中考幾何題中的新定義型題集錦

1、中考幾何題中的新定義型題一、定義一種新的幾何體例1（2001年泰州市）我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體，如圖1，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體。（1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（ ）A. 兩個(gè)球體B. 兩個(gè)圓錐體C. 兩個(gè)圓柱體D. 兩個(gè)長(zhǎng)方體（2）請(qǐng)猜想出相似體的主要性質(zhì)：相似體的一切對(duì)應(yīng)線段（或弧長(zhǎng)）的比等于_；相似體表面積的比等于_；相似體體積的比等于_。（3）假定在完全正常發(fā)育的條件下，不同時(shí)期的同一個(gè)人的人體是相似體，一個(gè)小朋友上幼兒園時(shí)身高為1.1m，體重為18kg，到了初三，身高為1.65m，問他的體

2、重為多少？（不考慮不同時(shí)期人體平均密度的變化）二、定義一種新的規(guī)則例2 （2003年安徽省）如圖2，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把它與正三角形的接近程度稱為“正度”，在研究“正度”時(shí)，應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等。設(shè)等腰三角形的底和腰分別為a、b，底角和頂角分別為、，要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)。同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近于正三角形。探究：（1）他們的方案哪個(gè)較為合理，為什么？（2）對(duì)你認(rèn)為不合理的方案，請(qǐng)加以改進(jìn)（給出式子即可）。（3）請(qǐng)?jiān)俳o出一種衡量“正度”的表達(dá)

3、式。三、定義一種新的線段例3（2003年安徽省附加題）如圖3，在五邊形中，是對(duì)邊的中點(diǎn)，連結(jié)，我們稱是這個(gè)五邊形的一條中對(duì)線，如果五邊形的每條中對(duì)線都將五邊形的面積分成相等的兩部分。求證：五邊形的每條邊都有一條對(duì)角線和它平行。例4（2007年連云港市）如圖4（1），點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果AC：AB=BC：AC，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)。某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為、，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線。（1）研究小組猜想：在ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的

4、黃金分割點(diǎn)，如圖4（2），則直線CD是ABC的黃金分割線。你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？（2）請(qǐng)你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D作直線DFCE，交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，如圖4（3），則直線EF也是ABC的黃金分割線。請(qǐng)你說明理由。（4）如圖4（4），點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFAD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線，請(qǐng)你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊的黃金分割點(diǎn)。四、定義一種新的點(diǎn)例5（2006年安徽省實(shí)驗(yàn)區(qū)）如圖6，

5、凸四邊形ABCD，如果點(diǎn)P滿足APD=APB=，且BPC=CPD=，則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn)。（1）在圖8的正方形ABCD內(nèi)畫一個(gè)半等角點(diǎn)，且滿足。（2）在圖9的四邊形ABCD中畫一個(gè)半等角點(diǎn)，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）。（3）若四邊形ABCD有兩個(gè)半等角點(diǎn)、（如圖7），證明線段上任意一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn)。例6（2007年寧波市）四邊形一條對(duì)角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等，則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)，如圖10（1），點(diǎn)P為四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PAPC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等

6、距點(diǎn)。（1）如圖10（2），畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)；（2）如圖10（3），作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）（3）如圖10（4），在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PC，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)F，且CDF=CBE，CE=CF，求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)；（4）試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況（說出相應(yīng)四邊形的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明）。五、定義一種新的三角形例7 （2005年天津市）在ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別用a、b、c表示。（I）如圖11，在ABC中，A=2B，且B=，求證；（II）如果一個(gè)三角形的一個(gè)

7、內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”，本題第（I）問中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，那么對(duì)任意的倍角三角形ABC，其中A=2B，如圖12，關(guān)系式是否仍然成立？并證明你的結(jié)論；（III）試求出一個(gè)倍角三角形的三條邊長(zhǎng)，使這三條邊長(zhǎng)恰好為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)。六、定義一種新的矩形例8（2005年資陽市）閱讀以下短文，然后解決下列問題：如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則這樣的矩形為三角形的“友好矩形”，如圖13所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”，顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一

8、個(gè)。（1）仿照以上敘述，說明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”。（2）如圖14，若ABC為直角三角形，且C=，在圖14中，畫出ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大?。唬?）若ABC是銳角三角形，且BCACAB，在圖15中畫出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)最小的矩形，并加以證明。七、定義一種新的四邊形例9（2006年北京市）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相等，則稱這個(gè)四邊形為等對(duì)角線四邊形。請(qǐng)解答下列問題：（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是等對(duì)角線四邊形的兩種圖形的名稱；（2）探究：當(dāng)?shù)葘?duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為時(shí)，這對(duì)角所對(duì)的兩邊之和與其中一條對(duì)角線的

9、大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。例10（2007年北京市課標(biāo)卷）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形。（1）請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱。（2）如圖18，在ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，設(shè)CD、BE相交于點(diǎn)O，若A=，DCB=EBC=A/2。請(qǐng)寫出圖中一個(gè)與A相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形；（3）在ABC中，如果A是不等于的銳角，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DCB=EBC=A/2，探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論。八、定義一種新的相似形例11（200

10、5年嘉興市）某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究相似圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)相似三角形的定義、判定及其性質(zhì)可以拓展到扇形的相似中去。例如，可以定義：“圓心角相等且半徑和弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性質(zhì)：弧長(zhǎng)比等于半徑比，面積比等于半徑比的平方請(qǐng)你協(xié)助他們探索這個(gè)問題。（1）寫出判定扇形相似的一種方法：若_，則兩個(gè)扇形相似；（2）有兩個(gè)圓心角相等的扇形，其中一個(gè)半徑為a，弧長(zhǎng)為m，另一個(gè)半徑為2a，則它的弧長(zhǎng)為_；（3）圖20是一完全打開的紙扇，外側(cè)兩竹條AB和AC的夾角為，AB長(zhǎng)為，現(xiàn)要做一個(gè)和它形狀相同，面積是它一半的紙扇（如圖21），求新做紙扇（扇形）的圓心角和半徑。補(bǔ)充：我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的兩倍的三角形叫做奇異三角形（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，小華提出命題“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是