離散傅里葉變換(DFT)

1、第三章離散傅里葉變換(DFP解:1.如圖P3-1所示，序列x(n)是周期為6的周期性序列，試求其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。分析利用DFS的定義求解5由 X(k) = '、x(n)W6nkn =05 _22：nk八 x(n)e 6n =0.4 k_j_2 k_j 3k_j_4k_j 5k=14 12e 610e 6 8e 6 6e 610e 6計(jì)算求得i 一 一 一 urX(0) =60, X(1) =9 -j3 3,X(2) = 3 j 3一X(3) =0, X(4) =3-j 3 ,X(5)=9 j3 3一、L、，一 一一2.設(shè)x(n)=R(n), %n)=x(n)6,試求 X(k),并做圖

2、表小 x(n),X(k)分析利用DFS的定義求解。5解：由 X(k) =£ x(n)W6nkn =05.2.2%. j nk-j k-jk= % (n)e 61 e 3 e 3 en -0孑冰計(jì)算求得X(0) =4, X(1)= - j3,X(2)=1一 .一，X(3) =0, X(4) =1,X(5) = jV3 _一x(n), X(k)如圖 P3-2 所小4 5 t> T It 9 10 II k圖 P3-23.已知x(n)是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，X(k) = DFTx(n)?，F(xiàn)將長(zhǎng)度變成rN點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列y(n)y(n) = <x(n),0<n<N -10,

3、N <n <rN -1試求rN點(diǎn)DFTy(n)與X(k)的關(guān)系。分析利用DFT定義求解，y(n)是rN點(diǎn)序列，因而結(jié)果相當(dāng)于在頻域序列進(jìn)行插值。 . . N 用k解：由 X(k)= DFTx(n)=£ x(n)e N ,n =00 < k < N -1可得N 1Y(k) = DFTy(n)y(nWrNkn =0N 二八 x(n)WrNkn=0N 4聲nkk=E x(n)e N 1 =X，n$rk =lr,l =0,，N -1所以在一個(gè)周期內(nèi)，Y(k)的抽樣點(diǎn)數(shù)是X(k)的r倍(Y(k)的周期為Nr),相當(dāng)于在X(k)的每?jī)蓚€(gè)值之間插入r-1個(gè)其他的數(shù)值(不一定

4、為零)，兒當(dāng)k為r煩人整數(shù)lk倍時(shí)，Y(k)與X(k)相等。r4.已知x(n)是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列,X(k) = DFTx(n),現(xiàn)將x(n)的每?jī)牲c(diǎn)之間補(bǔ)進(jìn)r-1個(gè)零值點(diǎn)，得到一個(gè)rN點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列y(n)y(n)x(n/r),0,n =ir,i =0,1，,N -1else試求rN點(diǎn)DFT y(n)與X (k)的關(guān)系。分析離散時(shí)域每?jī)牲c(diǎn)間插入r-1個(gè)零值點(diǎn)，相當(dāng)于頻域以 N為周期延拓r次，即Y(k)周期為rN。N 1解：由 X(k) = DFTx(n) =z x(n)W:，0<k<N -1n =0NN 1N 1可得Y(k) = DFTy(n) =£ y(n)WrNk =&

5、#163; x(ir/r)WrNk =£ x(i)Wnk , 0 < k < rN -1n=0n=0nW而Y(k) =X(k)N'(k) 所以Y(k)是將X(k)(周期為N)延拓r次形成的，即Y(k)周期為rN。5.頻譜分析的,K擬信號(hào)以8kHz被抽樣，計(jì)算了 512個(gè)抽樣的DFT試確定頻譜抽 樣之間的頻率間隔，并證明你的回答。分析利用頻域抽樣間隔Fo和時(shí)域抽樣頻率fs,以及抽樣點(diǎn)數(shù)N的關(guān)系fs=NF。證明,】s'飛由fs = , Fo = -02 二2 二得主=LFo L其中Cs是以角頻率為變量的頻譜周期，。是頻譜抽樣之間的頻譜間隔。fsFo 一J。Fo

6、對(duì)于本題有fs =8kHz , N =512所以Fo = 8000 =15.625 Hz5126.設(shè)有一譜分析用的信號(hào)處理器，抽樣點(diǎn)數(shù)必須為2的整數(shù)幕，假定沒(méi)有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理措施，要求頻率分辨力 <10 Hz,如果采用的抽樣時(shí)間間隔為0.1ms,試 確定：(1)最小記錄長(zhǎng)度；(2)所允許處理的信號(hào)的最高頻率；(3)在一個(gè)記錄中的最少 點(diǎn)數(shù)。分析抽樣間隔 T和抽樣頻率 fs滿(mǎn)足fs=1/T,記錄長(zhǎng)度T。和頻域分辨力 F。的關(guān)系為T(mén)。=1/F。抽樣定理為fs a 2 fh(二為信號(hào)最高頻率分量)，一個(gè)記錄中最少抽樣總數(shù)N 滿(mǎn)足N二五4TF0F0解:(D1因?yàn)門(mén)。=,而F0 <10

7、Hz,所以 %.1T 0 s10即最小記錄長(zhǎng)度為0.1s。11a一(2)因?yàn)?fs=M103=10kHz,而T 0.1fs 2fh所以.1 .fhfs=5kHzh 2 s即允許處理的信號(hào)的最高頻率為 5 kHz。(3) N之五=01父103 =1000,又因N必須為2的整數(shù)幕，所以一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)T 0.1為 N =21° =1024 。7.令X(k)表示N點(diǎn)序列x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換,(1)證明如果x(n)滿(mǎn)足關(guān)系式x(n) = -x(N -1 -n),則X(0) = 0(2)證明當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，如果x(n)=x(N -1-n),則X(N/2) = 0分析這兩個(gè)是有限長(zhǎng)序列

8、，當(dāng)x(n)滿(mǎn)足關(guān)系式x(n) = x(N 1 n)時(shí)稱(chēng)x(n)為偶對(duì)稱(chēng)序列，偶對(duì)稱(chēng)中心為n=(N1)/2;當(dāng)x(n) = _x(N _1 _ n)時(shí)稱(chēng)x(n)為奇對(duì)稱(chēng)序列，奇對(duì)稱(chēng)中心為n=(N 1)/2。在第七章中會(huì)討論以它們作為單位抽樣響應(yīng)時(shí)濾波器特性的情況。證明N J(1)因?yàn)?X(k) =£ x(n)W；k , 0 <k < N -1n衛(wèi)當(dāng) x(n) = _x( N _1 _n)時(shí)N 1X(k)-x(N -1 -n)RN(n)WNnk n ON 1x(N -1 -n)N RN(n)WN；(N JJ)WNk(NJ) n zQN nk k(N -1) =- x(n)WN Wjn Q可以求得 X(k) = -X(-K)NWN；(NJ)RN(k)當(dāng) k =0 時(shí) X(0) = -X ( -0) = -X(0)即X(0)=0(2)依!I(1),當(dāng) x(n) =x(N 1 n)時(shí)，可得N 1X(k)x(N -1-n