點到直線的距離教(學)案

1、點到直線的距離人教版高二第二冊(上)第七章第三節(jié)第4課時y山西省陽泉市蔭營中學王萍教學目標:(1)讓學生理解點到直線距離公式的推導，掌握點到直線距離公式及其應用，會用點到直線距離求兩平行線間的距離；(2)培養(yǎng)學生觀察、思考、分析、歸納等數(shù)學能力，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化(或化歸)、學思想、特殊與一般的方法以及數(shù)學應用意識與能力；(3)引導學生用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點看問題，了解和感受探索問題的方式方法，在探索 問題的過程中獲得成功的體驗.教學重點：點到直線距離公式及其應用.教學難點：發(fā)現(xiàn)點到直線距離公式的推導方法.教學方法：問題解決法、討論法.教學工具：計算機多媒體、實物投影儀.教學過程：一、創(chuàng)設(shè)情景提出問題

2、多媒體顯示實際的例子：某電信局計劃年底解決本地區(qū)最后一個小 區(qū)P的電話通信問題.離它最近的只有一條線 路通過，要完成這項任務(wù)，至少需要多長的電經(jīng)過測量，若按照部門內(nèi)部設(shè)計好的坐標圖(即以電信局為原點)，得知這個小區(qū)的坐標為P ( 1,5),離它最近線路其方程為2x+y+10=0 .這個實際問題要解決，要轉(zhuǎn)化成什么樣的數(shù)學問題？學生得出就是求點到直線的距離. 教師提出這堂課我們就來學習點到直線的 距離，并板書寫課題：點到直線的距離.、自主探索推導公式多媒體顯示：已知點P(x0, y0),直線l: Ax+By+C=0 ,求點P到直線l的距離.怎樣求點到直線距離呢？學生思考，做垂線找垂足 Q,求線段

3、PQ的長度.怎樣用點的坐標和直線方程求和表示點到直線距離呢?教師提示在解決問題時先可以考慮特殊情況，再考慮一般情況.學生提出平行于 x軸和y軸的特殊情況.學生解決.板書:當A =0時,1:By+C = 0, PQ =y。yQ=y +C y0BBy0 CAx。CA、，一 一一一C當 B =0時，l : Ax + C = 0, PQ = x0 xQ = x0 十一= 11A當AB# 0時,如何求PQ ?學生思考回答下列想法：思路一：過P作PQ _L l于Q點，根據(jù)點斜式寫出直 線PQ方程，由PQ與l聯(lián)立方程組解得Q點坐標，然后 利用兩點距離公式求得.教師評價：此方法思路自然.教師繼續(xù)提出問題：求線

4、段長度可以構(gòu)造圖形嗎？（2）什么圖形？如何構(gòu)造？（3）第三個頂點在什么位置？（4）特殊情況與一般情況有聯(lián)系嗎？學生探討得到：構(gòu)造三角形，把線段放在直角三角形中.第三個頂點在什么位置？可能在直線l與x軸的交點M或與y軸交點N,或過P點做x,y軸的平行線與直線l的交點R、S.教師根據(jù)學生提出的方案，收集思路.思路二：在直角PQU,或直角4PQN中，求邊長與 角（角與直線到直線角有關(guān)），用余弦值.思路三：在直角4PaR,或直角4PQS中，求邊長與角（角與直線傾斜角有關(guān)，但分 情況），用余弦值.思路四：在直角HRS中，求線段PR、PS、RS,利用等面積法（不涉及角和分情 況），求得線段PQ長.學生分組

5、練習，教師巡視，根據(jù)學生情況演示探索過程.B（思路一）解：直線 PQ : y y。= （x x。）（x # x。），即 Bx Ay = Bx。 Ay。A2B Xo - ABy。-ACBx _ Ay = Bx0 一 Ay0，xQAx + By+C =。xQ -X。=22B x。-ABy。- AC - Ax。2- B x。-A Ax0 By0 CA2 B22_T2ABAxo By。 CByQ - y。= 丁 x - x。- -bA-x。yQ - y。2_2AB. A2 B2 Ax。 By。CAXo By。C（思路四）解：設(shè) P（x0,y。），Q（xQ,yQ 入A2B2R（XR, y0 ）,S（X。

6、, yS ）Axr By。 C=0 , xrs©。, L&FRP=Xo -xrAx。 By。 CPS=y。-ysAx。 By。 C由PQRS = PR PSPQ =PR PSRS而RS=Jrp+|ps,A2 B2Ax。By。C ,1 2A BPQAxo By。CAB, A2 B2Axo By。C.A2 B2說明：如果學生沒有想到思路二、三，教師提示做課后思考作業(yè)題目.教師提問：上式是由條件下 當AB#0時得出，對當A = 0,或B=0寸成立嗎?點P在直線l上成立嗎？公式結(jié)構(gòu)特點是什么？用公式時直線方程是什么形式？由此推導出點P(x0, y0)到直線l: Ax+By+C=0距離

7、公式：AX0 By0 c.，d=J_,丫適用于任意點、任意直線.,A2 B2教師繼續(xù)引導學生思考，不構(gòu)造三角形可以求嗎？(在前面學習的向量知識中，有 向量的模.由于在證明兩直線垂直時已經(jīng)用到向量知識，且也提出過直線的惱向量的概 念.)能否用向量知識求解呢？思路五：已知直線i的法向量n,則pq = r, PQ- = I九I n ,如何選取法向量？直線的方向向量A、. . . 一 . B '.1,- 則法向量為1,B 或(A,B ),或其它.由師生< B)A AJ一起分析得出取n =(A,B ).教師板演：PQ = (xq - X0, yQ -y0 ),九n = OA) Xq -X0

8、 = A = Xq = X。 AAX0 By° CA 2-2A BVq-V0=?bTyQ=y0+'0B ,由于點q在直線上，所以滿足直線方程A(X0 +兒A) +B(yO +KB) +C =0,解得二人=二 PQ =九 nAxo By。 C| . 222. A BA2 B22Ax。 By。CA B2教師評析：向量是新教材內(nèi)容，是一種很好的數(shù)學工具，和解析幾何結(jié)合應用是現(xiàn)在新 教材知識的交匯點.而且上述方法在今后解析幾何與向量結(jié)合的題目中，用坐標聯(lián)系轉(zhuǎn)化是常用方法.三、變式訓練學會應用練習：1 .解決課堂提出的實際問題.(學生口答)2 .求點Po(1,2)到下列直線的距離： 3

9、x=2 5y=3 2x + y=10 y= 4x+1練習選擇：平行坐標軸的特殊直線，直線方程的非一般形式.練習目的：熟悉公式結(jié)構(gòu)，記憶并簡單應用公式.教師強調(diào)：直線方程的一般形式.例題：3.求平行線2x-7y + 8=0和2x 7y 6=0的距離.教師提問：如何求兩平行線間的距離？距離如何轉(zhuǎn)化？學生回答：選其中一條直線上的點到另一條直線的距離.師生共同分析：點所在直線的任意性、點的任意性.幾何畫板演示點和直線變化，選取點和直線.學生自己練習，教師巡視.教師提問幾個學生回答自己選取的點和直線以及結(jié)果.然后選擇一種取任意點的方法進行板書.解：在直線 2x 7y 6=0 上任取點 P(xo, yo)

10、,則 2 xo 7 yo6=0,點 P(xo, yo)到直線2x 7y + 8=0的距離是d =即- 7y0+8 .22(-7)26+8| _ 14/53.53 一 53教師評述：本例題選取課本例題，但解法較多.除了選擇直線上的點，還可以選取原點,求它到兩條直線的距離，然后作和.或者選取直線外的點P,求它到兩條直線的距離,然后作差.弓I中思考：Ax+By+C1 =0與Ax + By+C2 =0兩平行線間距離公式.四、學生小結(jié)教師點評知識：點到直線的距離的公式推導以及應用.、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般的方法. 數(shù)學思想方法：類比、轉(zhuǎn)化（或化歸）1y五、課外練習-5鞏固提高4 總結(jié)寫出點到直線距離公式的

11、多種方法.教學設(shè)計說明：一、教材分析我主要從三方面：教材的地位和作用、教學目標分析、教學重點和難點來說明的.教 學目標包括：知識、能力、德育等方面的內(nèi)容.我確定教學目標的依據(jù)有教學大綱、考 試大綱的要求、新教材的特點、所教學生的實際情況.二、教學方法和教學用具1、教學方法的選擇(1)指導思想：“以生為本”的理念，在課堂中充分體現(xiàn)“教師為主導，學生為主體(2)教學方法：問題解決法、討論法.2、教學用具的選用采用了計算機多媒體和實物投影儀教具，不僅將數(shù)學問題形象、直觀顯示，便于學 生思考，而且迅速展示學生不同解題方案，部分純計算的解題過程，提高課堂效率.三、教學過程這節(jié)課在：創(chuàng)設(shè)情景 提出問題一一

12、自主探索 推導公式一一變式訓練 學會應用一 一學生小結(jié)教師點評一一課外練習 鞏固提高”五個環(huán)節(jié)中，始終以學生為本.教師主 導，學生自主探究，將問題解決.首先多媒體顯示實例，引發(fā)學生的學習的興趣和求知欲望，從而引出數(shù)學問題.通 過一系列問題引導學生通過圖形觀察，進而思考、分析、歸納總結(jié)選擇較好的方法具體 實施.學生分組練習，落實計算能力，培養(yǎng)合作學習能力.關(guān)于思路五，在課本中沒有 出現(xiàn)這樣的證法，我在課堂上選取這樣的證法.主要是考慮到：向量是新教材內(nèi)容，是 一種很好的數(shù)學工具，和解析幾何結(jié)合應用是現(xiàn)在新教材知識的交匯點.而且上述方法 在今后解析幾何與向量結(jié)合的題目中，用坐標聯(lián)系轉(zhuǎn)化是常用方法，這樣思路五的給出 不僅符合新教材的要求，也為今后的學習方法奠定了基礎(chǔ).我選擇練習目的：熟悉公式結(jié)構(gòu)，記憶并簡單應用公式，主要通過學生口答完成.我強調(diào)注意在公式中直線方程的一般式.例題的選取來自課本，但是課本只有一種特殊點的 解法.我把本例題