第華羅庚杯賽決賽初一組試題及答案

1、總分第二十一屆華羅慶金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題（初一組）（時間:2016 年 3 月 12 日 10:0011:30）一、填空題（每小題10分，共80分）1 .已知n個數(shù)x1，X2,，Xn,每個數(shù)只能取0, 1, -1中的一個.若X1 +X2 十十 Xn =2016,貝u X12015 +X2015 +x2015 的值為.號證賽參二二二二名姓 二二二二二二校學2 .某停車場白天和夜間兩個不同時段的停車費用的單價不同.張明 2月份白天 的停車時間比夜間要多40% , 3月份白天的停車時間比夜間要少 40% .若3月 份的總停車時間比2月份多20%，但停車費用卻少了 20%,那么該停車場白 天時段

2、與夜間時段停車費用的單價之比是 .題答勿請內(nèi)線封密3 .在9M 9的格子紙上，1父1小方格的頂點叫做格點.如右圖， 三角形ABC的三個頂點都是格點.若一個格點P使得三角 形PAB與三角形PAC的面積相等，就稱P點為“好點”.那 么在這張格子紙上共有 個“好點”.4 . 設(shè)正整數(shù)x, y滿足Xy -9x 9y =20,貝U X2+y2 =5 .甲、乙兩隊修建一條水渠.甲先完成工程的三分之一，乙后完成工程的三分之二，兩隊所用的天數(shù)為 A；甲先完成工程的三分之二，乙后完成工程的三分 之一，兩隊所用天數(shù)為B；甲、乙兩隊同時工作完成的天數(shù)為C.已知A比B多5, A是C的2倍多4.那么甲單獨完成此項工程需

3、要 天.6 .已知 x +y + z = 5 ,2+1+1=5 , xyz =1,貝U x2 + y2 + z2=. x y z7 .關(guān)于x, y的方程組1-x y 二a2|x| -y = 1只有唯一的一組解，那么a的取值為.8 .右圖是一個骰子的展開圖，每個面是一個單位正方形.用四個骰子粘成 一個2父2父1的長方體放到桌面上，要求每 兩個粘在一起的 面上的“點數(shù)”相同.長方體放到桌面上 的六個面分別記為 上、下、左、右、前、后六個面，兩個 長方體不同是指對應 六個面的“點”的拼圖不同.不考慮長方體的旋轉(zhuǎn)，共 可以粘出.種不同的長方體、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9

4、.在恰有三條邊相等的四邊形中，有兩條等長的邊所夾的內(nèi)角為直角.若從該直角頂點引出的對角線恰好把這個四邊形分成兩個等腰三角形 所對的角的度數(shù).,求該直角10 .圍著一張可以轉(zhuǎn)動的圓桌，均勻地放著8把椅子，在桌子上對著椅子放有8 個人的名片.這8個人入座后，將圓桌順時針轉(zhuǎn)動，第一次轉(zhuǎn)45、從第二 次開始，每次轉(zhuǎn)動比上一次多轉(zhuǎn) 45°.每轉(zhuǎn)動一次，當某人對著自己的名片 時，取走自己的名片.如果入座時誰都沒有對著自己的名片，那么桌子至少 轉(zhuǎn)多少度才能保證所有入座可能的情況下8個人都拿到了自己的名片？11 .兩張8父12的長方形紙片重疊地放置，有一個頂點重合，尺寸如 右圖所示.問圖中陰影部分的

5、面積是多少？1212 .證明：對任何非零自然數(shù)n,n33n221+ 2 n - 1 ,都是整數(shù)，并用3除余2。三、解答下列各題（每小題15分，共30分,要求寫出詳細過程）13 .如右圖,ABCD是正方形，F(xiàn)是其兩條對角線的交點,EBC邊上，BE： EC =1： 2, DE與對角線AC的交點為G, 角形DFG的面積等于2.求正方形ABCD的面積.14 .排成一行的學生，從左到右1至3報數(shù)，最后一個人報在2.從右到左1至m報數(shù)，最后一個人報1,這里m與3互質(zhì).現(xiàn)凡報過1的學生出列，其余原 地不動，共留下62名，其中只有21對學生原來相鄰.問原來有多少名學生？ m的值是多少？第二十一屆華羅庚金杯少年

6、數(shù)學邀請賽決賽試題參考答案（初一組）一、填空題（每小題10分，共80分）題號12345678答案201625:16122003015-1288二、解答下列各題（每小題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9.【答案】135。，45?！窘獯稹吭谇∮腥龡l邊相等的四邊形中，三條相等的邊相鄰，不妨設(shè)為AB = BC = AD .若直角頂點引出的對角線恰好把四邊形分成兩個等腰三角形,則有兩種情況.圖9-2圖9-1（1）如圖9所示，直角頂點4引出的對角線.4C分成的兩個等腰三角形中，AB = BC、AD = AC .在等腰三角形且8。中：因為.鋁= 3C = .4C：所以三角形H3C為等邊三角形.進 而ZB

7、CA =/.CAB =60°, ZDAC =30°.在等腰三角形神中中：ZJCD = 1（180°-ZZ）JC）= 75oI所以 N5CD =135。.（2）如圖9-2所示，直角頂點4引出的對角線4c分成的兩個等腰三角形中，AB = BC、AC = CD .取40的中點及連接CE：貝IJCE_4P.所以刈CH.過3作* J,CE于£則四邊形.43隹為矩形.所以BF =-AD=-BC.22在直角三角形BC尸中：因為5c = 25尸，所以N5CE=30。.因為.”=5C ,所以 Z.BCA = ZACE .得Z.BCA = NACE =15°.最終

8、，4BCD =45°.10.【答案】1260*【解答】按照題目的設(shè)定，第一次轉(zhuǎn)45。，從第二次開始，每次轉(zhuǎn)動比上一次多轉(zhuǎn)45。，所以從第1次到第上次共轉(zhuǎn)了-Arx(jt4-l)x45°.除以8的余數(shù).要想保證每個人都拿到自己的名片，則需要每個人至少與桌子上的卡片位置對 上一次.從某個人名片開始順時針記每張名片時應的椅子位置為第0J, 2= 3, 4, 53 6/號.第k次轉(zhuǎn)動后.0位置的名片對應的椅子位置的號數(shù)為k123456789沁(4+1)136101521283645觸(加1)除以8的余麴1362754454x(4+1)x452=ifcx(fc + l)452可以看出

9、.前7次旋轉(zhuǎn)：第。號名片所處的位置各不相同：并且都不在0卡片的 起始位置,因此由抽屜原則：?？ㄆ闹魅艘欢梢阅玫阶约旱目ㄆ?由對稱性, 旋轉(zhuǎn)七次.所有的人都拿到了卡片.當旋轉(zhuǎn)次數(shù)小于7時.第。號名片在第4號位置上沒有停留過.如果第。號 的名片上的人正好坐在第4號位置上，則這個人就拿不到自己的名片.所以旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為28 x45 = 1260 .11.【答案】54【解答】如右圖將重疊部分標上字母：連接,4U由于 .10 = 12, CD = 8-7 = 1,所以A4co 的面積=6, AC2 = 1+12 = 145.又N3=8,所以BC2= JC2-82 =145-64 = 81. BC=9.

10、因此M8C 的面積 2x8x9 = 36.2所以四邊形ABCD的面積=6 - 36 = 42 .因此陰影部分面積8x12 -42 =54.12.【證明】首先，有«3+-w2 +-n-l=-(2n3 +3n2 +)-1 2221 , 1 z 、=+3w+1)-1 = -w(2w(«+1)+m+1|-12 2= w(A2+l)(2w+l)-l.因為+1)是偶數(shù)，所以1是整數(shù).又-m(m+1)(2m+1)-1 = j"/"+DQ"+.) -1= /"Q'+LQ'+Q -3+2, 288而2威力?+1)(2+ 2)是三個相繼的

11、整數(shù)的乘積：是3的倍數(shù)，是3和8的公倍數(shù).所以，/-1被3除余2.三、解答下列各題(每小題15分，共30分，要求寫出詳細過程)13.【答案】40【解答】設(shè)正方形288的面積是q連接EF,見右圖，則三角形BCF的面積=三角形DFC的面積=, 4三角形BE產(chǎn)的面積三角形EC尸的面積=幺 0三角形的面積=2 O三角形FED面積=三角形BED的面積-三角形BEF的面積=.由共邊定是,a aAECF的面積_皿C的面積=CF 7_4 A£G一的面積一 ADFG的面積一才巴12得到：a = 40 .14.【答案】125,4【解答】設(shè)原來有N人，原來的隊伍從左到右編號，1, 2,，N,則第一次報1 的有寸+ 1人，他們的編號是，V-2 3k+1, 3=0,12,-+1；第二次報1的有上1+ 1人，他們的編號是 mV-1wZ + L Z = 0sls2,-,-+1.m兩次都報1的人滿足條件:3/c+1 = m2 +1.因為GM = 1,所以，=3乙r = o2千甘兩次都報1的人的編號是共計有若卜隊.首先讓第一次報1的人出列，出列寧+1人，留下的人成2人相鄰一組共有三組和最右邊一個一人組；讓第二次報1而第一次不報1的人出現(xiàn)出來N-1 , + 1-N-13mN-13m隊）.另一方面，第二次出列的除了最