磁流體力學(xué)不穩(wěn)定性VIP

1、第6章 磁流體力學(xué)不穩(wěn)定性§6.1概論等離子體能夠被磁場(chǎng)約束并處于力學(xué)平衡狀態(tài)。一個(gè)處于力學(xué)平衡狀態(tài)的等離子體位形，當(dāng)它受到某種擾動(dòng)，偏離平衡態(tài)時(shí)，等離子體將如何反應(yīng)？是越來越偏離平衡態(tài)，最后導(dǎo)致平衡態(tài)被破壞呢，還是很快將擾動(dòng)抑制住回到平衡態(tài)前者是不穩(wěn)定平衡，后者是穩(wěn)定平衡但當(dāng)磁流體處在非熱力學(xué)平衡態(tài)，其內(nèi)部存在著可以轉(zhuǎn)換成擾動(dòng)能量的自由能時(shí)，在合適的條件下有些擾動(dòng)就可能發(fā)展成為在大范圍、長(zhǎng)時(shí)間、能量超過熱噪聲水平的大幅度集體運(yùn)動(dòng)這種集體運(yùn)動(dòng)就稱為不穩(wěn)定的模式，相應(yīng)現(xiàn)象就稱為磁流體的不穩(wěn)定性研究等離子體的各種不穩(wěn)定性，闡明其物理機(jī)制，探索抑制不穩(wěn)定性的方法，一直是受控核聚變研究的重要

2、課題磁約束等離子體可以處于力學(xué)平衡狀態(tài)，但它不是完全的熱力學(xué)平衡態(tài)等離子體處于非熱力學(xué)平衡狀態(tài)意味著等離子體具有較高的自由能，因而必然會(huì)產(chǎn)生從較高能量狀態(tài)過渡到較低能量狀態(tài)的宏觀或微觀運(yùn)動(dòng)等離子體偏離熱力學(xué)平衡態(tài)大體有兩類方式一類是等離子體宏觀參數(shù)如密度、溫度、壓強(qiáng)或其它熱力學(xué)量的空間局域性和不均勻性；另一類是等離子體的速度空間分布函數(shù)偏離麥克斯韋分布由于前一種原因產(chǎn)生不穩(wěn)定性時(shí)，等離子體通常以整體形式在空間改變其形狀，因而稱為宏觀不穩(wěn)定性。由后一種原因產(chǎn)生的不穩(wěn)定性稱為微觀不穩(wěn)定性宏觀不穩(wěn)定性通常用磁流體力學(xué)方程進(jìn)行分析，因而也稱為磁流體力學(xué)不穩(wěn)定性，而微觀不穩(wěn)定性則用動(dòng)力論方程進(jìn)行分析，因

3、而也叫動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性由于磁流體力學(xué)不穩(wěn)定性在磁約束核聚變等離子體中具有更重要的地位，處理方法也相對(duì)地比較容易，因此本節(jié)僅討論磁流體力學(xué)不穩(wěn)定性下面我們將首先從分析流體的瑞利一泰勒不穩(wěn)定性（RayleighTaylor instability）入手，這樣做物理圖像清晰，易于理解然后討論在分析磁流體力學(xué)不穩(wěn)定性中得到廣泛應(yīng)用的能量原理在這基礎(chǔ)上分析幾種主要的宏觀不穩(wěn)定性，最后討論等離子體電阻對(duì)不穩(wěn)定性的影響 下面是幾種典型的磁流體不穩(wěn)定模式 例 1瑞利一泰勒（Rayleigh-Taylor）不穩(wěn)定性（圖41）； 例2開爾文一亥姆霍茲（KelvinHelmholtz）不穩(wěn)定性（圖42）； 例3臘腸型

4、不穩(wěn)定性（圖43）； 例4彎曲型不穩(wěn)定性（圖4.4）； 例5. 磁島（圖4.5）；例6. 磁重聯(lián)（圖46）每種不穩(wěn)定的擾動(dòng)在其演化過程中都會(huì)依次經(jīng)歷下面三個(gè)階段：線性階段、非線性階段及飽和階段在線性階段，擾動(dòng)的幅度較小，不同類型的擾動(dòng)彼此之間并不相互作用，擾動(dòng)對(duì)它所處的平衡態(tài)也無影響，這時(shí)擾動(dòng)的幅度是隨時(shí)間指數(shù)增長(zhǎng)的在非線性階段，擾動(dòng)幅度增大到會(huì)反過來使原有的平衡量作一定調(diào)整（因此改變了自己得以不穩(wěn)定增長(zhǎng)的初始條件，使饋入的自由能量減少），并達(dá)到開始和其他擾動(dòng)模式相互作用（從而彼此間交換能量）的程度，從而使增長(zhǎng)率木斷下降這時(shí)擾動(dòng)幅度是依次隨時(shí)間的不同冪次（一般是從高冪到低冪次）而增長(zhǎng)的當(dāng)時(shí)間的

5、冪次最后降低到零時(shí)，就達(dá)到了演化的終點(diǎn)擾動(dòng)的幅度不再隨時(shí)間增加，而一直保持極大值，這就是飽和本章只討論磁流體的線性不穩(wěn)定性線性不穩(wěn)定性的基本描述方法（1）簡(jiǎn)正模法 先將描述所研究對(duì)象的狀態(tài)量寫成平衡量（零級(jí)量）和擾動(dòng)量（一級(jí)小量）之和，然后把它們代入所用的磁流體方程組，從中減去平衡方程并略去二級(jí)小量就得到了線性化的方程組對(duì)這些方程作（時(shí)間）拉氏變換和（空間）傅氏變換后可能出現(xiàn)下列幾種情況：（i）全部空間坐標(biāo)都能進(jìn)行傅氏變換這樣線性微分方程組就變成了線性的齊次代數(shù)方程組，它的有非平凡解的條件（系數(shù)行列式為零）就給出了關(guān)于的色散關(guān)系例如上一章中平板幾何位形下的阿爾文波的色散關(guān)系正是由這種方式得到的

6、（ii）只有部分空間坐標(biāo)能進(jìn)行傅氏變換，剩余的坐標(biāo)構(gòu)成了約化的微分方程組這時(shí)要設(shè)法先得到它的通解，然后利用邊條件或連接條件也可以得到的色散關(guān)系例如上一章中，柱坐標(biāo)下阿爾文波的色散關(guān)系就是這樣求得的（iii）所得出的約化微分方程如果是奇異的，如上一章中連續(xù)譜阿爾文波所滿足的方程(2)能量原理（僅對(duì)理想磁流體適用）§6.2瑞利一泰勒不穩(wěn)定性 這是一種經(jīng)典的流體不穩(wěn)定性因?yàn)檫@種不穩(wěn)定性是由重力驅(qū)動(dòng)的，故又稱重力不穩(wěn)定性讓我們來研究圖3.25所示的一個(gè)容器該容器內(nèi)盛有兩種不同質(zhì)量密度的液體，上面的液體質(zhì)量密度大，下面的質(zhì)量密度小兩種流體之間有明顯的分界線顯然，質(zhì)量密度梯度由下向上，受到的重力

7、由上向下，用來表示液體的平衡方程是 (1) (2)式中是流體元的速度流體達(dá)到平衡現(xiàn)在假定在交界面上出現(xiàn)了一個(gè)微擾動(dòng)，其形式為 (3)這樣，密度和流體速度便可寫成： (4)從這里開始，參數(shù)下標(biāo)為0表示平衡量，參數(shù)下標(biāo)為1表示擾動(dòng)量將（4）式代入平衡方程（3），我們得到質(zhì)量守恒方程 （5）在整理上式時(shí)，已考慮到流體是不可壓縮的，將（3）式代人（5）式便得到表達(dá)式： （6）同樣可以得到擾動(dòng)后的動(dòng)量方程和的表達(dá)式： （7） （8）將（6）式和（8）相結(jié)合使得到如下的方程： （9）（9）式說明，當(dāng)流體的密度梯度方向跟受到的重力方向相反時(shí)就會(huì)產(chǎn)生不穩(wěn)定性，此時(shí)，這就是說重流體在上面輕流體在下面的這種平衡是

8、不穩(wěn)定的只要有微擾（輕輕晃動(dòng)），就會(huì)破壞原來的平衡狀態(tài)，直到達(dá)到另一種新的平衡態(tài)為止這時(shí)重流體在下，輕流體在上，正好跟原來交換了位置，所以這種不穩(wěn)定性也叫做交換不穩(wěn)定性現(xiàn)在我們采用類比的方法來研究約束在磁場(chǎng)中的等離子體假定磁場(chǎng)與等離子體之間達(dá)到了平衡，中間有明顯的分界面就是說在等離子體中沒有磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中沒有等離子體這時(shí)，等離子體除了受到重力之外，還受到磁場(chǎng)的作用力，包括磁場(chǎng)梯度引起的力和磁場(chǎng)的彎曲引起的力當(dāng)然這是指單個(gè)粒子受到的力，我們把它們當(dāng)作等效重力（跟流體情況作類比），記作， (10) 將 以及粒子能量代入上式并對(duì)整個(gè)麥克斯韋速度分布函數(shù)積分，我們可以得到作為流體元的等效重力： （11

9、）對(duì)干各向同性等離子體，因此 因?yàn)樵诘颓闆r下 所以 （12） 將（12）式代入（9）式便得到描述瑞利一泰勒不穩(wěn)定性的方程 （13）上式說明，當(dāng)磁場(chǎng)曲率與等離子體密度梯度方向相反，即，就會(huì)產(chǎn)生不穩(wěn)定性這種不穩(wěn)定性條件也可以表示為磁場(chǎng)梯度與等離子體密度梯度同向，即如圖3.26（a）所示從圖中可以看出，這時(shí)的磁力線是凹向等離子體的這種曲率被稱為“壞曲率”圖326（b）畫出了穩(wěn)定的磁場(chǎng)位形此時(shí)，磁場(chǎng)曲率與等離子體壓強(qiáng)梯度（或密度梯度）同向磁力線凸向等離子體，這種磁場(chǎng)位形的曲率被稱為“好曲率”在實(shí)際的磁場(chǎng)位形中，曲率矢量往往不斷改變方向也就是說，在某個(gè)地方是“好曲率”，在另一個(gè)地方則變成“壞曲率”如在簡(jiǎn)

10、單磁鏡場(chǎng)中，在中心部位是“壞曲率”，而在“咽喉”部位則是“好曲率”因此，有必要引入“平均曲率”的概念定義： 磁力線管的比容，它是磁力線管的幾何體積與管內(nèi)的磁通量的比值：，平均曲率的定義為因此，平均曲率半徑為前面得到的穩(wěn)定條件（好曲率）是曲率與同向，即，在聚變等離子體中，一般都是中心密度大，即；因此穩(wěn)定條件要求這就相當(dāng)于要求其中為磁面包圍的體積因此，即有極大值，其中必有磁場(chǎng)極小值，這相當(dāng)于平均磁阱這說明位于磁阱的等離子體是穩(wěn)定的與之相反，位于磁山“磁山”的等離子體是不穩(wěn)定的，§6.2 等離子體的能量原理 不考慮離子和電子的效應(yīng)，可將等離子體作為單流體來處理。采用理想磁流體力學(xué)方程組作為

11、出發(fā)點(diǎn) （1） （2） （3） （4） （5） （6）其中 表示比熱比。設(shè)每一個(gè)變量均為平衡量和擾動(dòng)量的疊加，即。為簡(jiǎn)化起見，不考慮平衡流，即。（如果可以討論）則將方程（1）（6）線性化之后可得關(guān)于一階擾動(dòng)量的微分方程組 （7） （8） （9） （10） （11）令相對(duì)于流體元平衡位置的擾動(dòng)位移為一階小量，則有 （12）將上式分別代入方程（7）、（9）和（10），對(duì)時(shí)間積分，可將擾動(dòng)密度、擾動(dòng)壓強(qiáng)和擾動(dòng)磁場(chǎng)均用擾動(dòng)位移來表示 （13） （14） （15）將這些表達(dá)式代入方程（8），并利用方程（11），則可得到關(guān)于擾動(dòng)位移的二階微分方程 （16） （17）顯而易見，相當(dāng)于由擾動(dòng)位移所引起的作用在

12、單位流體體積上的力。在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下解此方程，可以確定位形的穩(wěn)定性。根據(jù)能量守恒原理，擾動(dòng)位移引起的系統(tǒng)總能量的變化為零，即動(dòng)能和勢(shì)能的變化之和為零 （18）將上式對(duì)時(shí)間微商可得 （19）利用擾動(dòng)方程（16）和函數(shù)的自伴性，即 （20）可將方程（19）中的第一項(xiàng)寫成 （21）則由方程（19）可得擾動(dòng)勢(shì)能的變化 （22）從直觀上來說，線性系統(tǒng)在力的方向上做位移時(shí)，所做的功為。根據(jù)能量守恒原理，這個(gè)功之可能是以消耗勢(shì)能為代價(jià)，因此可得方程（22）。 假設(shè)等離子體邊界為理想導(dǎo)電壁，一次在邊界上垂直位移。將式（17）代入方程（22）可得等離子體內(nèi)部擾動(dòng)勢(shì)能變化的表達(dá)式 （23）右邊被積函數(shù)中第一項(xiàng)總

13、是正的，代表流體可壓縮性的穩(wěn)定作用；第二項(xiàng)在很多情況下是負(fù)的，可導(dǎo)致壓強(qiáng)梯度驅(qū)動(dòng)的不穩(wěn)定性；第三項(xiàng)總是正的，代表磁張力的穩(wěn)定作用，因?yàn)閺澢鸥袘?yīng)線會(huì)導(dǎo)致磁能增加；第四項(xiàng)有時(shí)是負(fù)的，可導(dǎo)致電流驅(qū)動(dòng)的不穩(wěn)定性。如果等離子體邊界為真空區(qū)，在等離子體內(nèi)部，根據(jù)歐姆定律（6）的線性化形式，在固定于流體上的坐標(biāo)系中必有。而電場(chǎng)的切向分量在等離子體和真空的交界面上連續(xù)，故在等離子體之外的真空區(qū)也有 （24）即 （25）這里是垂直于等離子體邊界、法向的單位矢量，是垂直速度。在真空中可將擾動(dòng)磁場(chǎng)用矢勢(shì)表示成，利用法拉第電磁感應(yīng)定律（5）式，則有，代入方程（25）并利用可得邊界條件為 （26）在真空之外的理想導(dǎo)電壁上，則有 （27）根據(jù)平衡方程，在跨越等離子體和真空的交界面上的總壓強(qiáng)連續(xù)， （28）相應(yīng)地，在位移的邊界上總壓強(qiáng)也必須連續(xù) （29）將方程（29）的各項(xiàng)用其在平衡位置上的值展開，且只保留一級(jí)近似，則有 （30）此時(shí)，這擾動(dòng)勢(shì)能除了方程（23）所示的外，還有等離子體表面的部分 （31）利用邊界條件（25）和（31）可將分成邊界上的擾動(dòng)勢(shì)能 （32）表示穩(wěn)定性取決于界面內(nèi)外的勢(shì)能差，和真空區(qū)中的擾動(dòng)勢(shì)能 （33）代表環(huán)繞等