知識(shí)講解直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系理基礎(chǔ)

1、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求拋物線(xiàn)的方程；2.能熟練運(yùn)用幾何性質(zhì)（如范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線(xiàn)）解決相關(guān)問(wèn)題；3.能夠把直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解的問(wèn)題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題拋物線(xiàn)的弦問(wèn)題拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、拋物線(xiàn)的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)要點(diǎn)詮釋?zhuān)荷鲜龆x可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定點(diǎn)F（即焦點(diǎn)），一

2、定直線(xiàn)（即準(zhǔn)線(xiàn)），一定值1（即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與定直線(xiàn)l的距離之比）.要點(diǎn)二、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：，圖像方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)要點(diǎn)詮釋?zhuān)呵髵佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”、“定式”和“定值”三個(gè)方面去思考.“定形”是指以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的情況下，焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；“定式”根據(jù)“形”設(shè)拋物線(xiàn)方程的具體形式；“定值”是指用定義法或待定系數(shù)法確定p的值.要點(diǎn)三、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)范圍：，拋物線(xiàn)y2=2px（p0）在y軸的右側(cè)，開(kāi)口向右，這條拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足不等式x0；當(dāng)x的值增大

3、時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線(xiàn)向右上方和右下方無(wú)限延伸。拋物線(xiàn)是無(wú)界曲線(xiàn)。對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)y2=2px（p0）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，我們把拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線(xiàn)的軸。拋物線(xiàn)只有一條對(duì)稱(chēng)軸。頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)拋物線(xiàn)y2=2px（p0）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)。拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）。離心率：.拋物線(xiàn)y2=2px（p0）上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的比，叫做拋物線(xiàn)的離心率。用e 表示，e=1。拋物線(xiàn)的通徑通過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)被拋物線(xiàn)所截得的線(xiàn)段叫做拋物線(xiàn)的通徑。要點(diǎn)三、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程y2=2px（p0）聯(lián)立

4、成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為.若，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于一點(diǎn)；若 0 直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；0直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；0直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相離，無(wú)公共點(diǎn)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的相交弦設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)兩點(diǎn)，則=同理可得這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)。設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，其中|AF|叫做焦半徑，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)最小值為2p。根據(jù)時(shí)，即AB垂直于x軸時(shí)，弦AB的長(zhǎng)最短，最短值為2p。要點(diǎn)詮釋?zhuān)褐本€(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系和其他圓錐曲線(xiàn)與直線(xiàn)一樣，注

5、意其中方程思想的應(yīng)用和解析幾何的通性通法.【典型例題】類(lèi)型一：拋物線(xiàn)的方程與性質(zhì)例1 頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4，8)的拋物線(xiàn)有幾條?求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，所以即，因此，所求拋物線(xiàn)有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程是，【總結(jié)升華】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)軸有四種情況，因此在討論拋物線(xiàn)方程時(shí)要注意它的不同位置，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】若拋物線(xiàn)通過(guò)直線(xiàn)與圓x2y26x0的兩個(gè)交點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，求該拋物線(xiàn)的方程【答案】由得，或，根據(jù)題意可設(shè)拋物線(xiàn)的方程為x22my(

6、m>0)或y22px(p>0)，則在拋物線(xiàn)上，m，p，方程為或【變式2】已知定點(diǎn)F(0,2)，若動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿(mǎn)足|MF|y2，則點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)【答案】由已知得點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)M到直線(xiàn)y2的距離，故點(diǎn)M的軌跡方程為x28y.類(lèi)型二：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系例2過(guò)定點(diǎn)P(0,2)作直線(xiàn)l，使l與拋物線(xiàn)y24x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線(xiàn)l共有_條【答案】3【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)P與拋物線(xiàn)y24x僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有三條：二條切線(xiàn)、一條與x軸平行的直線(xiàn)【總結(jié)升華】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)要考慮相交于一點(diǎn)的情況，不要漏掉.舉一反三：【變式】已知F是拋物線(xiàn)y2x的焦點(diǎn)，A，B

7、是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為_(kāi)【答案】|AF|BF|xAxB3，xAxB.線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.類(lèi)型三：拋物線(xiàn)的弦例3.斜率為1的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)A、B，求線(xiàn)段A、B的長(zhǎng)【解析】如圖831，y2=4x的焦點(diǎn)為F (1，0)，則l的方程為y=x1由消去y得x26x+1=0設(shè)A (x1，y1)，B (x2，y2) 則x1+x2=6又A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，則【總結(jié)升華】拋物線(xiàn)的定義本身也是拋物線(xiàn)最本質(zhì)的性質(zhì)，在解題中起到至關(guān)重要的作用。舉一反三：【變式】頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的拋物線(xiàn)截直線(xiàn)y2x1所得的弦長(zhǎng)|AB|

8、，求拋物線(xiàn)的方程【答案】y220x或y212x.例4.若直線(xiàn)l：ykx2交拋物線(xiàn)y28x于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M(2，y0)，求y0及弦AB的長(zhǎng)【解析】把ykx2代入y28x，得k2x2(4k8)x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中點(diǎn)M(2，y0)，x1x24，即4，解得k2或k1.又16k264k6416k2>0，k>1，k2，此時(shí)直線(xiàn)方程為y2x2，M(2，y0)在直線(xiàn)上，y02，|AB|.【總結(jié)升華】拋物線(xiàn)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的關(guān)鍵，方程的思想也是解析幾何的核心思想.舉一反三：【變式】過(guò)拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)

9、于A、B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|等于_【答案】8【解析】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x1，則AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3(1)4.由拋物線(xiàn)的定義得|AB|8.類(lèi)型四：拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題例5.過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)兩點(diǎn)，求證：； 【解析】證明：由拋物線(xiàn)的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)為。（1）當(dāng)直線(xiàn)PQ斜率存在時(shí)，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程可設(shè)為，由消去x得：ky22pykp2=0 （）當(dāng)k=0時(shí)，方程（）只有一解，k0，由韋達(dá)定理得：y1·y2=p2。當(dāng)直線(xiàn)PQ斜率不存在時(shí)，得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，y1·y2=p2。綜上兩種

10、情況：總有y1y2=p2?！究偨Y(jié)升華】韋達(dá)定理在解決拋物線(xiàn)綜合問(wèn)題中有著非常重要的作用，注意它的合理應(yīng)用.舉一反三：【變式1】 定長(zhǎng)為3的線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=x上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)【答案】如圖，設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 則x=, y=,又設(shè)點(diǎn)A，B，M在準(zhǔn)線(xiàn):x=1/4上的射影分別為A/,B/,M/, MM/與y軸的交點(diǎn)為N，則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)³(|AB|)=等號(hào)在直線(xiàn)AB過(guò)焦點(diǎn)時(shí)成立，此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依題意|AB|=|x1x2|=×=3,k2=1/2, 此時(shí)x=(x1+x2)= y= ±即M(,), N(,)【變式2】已知點(diǎn)P是拋