行列式計(jì)算技巧

1、論行列式的計(jì)算方法方法1化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例1：浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題（重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計(jì)算如下行列式的值：分析顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開(kāi)始；每一列與它

2、一列中有n-1個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開(kāi)始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡(jiǎn)單多了。解：?jiǎn)栴}推廣循環(huán)行列式從而推廣到一般，求下列行列式：解：令 首先注意，若u為n次單位根（即un=1），則有：為范德蒙行列式又例1中，循環(huán)的方向與該推廣在方向上相反所以例1與相對(duì)應(yīng)。方法2 按行（列）展開(kāi)法（降階法）設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開(kāi)定理有或其中為中的元素的代數(shù)余子式按行（列）展開(kāi)法可以將一個(gè)n階行列式化為n個(gè)n-1階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開(kāi)法，可以將

3、n階行列式降階直至化為許多個(gè)2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開(kāi)并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開(kāi)法時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開(kāi)。例2，計(jì)算20階行列式分析這個(gè)行列式中沒(méi)有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開(kāi)法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行20！*201次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無(wú)法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對(duì)應(yīng)元素僅差1，因此，可

4、按下述方法計(jì)算：解：方法3遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法。例3，2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：分析此行列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對(duì)角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。證明：Dn按

5、第1列展開(kāi)，再將展開(kāi)后的第二項(xiàng)中n-1階行列式按第一行展開(kāi)有：這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：同樣有：因此當(dāng)時(shí)由（1）（2）式可解得：方法4 加邊法（升階法）有時(shí)為了計(jì)算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當(dāng)然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計(jì)算。要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于

6、其列（行）的元素分別為n-1個(gè)元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 例4、計(jì)算n 階行列式：分析 我們先把主對(duì)角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2, xn相乘，第二行為x2與x1,x2, xn相乘，第n行為xn與 x1,x2, xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2, xn，從而就可考慮此法。解：方法5 拆行（列）法由行列式拆項(xiàng)性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個(gè)行列式之積，計(jì)算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的某行（列）分

7、別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對(duì)應(yīng)行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時(shí)較容易求得行列式的值。例5、 南開(kāi)大學(xué)2004年研究生入學(xué)考試題第1大題，要求下列行列式的值：設(shè)n階行列式：且滿足對(duì)任意數(shù)b，求n階行列式 分析該行列式的每個(gè)元素都是由兩個(gè)數(shù)的和組成，且其中有一個(gè)數(shù)是b，顯然用拆行（列）法。解： 也為反對(duì)稱矩陣又為的元素從而知：方法6 數(shù)學(xué)歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來(lái)證明行列式等式。因?yàn)榻o定一個(gè)行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。例6.證明：證：當(dāng)

8、時(shí)，有：結(jié)論顯然成立?，F(xiàn)假定結(jié)論對(duì)小于等于時(shí)成立。即有：將按第1列展開(kāi)，得： 故當(dāng)對(duì)時(shí)，等式也成立。得證。方法7 析因法如果行列式D中有一些元素是變數(shù)x（或某個(gè)參變數(shù)）的多項(xiàng)式，那么可以將行列式D當(dāng)作一個(gè)多項(xiàng)式f(x)，然后對(duì)行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差一個(gè)常數(shù)因子C，根據(jù)多項(xiàng)式相等的定義，比較f(x)與g(x)的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出C值，便可求得D=Cg(x) 。那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數(shù)x），若x等于某一數(shù)a1時(shí)，使得兩行相同，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可使得D=0。那么x a1便是一個(gè)一次因式，再找其他的互

9、異數(shù)使得D=0，即得到與D階數(shù)相同的互素一次因式，那么便可用此法。例7.蘭州大學(xué)2004招收攻讀碩士研究生考試工試題第四大題第（1）小題。需求如下行列式的值。分析 根據(jù)該行列式的特點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有。但大家認(rèn)真看一下，該行列式Dn+1是一個(gè)n+1次多項(xiàng)式，而這時(shí)我們只找出了n個(gè)一次因式,那么能否用析因法呢？我們?cè)僮屑?xì)看一下，每行的元素的和數(shù)都是一樣的，為：，那么我們從第2列開(kāi)始到第n+1列都加到第1列，現(xiàn)提出公因式，這樣行列式的次數(shù)就降了一次。從而再考慮析因法。解：令：顯然當(dāng)：時(shí)，。又為n次多項(xiàng)式。又中的最高次項(xiàng)為，系數(shù)為1，C=1因此得：方法8.輔助行列式法輔助行列式法應(yīng)用條件：行列式各行（列）和

10、相等，且除對(duì)角線外其余元素都相同。解題程序：1）在行列式D的各元素中加上一個(gè)相同的元素x，使新行列式除主對(duì)角線外，其余元素均為0；2）計(jì)算的主對(duì)角線各元素的代數(shù)余子式;3)例8.大連理工大學(xué)2004年碩士生入學(xué)考試高等代數(shù)試題，第一大題填空題第2小題需求下列n階行列式的值。解：在的各元素上加上后，則有：又，其余的為零。方法9 利用拉普拉斯定理拉普拉斯定理的四種特殊情形：151） 2）3） 4）例9 計(jì)算n階行列式：1解：方法 10 .利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例10 計(jì)算n階行列式9解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第

11、n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對(duì)換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對(duì)換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對(duì)換，這樣，共經(jīng)過(guò)（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對(duì)換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得： 方法11 利用矩陣行列式公式引理：設(shè)A為型矩陣，B為型矩陣，分別表示n階，m階單位矩陣，則有5先引入一個(gè)證明題：1設(shè)A，B分別是和矩陣，證明：證明：兩邊取行列式得：又同樣兩邊取行列式有： 得證。那么對(duì)于分別是和矩陣，能否得到：答案是肯定的。證： 有：又 即得：對(duì)分別為和矩陣，時(shí)，有：則當(dāng)時(shí)，有：引理得證。例112003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷三第九題的解答中需要計(jì)算如下行列式的值。解：令矩陣則可得： 其中 那么根據(jù)上面所提到的引理可得：又 可得：方法12 利用方陣特征值與行列式的關(guān)系。也以例11為例解：顯然的個(gè)特征值為。 的個(gè)特征值為。故的特征值為 由矩陣特征值與對(duì)應(yīng)行列式的關(guān)系知：注 的特征值也可由特征值的定義得到