解決證明含有兩個(gè)變量的不等式策略

1、解決證明含有兩個(gè)變量的不等式策略近幾年在高考試題的函數(shù)壓軸題中，經(jīng)常出現(xiàn)含有兩個(gè)變量的不等式證明問(wèn)題，面對(duì)兩個(gè)變量學(xué)生會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手，造成找不到解題的突破點(diǎn)；下邊通過(guò)幾道例題，讓大家感受化歸和構(gòu)造的策略。策略一：當(dāng)兩個(gè)變量可以分離時(shí)，根據(jù)其兩邊結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式。例1（2010年遼寧文科21）已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性； KS*5U.C#（）設(shè)，證明：對(duì)任意，。解：() f(x)的定義域?yàn)?0,+)，.當(dāng)a0時(shí)，0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當(dāng)a1時(shí)，0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當(dāng)1a0時(shí)，令0,解得x=.當(dāng)x(0, )時(shí), 0；x(，+)時(shí)，0, 故f(x

2、)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.()不妨假設(shè)x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價(jià)于4x14x2 , 即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4.于是0.從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故對(duì)任意x1,x2(0,+) ，.當(dāng)e<x<e2時(shí)，1ln x<0，例2（2009年遼寧理科21）已知函數(shù)f(x)=xax+(a1)，。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）證明：若，則對(duì)任意x，x，xx，有。解：(1)的定義域?yàn)椤?分（i）若即,則故在單調(diào)增

3、加。(ii)若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.(II)考慮函數(shù) 則由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +)單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有·········12分練習(xí)1已知函數(shù)f(x)ax1ln x(aR)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；當(dāng)0<x<y<e2且xe時(shí)，試比較與的大小解f(x)a，當(dāng)a0時(shí)

4、，f(x)<0在(0，)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，f(x)在(0，)上沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)<0得0<x<，f(x)>0得x>，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，即f(x)在x處有極小值當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0，)上有一個(gè)極值點(diǎn)函數(shù)f(x)在x1處取得極值，a1，f(x)bx21b，令g(x)1，則g(x)，g(e2)0，從而可得g(x)在(0，e2上單調(diào)遞減，在e2，)上單調(diào)遞增，g(x)ming(e2)1，即b1.由知g(x)1在(0，e2)上單調(diào)遞減，0

5、<x<y<e2時(shí)，g(x)>g(y)，即>.當(dāng)0<x<e時(shí)，1ln x>0，>；<.策略二、當(dāng)兩個(gè)變量分離不開時(shí)通過(guò)作差或作商等策略略將兩個(gè)變量劃歸為一個(gè)變量，再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明。例3、已知函數(shù)（）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程；（）若函數(shù)f（x）在（0，+）上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；（）設(shè)m，n為正實(shí)數(shù)，且mn，求證：（I）根據(jù)x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，則f（2）=0可求出a的值，然后求出切線的斜率和切點(diǎn)，從而可求出切線方程；（II）根據(jù)f（x）的解析式求出f

6、（x）的導(dǎo)函數(shù)，通分后根據(jù)函數(shù)f（x）在（0，+）上為單調(diào)增函數(shù)，得到分子大于0恒成立，解出2a2小于等于一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式求出這個(gè)函數(shù)的最小值，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍；（III）把所證的式子利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及不等式的基本性質(zhì)變形，即要證ln0，根據(jù)（II）得到h（x）在x大于等于1時(shí)單調(diào)遞增，且大于1，利用函數(shù)的單調(diào)性可得證解：（I）f（x）=，由題意知f（2）=0，解得a=，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意從而切線的斜率為k=f（1）=，切點(diǎn)為（1，0）切線方程為x+8y1=0（II）f（x）=，因?yàn)閒（x）在（0，+）上為單調(diào)增函數(shù)，所以f（x）0在（0，+

7、）上恒成立即x2+（22a）x+10在（0，+）上恒成立，當(dāng)x（0，+）時(shí)，由x2+（22a）x+10，得：2a2x+，設(shè)g（x）=x+，x（0，+），則g（x）=x+2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=1時(shí)，g（x）有最小值2，所以2a22，解得a2，所以a的取值范圍是（，2；（III）要證，只需證，即ln，即ln0，設(shè)h（x）=lnx，由（II）知h（x）在（1，+）上是單調(diào)增函數(shù)，又1，所以h（）h（1）=0，即ln0成立，得到點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握不等式恒成立時(shí)所滿足的條件，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道中檔題例4（2013年陜西）已知函數(shù).

8、() 求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程; () 證明: 曲線y = f (x) 與曲線有唯一公共點(diǎn). () 設(shè)a<b, 比較與的大小, 并說(shuō)明理由. 【答案】解:() f (x)的反函數(shù),則y=g(x)過(guò)點(diǎn)(1,0)的切線斜率k=. .過(guò)點(diǎn) (1,0)的切線方程為:y = x+ 1 () 證明曲線y=f(x)與曲線有唯一公共點(diǎn),過(guò)程如下. 因此， 所以,曲線y=f(x)與曲線只有唯一公共點(diǎn)(0,1).(證畢) () 設(shè) 令. ,且 . 所以 練習(xí)2（2006年四川理科22）已知函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)是。對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)、，證明：（）當(dāng)時(shí)，；（）當(dāng)時(shí)，。 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力。滿分14分。證明：（