空間角的求法精品(教案)

1、空間角，能比較集中反映空間想象能力的要求，歷來為高考命題者垂青，幾乎年年必考?？臻g角是異 面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角總稱?？臻g角的計算思想主要是 轉(zhuǎn)化：即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，把角的計算轉(zhuǎn)化到三角形邊角關(guān)系或是轉(zhuǎn) 化為空間向量的坐標(biāo)運算來解?？臻g角的求法一般是： 一找、二證、三計算。一、異面直線所成角的求法異面直線所成的角的范圍:（一）平移法【例1】已知四邊形 目 為直角梯形， I , ri , 平面 回，且日 ,，求異面直線 PC與BD所成角的余弦值的大小?！窘狻窟^點目作 目 交回的延長線于|回，連結(jié)回，則回與臼所成的角為 目或它的補角與由余弦定理得M回與| Ld所成角的余弦

2、值為 0（二）補形法【變式練習(xí)】已知正三棱柱 I I的底面邊長為8,側(cè)棱長為6,凹為回 中點。求異面直線|_x|與回所成角的余弦值。【答案】02 / 8,所以1為等邊三角形。，點id在平面回、直線與平面所成角直線與平面所成角的范圍:方法：射影轉(zhuǎn)化法（關(guān)鍵是作垂線，找射影）【例2如圖，在三棱錐中，I X I ,X ,內(nèi)的射影百在Ld上，求直線 回 與平面 El所成的角的大小?！窘狻窟B接叵，由已知，三J為直線回與平面H所成角設(shè)Ld的中點為|回，連接日 。I,所以 I I不妨設(shè) gj ,則I【變式練習(xí)1】如圖，四棱錐 i = i 中，,側(cè)面 叵1為等邊三角形。_ ,求w與平面國所成的角的大小?！窘狻?/p>

3、由平面叵知，平面平面回作三j ,垂足為| 國 ,則曰平面回作 I * 1,垂足為s ,則 I連結(jié)回，則 I I ,又 I - I ,故o平面三 ,平面三I平面三I作 * 1, |回為垂足，則 J平面向I ,即回到平面E的距離為三由于 L=J ，所以凹平面X ,故回到平面H 的距離11也為回設(shè)與平面|臼所成的角為回，則 I x |,則 I x |【變式練習(xí)2】如圖，在四棱錐,求直線臼與平面上|所成角的正弦值。于點寸，連接Ld面山，則 3 是直線皿與平面 0 所成角中，底面目是矩形,F!平面 L=l I中,中,面角的求法面角的范圍:求二面角的大小， 關(guān)鍵在于找出或作出二面角的平面角。從找平面角的角

4、度出發(fā)，有以下幾種方法：（一）定義法：在棱上選一恰當(dāng)?shù)摹包c”（一般是選一個特殊的點，如：垂足、中點等） ，過這一 “點”在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）【例3】在三棱錐 行I中,求二面角的余弦值。X I ,則 * 為可3 / 81,與面目所成角的大小為 回,求二面角 的大小?！窘狻吭诨厣先?21 ，作【變式練習(xí)】 如圖，點21在銳二面角1= 的棱 K 上，在面目內(nèi)引射線 歸|,使H 與臼 所成【解】在射線|臼上取一點|回，作 日 于點可作 1 = 1 于回（二）利用三垂線三垂線定理： 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線

5、在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面 內(nèi)的射影。從半平面| h內(nèi)的任一點d出發(fā)向另一個半平面 回引一條直線 臼，過日作棱的垂線 X ,垂足為國，連回，則由三垂線定理可證日 ，故 日 就是二面角 口山 的平面角。三垂線定理是求解二面角問題的最常用的方法，其關(guān)鍵是尋找或求作一條垂線，即從第一個半平面 內(nèi)的某一個點出發(fā)，且垂直于另一個半平面。，點回在平面回【例4】如圖，在三棱錐中， I x , 匹內(nèi)的射影 另在日 上，求二面角的大小?！窘狻窟^臼中點作于回，連接回，由已知可得，回平面山據(jù)三垂線定理可知，

6、則叵為 Ji的平面角易知，若閆則InJ , I x 在 中， I x -【變式練習(xí)】在直三棱柱I I 中， I X |, I X I ,直線區(qū)|與平面區(qū)成二角，求二面角|y|的正弦值?！窘狻坑芍比庵再|(zhì)得平面可 “平面 XI ，過Id作叵I日平面|x垂足為回，則日平面|x| （回即為我們要找的垂線）在平面Lrl內(nèi)過回作回兇棱，垂足為習(xí)，連囚則 區(qū)I即為二面角的平面角。上|在平面巨內(nèi)的射影為也J , I I| I ，又 | 23-= I,得 I X IT直線匡與平面巨成引角一 ，又 ，則 二 中，由勾股定理得L=Jri ,在 中， I I ,得 | x |E=J即二面角l x |的正弦值為0從

7、不直接找出平面角的角度出發(fā)，主要有兩種方法：面積法（面積射影法），向量法。（三）面積法（面積射影法）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（ 回 ）求出二面角的大小,。求證： X I【例5】如圖，網(wǎng)為正方體 | 一 | 的棱J 的中點，求平面 山 和底面 L 所成銳角的余弦值?！敬鸢浮克蠖娼堑挠嘞抑禐?0 / 8【變式練習(xí)】如圖,時是正方形匕J所在平面外一點，且求面口與面三I所成二面角的大小。四、真題演練1 .（山東）已知二棱柱1 X 1 的側(cè)棱與底向垂苴，體積為_為底面 山 的中心，則 可 與平面 叵1所成角的大小為（回回3 3回日

8、2 .（大綱）已知正四棱柱1 - 中，|_=_| ，則 叵與回國同目囚區(qū)3 .（山東）如圖所示，在二棱錐占J 中， 山 平囿 3J1 X 1 , 1 X1 的中點，1 X 1 , H與叵交于點11）證明：臼/ H ;（2）求一面角的余弦值。4 .（陜西）如圖，四棱柱1 II的底面日是T ,=1。（1）證明： LJ平面 1工1；（2）求平面LrJ與平面1-1的夾角4的大小。,底面是邊長為兇的正三角形，若回）回X半面山所成角的止弦值等于（）3 0,1 4 , 1 1 分別是J ,叵與叵交十點21 ,連接回。P上方形，為底向中心，山平囿D_AB5 .（湖南理）如圖在直棱柱L=J（1）證明:;（2）求

9、直線叵|與平面山所成角的正弦值。6 .（四川理）如圖，在三棱柱I 中，側(cè)棱 EI底面 石, I _ I ,1_2壬J,回分別是線段二|的中點，”是線段|臼|的中點.（1）在平面 國 內(nèi)，試作出過點與平面 上平行的直線可，說明理由，并證明直線 臼平面LT ； （2）設(shè)（1）中的直線，交LJ于點1 ,交 自 于點3|,求二面角| I的余弦值.BBi7 .如圖，在四棱錐 N3 中，I I 且;平面 曰|凹|平面 日I 一二 ;為回的中點， I I .求：（1）點回到平面ijj的距離；（2）二面角 r 1 的大小?！窘狻浚?） 一1,且 曰 平面 巨1j -平面 叵則|回點到平面 叵的距離等于點到平面 巨的距離可平面日平面 _故 ,從而巨口由 mi ,得又由 I 7 知回平面日從而叵為點| k到平面叵的距離(2)如圖，過佃作 1一 1,交回于點-,又過M點作 | 一 1 交臼于：J故 nn 為