紹興文理學(xué)院第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題數(shù)學(xué)專業(yè)

1、紹興文理學(xué)院第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（數(shù)學(xué)專業(yè)）考試時(shí)間：2006年5月13日下午2.005.00一、填空題（每一小題4分，滿分20分）1.2廣義積分 .3曲線的水平漸近線方程為 .4設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則 .5設(shè)函數(shù)由方程確定，則= .二、選擇題（每一小題4分，滿分20分）1某些理發(fā)師留胡子，因此，某些留胡子的人是喜歡穿白衣。應(yīng)該補(bǔ)充下列哪一前提，能使上述論證成立。（ ）（A）某些理發(fā)師喜歡穿白衣 （B）某些喜歡穿白衣的理發(fā)師不留胡子（C） 所有理發(fā)師都喜歡穿白衣 （D） 所有喜歡穿白衣的人都是理發(fā)師 【 】2設(shè)函數(shù)可微，則等于 （A）. （B） （C） （D） 【 】3設(shè)是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)

2、，是其第一類間斷點(diǎn)，則是（A）連續(xù)的奇函數(shù).（B）連續(xù)的偶函數(shù)（C）在間斷的奇函數(shù)（D）在間斷的偶函數(shù). 【 】4設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在處的增量，與分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若，則（A） （B）（C） （D） 【 】5設(shè)函數(shù)為已知可導(dǎo)奇函數(shù)，為的反函數(shù)，則（ ）。（A）； （B）； （C） ； （D）。 【 】三 解答題（共8小題，滿分60分）1（6分）已知，其中由方程組確定，求。2（6分） 證明：當(dāng)時(shí)有。3（8分）試確定常數(shù)A，B，C的值使得，其中是當(dāng)。4（8分）設(shè)數(shù)列滿足。()證明存在,并求值； ()計(jì)算。5（6分）。6（8分）已知曲線的方程為，（）過(guò)點(diǎn)（-1，0）引的切線

3、，求切點(diǎn)，并寫出切線的方程；（）求此切線與（對(duì)應(yīng)于的部分）及軸所圍成的平面圖形的面積。7（8分）設(shè)連續(xù)，且，是曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。（）求，并證明當(dāng)時(shí)，等價(jià)；（）求。8（6分）設(shè)在上可微，證明存在一點(diǎn)，使得。紹興文理學(xué)院第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（數(shù)學(xué)專業(yè)）參考解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一填空題（每一小題4分，滿分20分）12 ； 2 ； 3； 4； 5二選擇題（每一小題4分，滿分20分）1（C）； 2.（C）； 3.（B）； 4.（A）； 5.（A）。三解答題（共8小題，滿分60分）1（6分）解：。2（6分）證：令，只需證明單調(diào)增加（嚴(yán)格），因?yàn)椋?單調(diào)減少（嚴(yán)格），又，故 單調(diào)增加（嚴(yán)格），。得證。3（8分）解：泰勒公式代入已知等式得，整理得，比較兩邊同次冪函數(shù)得B+1=A；C+B+=0；式-得；代入得，代入得。4（8分）解：()由得，因此當(dāng)有，即單調(diào)下降，又得有下界，這樣存在，記=A，有()為的，5（6分）解：原式= 6（8分）解：（I），得切線方程為，設(shè)，則，得，點(diǎn)為（2，3），切線方程為。（II）設(shè)L的方程，則，由，由于（2，3）在L上，由，所以。7（8分）解 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)的切線為 。求此切線在x軸上的截距：令，得，于是得到，, 所以 ,當(dāng)時(shí)。由Tayl