第二節(jié)換元積分法

1、第二節(jié) 換元積分法要求：掌握用第一、二換元積分法求不定積分。重點(diǎn)：第一、二換元積分法。難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q。作業(yè)：習(xí)題42（）問題提出： 利用不定積分的基本積分表及性質(zhì)可以求出一些不定積分，但它畢竟是有限的，還有不少積分只靠上述方法是解決不了的，如、為了求出更多的不定積分，有必要研究求不定積分的其它方法，換元積分法是本節(jié)要介紹的一種方法.換元積分法其意思是用新變量去代換原變量，使原被積函數(shù)式變成一個(gè)比較簡(jiǎn)單的或積分表中已有的形式.它實(shí)質(zhì)為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算按引入新變量的方式分第一換元積分法和第二換元積分法.一、第一換元積分法復(fù)合函數(shù)的微分 已知函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)，因此導(dǎo)數(shù) ，微分 如

2、函數(shù)，令，得，導(dǎo)數(shù) ，微分 ，上式兩邊積分得，.再如 . 這里我們的思想方法是與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法一樣，引入中間變量來化簡(jiǎn)運(yùn)算.定理1 設(shè)函數(shù)具有原函數(shù)，且可導(dǎo)，則函數(shù)是函數(shù)的原函數(shù)，即有換元公式. 這個(gè)公式稱第一換元公式（或湊微分法）. 證明思路，上式兩邊求導(dǎo)，得.計(jì)算方法（1）分被積式為兩部分和，且的原函數(shù)易求； （2）對(duì)該積分求出的原函數(shù)中的換為函數(shù)，即. 如 ，要想掌握第一換元法要熟記幾個(gè)常用的微分：， ，.下列分類舉例：1直接引入新變量（乘個(gè)常數(shù)或除個(gè)常數(shù)即可）例1求不定積分.解 .一般地 積分例2求不定積分.解 .例3求不定積分.解 .例4求不定積分.解 .2通過代數(shù)變形后再引入新變

3、量例5求不定積分.解 .即有公式 =.例6求不定積分.解 .例7求不定積分.解 即有公式 利用上述公式計(jì)算不定積分.解 .例8求不定積分.解 因?yàn)?，所?.即有公式 .3利用三角公式變形的積分常用的三角公式 ， .例9求不定積分.解 即有公式 .同理得公式 .例10求不定積分.解 .即有公式 利用互余關(guān)系可求不定積分. 解 .即有公式 .得到一些以后經(jīng)常用到的需要記住的積分公式.（16）； （17）；（18）；（19）；（20）； （21）；（22）.例11求不定積分. 解 .例12求不定積分.解 .對(duì)于被積函數(shù)是或時(shí)，均可利用公式，將被積函數(shù)降為一次方，再積分.例13求不定積分.解 .對(duì)于被

4、積函數(shù)是或時(shí)，將其化為或及或的一次方次，對(duì)于（），利用公式，對(duì)于或，利用或，把被積函數(shù)化為只含的函數(shù)，再積分.例14求不定積分.解 .例15求不定積分.解 .例16求不定積分.解 .凡被積函數(shù)是與類函數(shù)相乘時(shí)，均可用公式與，變形后再積分.例17求不定積分.解 凡被積函數(shù)為時(shí)，需用積化和差公式化為兩項(xiàng)和后再積分.，.說明 第一換元法在積分中常用，如何選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，卻沒有一般的方法可循，這種方法的特點(diǎn)是湊微分.要掌握該方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式.如幾個(gè)典型的湊微分法， ， ， ， ，.并善于根據(jù)這些公式，從被積式中湊出合適的微分因子.另外，還需熟悉一些典型的例子，并要多多練習(xí)，不斷積累

5、經(jīng)驗(yàn).二、第二換元法由第一換元法例題可以看出，它們的主要思想是通過適當(dāng)選擇新變量，使原不定積分的被積式化為，而要容易求出原函數(shù)，使.由此得出不定積分，即.但用第一換元法可以解決的不定積分的類型仍受到限制，它既要求積分式適當(dāng)分解為，又同時(shí)的原函數(shù)容易求，有些函數(shù)很難做到這一點(diǎn).例如 不定積分. 解 求這個(gè)積分的主要困難是，所以令，則 .這就提示我們對(duì)一般不易用第一換元法求原函數(shù)的不定積分，能否用變量代換，使原積分的被積式，并且的原函數(shù)易求出，這就是我們要介紹的第二換元法. 定理2 設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，并且，又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式.其中是的反函數(shù).證明 設(shè)的原函數(shù)為，記，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

6、則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，得到 .即是的原函數(shù).所以有 .下面舉例說明公式的應(yīng)用.1三角代換例1計(jì)算不定積分 .解 因?yàn)楸环e函數(shù)的定義域?yàn)?，所以分區(qū)間討論.（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則， 為了保證反函數(shù)的單值、單調(diào)性，限制.則 ，于是 （2）當(dāng)時(shí)，令，那么，由上面討論，得 .綜上所述，當(dāng)及時(shí)，有公式 .例2計(jì)算不定積分 . 解 設(shè)，則，則，所以 又因?yàn)?，且，所?由上兩例可得公式 （23）、（24）.例3計(jì)算不定積分.解 例4計(jì)算不定積分.解 設(shè) ， .又因?yàn)椋谑?.一般被積函數(shù)含有，因子，采用三角代換法.（1）當(dāng)被積函數(shù)中含時(shí)，設(shè)；（2）當(dāng)被積函數(shù)中含時(shí)，設(shè)；（3）當(dāng)被積函數(shù)中含時(shí)，設(shè).另外，還可用公式計(jì)算之.如 .下面利用前面給出的24個(gè)公式計(jì)算下列各題.例5計(jì)算不定積分.解 例6計(jì)算不定積分.解 2倒