向量中的經(jīng)典“奔馳定理”證明與應(yīng)用與推廣

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上向量中的經(jīng)典“奔馳定理”證明及應(yīng)用與推廣一、奔馳定理及證明圖 1如圖 1，已知 P 為 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，則PA S BPCPB S APCPCS APB0奔馳定理證明：若 PA'PB'PC'0 ，則 P為 A'B' C' 重心 ，不妨設(shè) xPAPA' , yPBPB ' , zPC PC 'x P Ay P Bz P 0C(1)1'|'|''S PBCxS PBC1 |PB| PC''S PBC| PB | | PC | sinBPCsin B PC

2、''2 yzyzxyz2同理可得 S PACyS' '，SPABzS''PACPA Bxyzxyz''S''S'又SPBCP A CP A Bx:y:zSSPAC:SP B CPBC:(1)式可化為 P A SB P CP BSAPCP CSA P B0奔馳定理得證最簡單的一個(gè)就是面積法。用三角形面積公式帶入，約去三條線段長度之積，得到三個(gè)單位專心-專注-專業(yè)1向量的關(guān)系，將它們放入單位圓中。圖2如圖 2，已知、 、所對(duì)的角分別為， ，則P為單位圓， A， B， C在圓上 ， AP BP CPAP sinB

3、P sinCP sin0真·奔馳定理這時(shí)的圖形就真的很想奔馳車標(biāo)了，所以我稱它【真·奔馳定理】。奔馳車標(biāo)接下來，我們要證明的就是這個(gè)了。這個(gè)證明只需要建立平面直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)定義、三角恒等變換公式、向量坐標(biāo)運(yùn)算就可以輕松證明了。于是整個(gè)定理就得到了證明。二、奔馳定理在向量中應(yīng)用2例 1 、若ABC 內(nèi)接于以 O 為圓心，以 1 為半徑的圓， 且 3OA4OB5OC0 ,則該ABC 的面積為。答案： 56答案解析：由奔馳定理得：設(shè)S O B C3 x， S O A C 4 ，xSO A B5 x例 2 、【 2016 年清華領(lǐng)軍】若OABCS AOB :S BOC :

4、S COA4:3: 2AOABAC，為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，設(shè)則 + =答案： 23例 3 、，且滿足 |PB|=2 ，|PA|=2 ， APB5，且2 AP 3PB PC40，則P為 ABC內(nèi)部一點(diǎn)6ABC的面積為（）94C、16A、B、D、835答案： 98三、奔馳定理推廣3推廣 1 、如果 P 不在三角形內(nèi)呢？既然有向量，那么我們可以給面積也定義方向，當(dāng)然有向面積 不是向量，只是有正負(fù)，內(nèi)部為正，外部為負(fù)。因?yàn)槲覜]有想出合適的符號(hào)，所以用了向量的符號(hào)。在三角函數(shù)定義時(shí)，三角函數(shù)線是有向線段，x 軸上方為正，下方為負(fù)圖 3如圖 3，已知 P 為平面內(nèi)一點(diǎn)，則PA S BPCPB S APCPCS APB0EX·奔馳定理這個(gè)是對(duì) 奔馳定理 的推廣，我稱它為 【EX·奔馳定理】。那么最后我們對(duì)它做進(jìn)一步推廣，大家可以來思考一下。推廣 2、【 EX·奔馳定理-A 】將三角形改為多邊形，結(jié)論