旦。,交點為S1 4,73 7分，2若P 1 咆Q 1在，由對稱性可知交點為S2 4, J3 . '2 '2若點S在同一條直線上，則直線只能為l :x 4。 8分2x 2 1以下證明對于任意的m,直線A1P與直線A2Q的交點S均在直線l :x 4上。事實上，由 4 y 得x my 1,2,22.22m3-27 , y1y2-2-m 4 m 4my 1 4y 4,即 m 4 y 2

15、my 3 0,6y1x1 2記 P x1，y1 ,Q x2,y2 ,則 y1 y2設(shè)A1p與1交于點S0（4,y。），由言24，得y0設(shè)A2Q與1交于點S0（4,y0）,由上/萬得y。衛(wèi)x2 21012m12m6y12y2 6y1 my2 1 2y2 my1 34myIy2 6 y1 y2m2 4 m2 4Q y0 y 0,x1 2 x2 2x1 2 x2 2x1 2 x2 2 x1 2 x2 2yc yc ,即S0與S0重合，這說明，當 m變化時，點S恒在定直線l :x 4上。13分蟲，直線A2Q的方程是3解法二：（n）取m 0,得P 1,W3 ,Q 1, Y3 ,直線AF的方程是y x 2

16、26y -2-xU3,交點為 & 473 . 7分取m 1,得P 8,-,Q 0, 1 ,直線A1P的方程是y -x 1,直線A2Q的方程是y 1x1,交點為S24,15 5632若交點S在同一條直線上，則直線只能為l ：x 4。以下證明對于任意的m,直線AF與直線A2Q的交點S均在直線l :x 4上。事實上，由2 x-4xmy1 /日得122my 1 4y 4,2my 3 0記 P x1，y1 ,Qx2，y2一 ,yy24A1P的方程是y1x1 2,A2Q的方程是y占2 ,消去y,得一x1y11y2以下用分析法證明4時，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明x26y1x1 22y2x2

17、2,即證3yi my 2 1y2 my1 3，即證 2myy2 3 y1 y2 .2my1y2 3 y16my2 m 46m-2 m0,，式恒成立。這說明，當m變化時，點S恒在定直線l :x4上。解法三：(n)2x 2由7 yx mymy221 4y4,即m24 y 2my3 0。記 P x1,y1 ,QX2N2 ,則yiy22mF'y2AiP的方程是y1 x12 , A2Q的方程是y2 xx22y1x1y2x2Wx122 x12gy2 x1y x22y1 x22V2 my1 32gV2 my1 3y1 my2 12g2my1 my2 13y23y 2 y1yic 32mg2c m 4

18、2g2mF y1c 2m32y1y1m 4y1一 4.12分這說明，當m變化時，點S恒在定直線l :x4上。13分2my1 y2m2、已知橢圓E的中心在原點，焦點在 x軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值2為企1 ,離心率為e .2(I )求橢圓E的方程；uur ujuu(n )過點1 , 0作直線l交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點 M , MP MQ為定值?若存在，求出這個定點 M的坐標；若不存在，請說明理由.解：(I)設(shè)橢圓2E的方程為與 a2yr 1,由已知得: bc(n) uuir MP,2 b21c2 1 橢圓E的方程為法一：假設(shè)存在符合條件的點uuuu(X1 m,y

19、1),MQ(X2M(m,0) uuur uuuum,y2),MP MQ,、2X1X2 m(X 1 x2) m y1y2。 5 分當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為:k(x1 得 X2 2k2(X 1)21)2(2k21)X2224k2X (2k22) 0 X1X2*V2k2(X11)(X2 1),2/k X1X2 (X1uuur uuuu 所以MP MQ2k2 2對于任意的k值,22k 1uuirMP4k22k2 1uuiurMQ為定值,1。(X14k22, X12k 1X2)1所以P(Xi，y)Q(X2，y2),則:m)k(xX2(X21),2k22k2m) y%17分5 uur 所以

20、M(5,0),MP4uuuu MQ;1116k22k2 1k22k2 1(2m24m22_1)k (m 2)22k2m2, 一， 24m 1 2(m2 2)當直線l的斜率不存在時，直線l： x 1,X1 X2 2,X 1X21,yy2uuuu5 uur得 MP MQ工綜上述知，符合條件的點16M存在,法二：假設(shè)存在點 M(m,0),又設(shè)P(X1,y)Q(X 2%),則:uuir uuur MP MQ當直線2XuuurMP (X1X1X2(X1 m) (X2 m) y1y2 = X1X2 m(X1l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為、2X2)mX ty 1,起坐標為(-,0) -4uuuum,y1

21、),MQ(X25分13分m,y2)ty1得(t11) (ty2X1X2 t(y 1 y2)uuurMPuuuu MQ2t222)y2 2ty 1 0 y1y22tp2，y1 y21t2 21)tzywt(y 1y2)2_ 22_t 2t t 22t 22t2 tuuir 設(shè)MPuuuu MQt2 22 則皿2t2t24mt2 222)t t22t2 4222m2(m2(m222)t2一 2., 22m 4m 1 (t、2_2)t 2m 4m 1 2當直線l的斜率為0時,直線l:uuir uuur -5 一MP MQ ( 2 -) (242 (m22)t2t2 24m 1；2m2 t2 24m

22、12)0,2,2m 4m545M(-,0) 11745、 25)一416由 M(5,0)得:716162綜上述知，符合條件的點M存在，其坐標為(5,0)。i3分223、已知橢圓的焦點在 x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線 x2 4y的焦點，離心率e -,過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線l ,交橢圓于A、B兩點。(I )求橢圓的標準方程；uuir uuur uuu(n)設(shè)點 M (m,0)是線段OF上的一個動點，且(MA MB) AB(m)設(shè)點C是點A關(guān)于x軸的對稱點，在 x軸上是否存在一個定點,求m的取值范圍；三點共線？若存在，求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由。由(2.5解法一： (

23、ia2 b2a(n)2代入5則xiuuur2)設(shè)橢圓方程為2a2y2 i(a b2a 5故橢圓方程為一I )得 F(2,0)，所以 0 mi,得(5k2i)x2 20k 2x20kx2uuir5k2,xix2i20k2 52, yi5k ib 0),由題意知b 152,y2 i設(shè)l的方程為y k(x2) (k 0)220k2 5 0 設(shè) A(xi,yi),B(x2,y2),yk(xi X2 4), yi y2k(xi X2)MA MB (Xi m,yi)uuruuLrQ(MA MB)uuuuuirAB, (MA(X2 m,y2) (xiuuirMB)uuuAB 0,uuux2 2 m, yi

24、y2), AB d(xi x2 2m)(x2 xi) (y220k25k2 i2m4k25k28 - 4一時，有5i uuu (MA0,(8uuirMB)(m)在x軸上存在定點*y2 yi /、為 y yi (x x1),x2Ql的方程為xiy k(xyi k(%2), y25m)k22 m _m 0 由 k 0, 08 5muurAB成立。.5 一N (一 ,0)，使得C、B、N三點共線。依題意知2yi%)y2yixiyx2y2、y2yi2), A、k(x2 2)B在直線l上,k(xi i)x2 k(x2 i)、k(xi x2) 4k2k事i5 2k20k25k2 i20k2解法二：x2代入

25、55k(n)4kxix2xi, y2yi)(yi8m -5C(xi,yi)v2yi)，2kxix2 2k(xi x2)k(xi x2) 4k 5在x軸上存在定點N(-,0)，使得C B N三點共線。2I)得 F(2,0),所以 0一 22 一 2得(5k i)x 20k20k2_220 k 52,xx22-5k2 i 5k2 i直線BC的方程m 2。設(shè)l的方程為y k(x 2) (k 0),20k2yi5 0設(shè) A(xi,yi),B(x2,y2),則y2 k(xx24)uur uiuruur-Q(MA MB) AB, | MA | |MB|,Q ,(xi m)2(xi x2 2m)(xi x2) (yi 72)(yi y?) 0,2_22(i k )(xi x?) 2m 4k 0, (8 5m)k myi (x2 m)4k彳, yi y25k i2y2,k(xi x?)08k2m 5