考研數(shù)學(xué)二13年真題

1、2013年考研數(shù)學(xué)二真題及答案一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設(shè)，當(dāng)時(shí)， （ ）（A）比高階的無(wú)窮小 （B）比低階的無(wú)窮?。–）與同階但不等價(jià)無(wú)窮小 （D）與等價(jià)無(wú)窮小2已知是由方程確定，則（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2設(shè)，則（ ）（）為的跳躍間斷點(diǎn) （）為的可去間斷點(diǎn)（）在連續(xù)但不可導(dǎo) （）在可導(dǎo)設(shè)函數(shù)，且反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）設(shè)函數(shù)，其中可微，則（ ）（A） （B）（C） （D）6設(shè)是圓域的第象限的部分，記，則（ ）（A） （B） （C） （D）7設(shè)，均為階矩陣，若，且可逆，則（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)（B）矩陣C的

2、列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)8矩陣與矩陣相似的充分必要條件是（A） （B），為任意常數(shù)（C） （D），為任意常數(shù)二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 10設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) 11設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為 12曲線上對(duì)應(yīng)于處的法線方程為 13已知是某個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程三個(gè)解，則滿足方程的解為 14設(shè)是三階非零矩陣，為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足，則= 三、解答題15（本題滿分10分）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，求

3、常數(shù)16（本題滿分10分）設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若，求的值17（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域D是由曲線所圍成，求18（本題滿分10分）設(shè)奇函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（1）存在，使得；（2）存在，使得19（本題滿分10分）求曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離和最短距離20（本題滿分11）設(shè)函數(shù)求的最小值；設(shè)數(shù)列滿足，證明極限存在，并求此極限21（本題滿分11）設(shè)曲線L的方程為（1）求L的弧長(zhǎng)（2）設(shè)D是由曲線L，直線及軸所圍成的平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo)22本題滿分11分）設(shè)，問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，存在矩陣C，使得，并求出所有矩陣C23（本

4、題滿分11分）設(shè)二次型記（1）證明二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為 ；（2）若正交且為單位向量，證明在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 一.選擇1.【詳解】顯然當(dāng)時(shí)，故應(yīng)該選（C）2. 【分析】本題考查的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則信函數(shù)在一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義【詳解】將代入方程得，在方程兩邊求導(dǎo)，得，代入，知，故應(yīng)該選（A）3. 【詳解】只要注意是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)，則應(yīng)該是連續(xù)點(diǎn)，但不可導(dǎo)應(yīng)選（）4.【詳解】，其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才收斂；而第二個(gè)反常積分，當(dāng)且僅當(dāng)才收斂從而僅當(dāng)時(shí)，反常積分才收斂，故應(yīng)選（）5. 【詳解】應(yīng)該選（A）6. 【詳解】由極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算可知所以，應(yīng)該選（B）7. 【詳解】把矩陣A，C列分塊如下：，由于，則可

5、知，得到矩陣C的列向量組可用矩陣A的列向量組線性表示同時(shí)由于B可逆，即，同理可知矩陣A的列向量組可用矩陣C的列向量組線性表示，所以矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)應(yīng)該選（B）8. 【詳解】注意矩陣是對(duì)角矩陣，所以矩陣A=與矩陣相似的充分必要條件是兩個(gè)矩陣的特征值對(duì)應(yīng)相等從而可知，即，為任意常數(shù)，故選擇（B）二.填空9.【詳解】10. 【詳解】由反函數(shù)的求導(dǎo)法則可知11. 【詳解】所以答案為12. 【詳解】當(dāng)時(shí)，所以法線方程為，也就是13. 【詳解】顯然和是對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，由解的結(jié)構(gòu)定理，該方程的通解為，其中為任意常數(shù)把初始條件代入可得，所以答案為14.

6、【詳解】由條件可知，其中為A的伴隨矩陣，從而可知，所以可能為或0但由結(jié)論可知，可知,伴隨矩陣的秩只能為3，所以三.解答題15. 【分析】主要是考查時(shí)常見(jiàn)函數(shù)的馬克勞林展開(kāi)式【詳解】當(dāng)時(shí)，所以，由于與是等價(jià)無(wú)窮小，所以16. 【詳解】由微元法可知；由條件，知17. 【詳解】18. 【詳解】證明：（1）由于為奇函數(shù)，則，由于在上具有二階導(dǎo)數(shù)，由拉格朗日定理，存在，使得（2）由于為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，由（1）可知存在，使得，且，令，由條件顯然可知在上可導(dǎo)，且，由羅爾定理可知，存在，使得即19. 【分析】考查的二元函數(shù)的條件極值的拉格朗日乘子法【詳解】構(gòu)造函數(shù)令，得唯一駐點(diǎn)，即考慮邊界上的點(diǎn)，；距離函數(shù)在三點(diǎn)的取值分別為，所以最長(zhǎng)距離為，最短距離為120. 【詳解】（1），令，得唯駐點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增所以函數(shù)在處取得最小值（2）證明：由于，但，所以，故數(shù)列單調(diào)遞增又由于，得到，數(shù)列有界由單調(diào)有界收斂定理可知極限存在令，則，由（1）的結(jié)論可知21. 【詳解】（1）曲線的弧微分為，所以弧長(zhǎng)為（2）設(shè)形心坐標(biāo)為，則22. 【詳解】顯然由可知，如果C存在，則必須是2階的方陣設(shè)，則變形為，即得到線性方程組，要使C存在，此線性方程組必須有解，于是對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換如下，所以，當(dāng)時(shí)，線性方程組有解，即存在矩陣C，使得此時(shí)，所以方程組的通解為，也就是滿足的矩陣C為