考研線性代數(shù)總結(jié)

1、線性代數(shù)總結(jié)概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計(jì)算必須準(zhǔn)確A可逆r（A） nA勺列（行）向量線性無關(guān)A勺特征值全不為0Ax 只有零解x , AxA 0Rn,Ax 總有唯一解ATA是正定矩陣A EA p1P2 ps R是初等陣存在n階矩陣B,使得AB E或AB EO：全體n維實(shí)向量構(gòu)成的集合 Rn叫做n維向量空間.A不可逆r（A） nA 0A勺列（行）向量線性相關(guān)0是A勺特征值A(chǔ)x 有非零解，其基礎(chǔ)解系即為A關(guān)于 0的特征向量aEr(aE bA)(aE bA)x有非零解向量組等價(jià)矩陣等價(jià)（） 矩陣相似（:） 矩陣合同（；）具有 反身性、對(duì)稱性、傳遞性 稱為？n的標(biāo)準(zhǔn)基，？n中的自然基

2、，單位坐標(biāo)向量P教小87 ,e,e2, ,en線性無關(guān);ei，e2, en1; trE=n； 任意一個(gè)n維向量都可以用e,e2, ,en線性表示行列式的定義V行列式的計(jì)算:行列式按行a11a12Lana21a22La2nMMMan1an2LannDn(1)僅“%1舊2anjn jjL jn展開定理:行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零若A與B都是方陣（不必同階）A B（拉普拉斯展開式） 上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積an關(guān)于副對(duì)角線:a2n 1a2nan1不同列的n

3、個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）范德蒙德行列式:矩陣的定義由m伴隨矩陣A1)mn A Bann(n 1)1)-a1na2nK an1(即：所有取自不同行11L1XiX2LXn22L2XiX2xnMMMn 1n 1Ln 1XiX2xn1n個(gè)數(shù)排成的m行n列的表a21Mam1XixjAjAiA21LAn1AI2A22LAn2MMMAnA2nLAnV逆矩陣白求法：(AME)初等行變換_1(EMA )ai2a22Mam2ana2nMamn稱為m n矩陣.記作：AAj為A中各個(gè)元素的代數(shù)余子式ad bc c a主L換位 副L變號(hào)aij m n 或 Am naiaia2a2a21a31a?a3a3a31a；V方陣的

4、哥的性質(zhì)：AmAn(Am)n (A)mnV設(shè)Amn, Bn s, A的列向量為1,2,n,B的列向量為則 ABCm sb11 b21Mb12 b22Mbls b2sMc1,c2,L ,csi ci ， (i 1,2 ,L ,s)Ax Ci的解示.即:C的列向量能由同理:C的行向量能由ana12即:a21Ma22Man1an2V用對(duì)角矩陣用對(duì)角矩陣bn1bnsA nA2,Ac1，c2，L ，csG,C2,L ,Cs可由1, 2, n線性表A的列向量線性表示,B的行向量線性表示,a1na2nMamnB為系數(shù)矩陣.AT為系數(shù)矩陣a111a12a1nc2Ma211a22La2nLc2cmam11 dm

5、2amncm，相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的向量;，相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的V兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘V分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:分塊矩陣的逆矩陣:分塊對(duì)角陣相乘:分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣:A1A22ATBTCTDTA1,BV矩陣方程的解法（A 0）：設(shè)法化成（I）1 _ 1A 1CB 1B1BAAXABAR*AB(II)XAA 1B 1CA 1A22 B22,An(1)mn B AA；A2(1)mn A B（I）的解法：構(gòu)造（AMB）初等行變換（EMX）（II）的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為AT XT BT,用（I）的方法求出XT,再轉(zhuǎn)置得X零向量是任何向

6、量的線性組合，零向量與任何同維實(shí)向量正交 . 單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無關(guān). 部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān).（向量個(gè)數(shù)變動(dòng)） 原向量組無關(guān)，接長(zhǎng)向量組無關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān) ，原向量組相關(guān).（向量維數(shù)變動(dòng)） 兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān)P教材114 .向量組1, 2,n中任一向量i （1 w i W n）都是此向量組的線性組合向量組1, 2,n線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余n1個(gè)向量線性表示.向量組n線性無關(guān)向量組中每一個(gè)向量i都不能由其余n 1個(gè)向量線性表示.m維列向量組2, , n線性相關(guān)r(A) n；m維列向量組2, , n

7、線性無關(guān)r( A) n.n線性無關(guān)，而1 , 2,線性相關(guān)，則可由1,2, n線性表示，且表示法唯一.矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù)行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為 0;每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為 1,且這些非零元所在列的其他元素都是0時(shí)，稱為行最簡(jiǎn)形矩陣? 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩，且不改變列向量間的線性關(guān)系;矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行向量間的線性關(guān)系 .即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.V矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對(duì)A施行一次初等

8、）變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣 乘A;對(duì)A施行一次初等 例）變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣 ）乘A.矩陣的秩|如果矢I陣A存在不為零的r階子式，且任意r 1階子式均為零，則稱矩陣 A的秩為r.記作r（A） r向量組的秩向量組1, 2,L , n的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)向量組的秩.記作 r( 1, 2,L , n)矩陣等價(jià) A經(jīng)過有限次初等變換化為B.記作：A%B向量組等價(jià)n可以相互線性表示.記作:1 , 2,% 1, 2, n? 矩陣A與B等價(jià) PAQB,P,Q可逆r(A)r(B), A, B為同型矩陣A, B作為向量組等價(jià)，即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣A與B作

9、為向量組等價(jià)r( 1 , 2 ,n) r(1, 2 ,n) r( 1,2,矩陣A與B等價(jià).? 向量組2,S可由向量組1 , 2,n線性表示AXB有解r(n)= r(2, s)r ( 1, 2 ,s)< r(2, n ) .? 向量組1,2,s可由向量組2,n線性表示Ms n，則 1 , 2,s線性相關(guān).向量組1,2,s線性無關(guān)，且可由1,2, n線性表示，則swn.? 向量組1,2,s可由向量組2,n線性表示，且r(1, 2,s) r( 1, 2, , n),則兩向量組等價(jià);p教才94,例10?任一向量組和它的極大無關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)?向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極

10、大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定若兩個(gè)線性無關(guān)的向量組等價(jià)，則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等設(shè)A是m n矩陣，若r(A)m, A的行向量線性無關(guān);V矩陣的秩的性質(zhì):r(A)n, A的列向量線性無關(guān)，即:1, 2 ,n線性無關(guān).r(A) > 1r(A)0 & r(Am n) & min(m,n) r(A)r(AT) r(ATA) p翡。 r(kA)r(A)若 k 0若Amn,Bns, 若r(AB) 0r(A) r(B)B的列向量全部是Ax r(AB) < min r(A),r(B)若A可逆© 若B可逆r(AB) r(B)r(AB) r(A)即：可逆矩陣不影響矩陣的秩Ax

11、 只有零解 若 r(Am n)r(AB) r(B)A 在矩陣乘法中有左消去律ABABO BOAC B C若 r(Bn s)r(AB) r(B)B在矩陣乘法中有右消去律. 若 r(A) rA與唯一的ErO等價(jià)，稱ErO為矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型. r(AB) w r(A)r(B)max r(A),r(B) & r(A, B) & r(A) r(B)p翡OOBBr(A) r(B)ACr O B r(A) r(B)可由1,2,L , n線性表示Ax 有解 r(A) r(AM )Ax 有無窮多解表示法不唯一1, 2,L , n線性相關(guān)當(dāng)A為方陣時(shí)不可由2,L , n線性表示Ax 無解r(A)

12、 r(A) r(A)r(AM ) r(AM ) 1 r(AM )Ax有無窮多解其導(dǎo)出組有非零解Ax0有非零解Ax有唯一解其導(dǎo)出組只有零解線性方程組的矩陣式Ax向量式xia11a12Ax有唯一組解表示法唯一當(dāng)A為方陣時(shí)克萊姆法則i,2,L , n線性無關(guān)教材72講義871x22 Lxn nAx只有零解a21A 21Ma22Malna2nM,xx2Mh b2 M1jamidm2amnxnmjxi(1,2 1L , n)x2Mxn矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(AT)T A(AB)T BTAT(kA)TkATATIA(A B)T AT BT(A1)T (AT) 1(AT ) (A )T矩陣可逆的性質(zhì)：11(A )

13、 A_1_ 11(AB) B A111(kA) k AA1IA1_11_ 1(A B) A B(A 1)k (Ak) 1 A k伴隨矩陣的性質(zhì)：(A ) An 2 A(AB) B A(kA) kn1AAllAn1* * *(A B) A B(A1)(A)1 pA(Ak)(A)kn若 r(A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n1|AB A bkA kn AAkIAka B IA IBAA AA |AE （無條件恒成立）(2)是 Ax(3)1, 2,L齊次方程組1, 2Ax的解，12也是它的解的解,對(duì)任意k,k也是它的解k是Ax的解,對(duì)任意k個(gè)常數(shù)1, 2,L , k,1 12 2 k

14、k也是匕的解線性方程組解的性質(zhì)：(4)(5)(6)(7)是Ax的解，是其導(dǎo)出組Ax 的解,2是其導(dǎo)出組設(shè)A為m n矩陣，若r(A)2是慶*1, 2 ,L的解，則,3Axr(A)1也是它的解1的解,則r(AM )是Ax的解Ax 的解2是其導(dǎo)出組Ax也是Ax的解是Ax 0的解Ax一定有解,的解1當(dāng)m n時(shí)，一定不是唯一解方程個(gè)數(shù)向量維數(shù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)心目人好，則該向量組線性相關(guān). 向量個(gè)數(shù)m是r(A)和r(AM )的上限.V判斷1, 2,L , $是人乂的基礎(chǔ)解系的條件:1, 2,L , s線性無關(guān);1, 2,L , s都是Ax 的解;s n r(A)每個(gè)解向量中自由未知量的個(gè)數(shù)V 一個(gè)齊次線性方程

15、組的基礎(chǔ)解系不唯一，若 是Ax的一個(gè)解，1, ,L , 渥Ax 的一個(gè)解 1, ,L , s,線性無關(guān)V Ax 與Bx 同解(A, B列向量個(gè)數(shù)相同)，則: 它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng)，從而秩相等;它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系 A，兩個(gè)齊次線性線性方程組Ax 與Bx 同解 r r(A) r(B).B兩個(gè)非齊次線性方程組 Ax 與Bx都有解，并且同解AM rBMr(A) r(B).V 矩陣Am n與Bl n的行向量組等價(jià)齊次方程組 Ax 與Bx 同解 PA B (左乘可逆矩陣 P );p教材101矩陣Am n與Bl n的列向量組等價(jià)AQ B (右乘可逆矩陣 Q).V

16、 關(guān)于公共解的三中處理辦法：把(I)與(II)聯(lián)立起來求解； 通過(I)與(II)各自的通解，找出公共解；當(dāng)(I)與(II)都是齊次線性方程組時(shí)，設(shè) 1, 2, 3是(I)的基礎(chǔ)解系，4, 5是(II)的基礎(chǔ)解系，則(I)與(II)有公共解基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)少的通解可由另一個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系線性表示即：r(1, 2, 3) r( 1, 2 , 3 Mc1 4 C2 5)當(dāng)(I)與(II)都是非齊次線性方程組時(shí)，設(shè)1011c2 2是(I)的通解，2C3 3是(II)的通解，兩方程組有公共解2C3 31可由1, 2線性表示. 即：r( 1, 2) r( 1, 2M2C3 31)設(shè)(I)的通解已知，把該通

17、解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿足(II)的關(guān)系式而求出公共解。標(biāo)準(zhǔn)正交基n個(gè)n維線性無關(guān)的向量，兩兩正交，每個(gè)向量長(zhǎng)度為1. n4=TT/向重a1，a2,L ,an 與h,b2,L ,bn 的內(nèi)積 (，) abJaQ a2b2 Lanbn i 1與正交 (,)0. 記為： n向量a1，a2,L刀口的長(zhǎng)度| | J(,) 靖 a2L£ i 1是單位向量11| | 7( , ) 1.即長(zhǎng)度為1的向量.V內(nèi)積的性質(zhì)： 正定性：(，)0,且(，)0對(duì)稱性：(，)(，)雙線性：(,12) ( , 1) ( , 2)(12, ) ( 1, ) ( 2, )(C ,)C( ,

18、 ) ( ,C )A的特征矩陣E A.A的特征多項(xiàng)式1| E A ().V ()是矩陣A的特征多項(xiàng)式(A) OA的特征方程| | E A 0.Ax x ( x為非零列向量)Ax與x線性相關(guān)nV a 1 2L ni tr A , tr A稱為矢I陣A的理.1V上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的n各元素.，若A 0,則0為A的特征值，且Ax的基礎(chǔ)解系即為屬于0的線性無關(guān)的特征向量.a1a?2V r(A) 1A一te可分解為A=bi,b2,L ,bn、A 立a2b2Lanbn)A,從而 A的特征Man值為：1 tr A a1b1 a2b2 Lanbn,23 L n 0 p指南358.

19、TO a,a2,L ,an為A各行的公比，b1,b2,L ,bn為A各列的公比.V若A的全部特征值 1, 2,L , n, f (A)是多項(xiàng)式，則： 若A滿足f(A) OA的任何一個(gè)特征值必滿足f( i) 0 f (A)的全部特征值為 f ( 1), f( 2),L , f ( n) ； |f (A) f( 1)f( 2)L f( n).V初等矩陣的性質(zhì)：E(i,j)|1忙i(k)k|Ei,j(k)|1E(i,j)TE(i, j)Ei(k)TEi(k)Ei, j(k)TEj,i(k)_1E(i,j)E(i, j)_1Ei(k)Ei(i1)_1Ei, j(k)Ei, j( k)*E(i,j)E(

20、i, j)*Ei(k)kEi6)*Ei, j(k)Ei,j( k)V 設(shè) f(x)amxmam1xm 1La1xa。，對(duì) n 階矩陣A規(guī)定：f (A)amAmam1Am1 La1Aa°E 為A的一個(gè)多項(xiàng)式kAaA bEAT，是A勺特征值，則：A 1分別有特征值A(chǔ) A2 Am1 2L 3kAV x是A關(guān)于 的特征向量，則x也是aA bEA 1AA2Am關(guān)于|A|1 2L 3的特征向量.V A2, Am的特征向量不一定是A的特征向量.v A與AT有相同的特征值,但特征向量不一定相同A與對(duì)角陣V A可相似對(duì)角化1 _1AP1 _1APn r( iE（P為可逆矩陣）（P為正交矩陣）相似.記為

21、：A:A) ki的特征向量拼成的矩陣，P 1AP為對(duì)角陣征向量，則有:A( 1, 2,L , n) (A 1,A 2,L ,A n)(1 44 2 4 43P記為:A: B（稱是A的相似標(biāo)準(zhǔn)形）ki為i的重?cái)?shù) A恰有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，主對(duì)角線上的元素為A的特征值.設(shè)1 1， 2 2，L ， n n)(1, 2,L , n)i為對(duì)應(yīng)于i44 2 4 43P.這時(shí)，P為A的線性無關(guān)的特442 4 4 a當(dāng)i 0為A的重的特征值時(shí)， A可相似對(duì)角化i的重?cái)?shù)n r( A)Ax基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù).V 若n階矩陣A有n個(gè)互異的特征值A(chǔ)可相似對(duì)角化.V若A可相似角化，則其非零特征值的個(gè)數(shù)(重根重復(fù)計(jì)算)r

22、(A).g( 1)V 若 A:Ak = P kP 1 , g(A) Pg( )P1 Pg( 2)0P 1g( n)V相似矩陣的性質(zhì)： E A E B ,從而A, B有相同的特征值，但特征向量不一定相同 Ox是A關(guān)于0的特征向量，P 1x是B關(guān)于0的特征向量. tr A tr B A B 從而A,B同時(shí)可逆或不可逆 r(A) r(B) AT : BT ； A 1 : B 1(若 A,B 均可逆)；A : B Ak:Bk(k 為整數(shù))；f (A) : f (B) " f(A) | f (B)A B A: B,C : DC D。前四個(gè)都是必要條件.V數(shù)量矩陣只與自己相似.V 實(shí)對(duì)稱矩陣的性

23、質(zhì)： 特征值全是實(shí)數(shù)，特征向量是實(shí)向量； 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必定正交；O：對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.若A有重的特征值，該特征值i的重?cái)?shù)=n r( iE A)； 必可用正交矩陣相似對(duì)角化，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形;與對(duì)角矩陣合同，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣相似有相同的特征值正交矩陣| AAT EV A為正交矩陣A的n個(gè)行（列）向量構(gòu)成 ？ n的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交矩陣的性質(zhì)： AT A1； AAT AT A E ；正交陣的行列式等于 1或-1; A是正交陣，則N , A 1也是正交陣；兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣； A的行（列）向量都是單位正交向量組.n n二次型f(x1,x2,L ,xn) x Axaijxixji 1 j 1A與B合同| CTAC B . 記作：A ; B(x1,x2,L ,xn)T)r P正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)paj aji ,即A為對(duì)稱矩陣，x（A,B為實(shí)對(duì)稱矩陣，C為可逆矩陣 負(fù)慣性指數(shù)上次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)符號(hào)差 2p r （r為二次型的秩）V兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等.V 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：A: BV 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：r（A） r（B）/正交變換口V