第八屆奧林匹克全國(guó)數(shù)學(xué)大賽初二試題

1、第八屆 全國(guó)數(shù)學(xué)大賽初二試題（時(shí)間：120分鐘 滿分：140分）題號(hào)一二三總分17181920得分得分評(píng)卷人 一、選擇 題（每小題5分，共40分）1、已知a，b，c為ABC三邊，且滿足a2c2b2c2=a4b4，則它的形狀為（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形2、已知方程組與有相同的解，則的值為( ) A B C D3、甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙l0歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲25歲，那么( ) A甲比乙大5歲 B甲比乙大10歲 C乙比甲大10歲 D乙比甲大5歲4、化簡(jiǎn)得（ ） A B C D5、如果式子 根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（ ） A B C

2、 D6、如圖，已知ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F， 給出以下四個(gè)結(jié)論：AE=CF； EPF是等腰直角三角形； S四邊形AEPF=SABC；EF=AP當(dāng)EPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P 旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，上述結(jié)論中始終正確的有( ) A1個(gè) B2個(gè) C 3個(gè) D4個(gè).7、在實(shí)驗(yàn)課上，小明用彈簧稱(chēng)將鐵塊A懸于盛有水的水槽中，然后勻速向上提起（不考慮水的阻力），直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧稱(chēng)的讀數(shù)y（單位N）與鐵塊被提起的高度x（單位cm）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（ ） A B C D8、

3、若p為質(zhì)數(shù)，仍為質(zhì)數(shù)，則為（ ）. A.質(zhì)數(shù) B.可為質(zhì)數(shù)也可為合數(shù) C.合數(shù) D.既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)得分評(píng)卷人 二、填空題（每小題5分，共40分）9、若關(guān)于x的方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，則m2015+n2015 10、已知，那么的值為 11、某數(shù)的平方根是和，那么這個(gè)數(shù)是 12、設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則= 13、直角三角形有一條直角邊為11，另外兩條邊長(zhǎng)是自然數(shù)，則周長(zhǎng)為_(kāi)14、如圖，已知直線l：y=x，過(guò)點(diǎn)A（0，1）作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A1；過(guò)點(diǎn)A1作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B1，過(guò)點(diǎn)B1作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A2；按此作法繼續(xù)下去，則點(diǎn)A2015

4、的坐標(biāo)為 . 15如上圖，在四邊形ABCD中，A=60°，B=D90°，BC=2，CD=3，則AB= 16、小明、小強(qiáng)、小華三人參加奧林匹克杯數(shù)學(xué)大賽，他們是來(lái)自北京、上海、成都的選手，并分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)?，F(xiàn)在知道：(1)小明不是北京的選手；(2)小強(qiáng)不是上海的選手；(3)北京的選手不是一等獎(jiǎng)；(4)上海的選手得二等獎(jiǎng)；(5)小強(qiáng)不是三等獎(jiǎng)。根據(jù)上述情況，小強(qiáng)是 的選手，他得的是 等獎(jiǎng)。得分評(píng)卷人三、解答題（每小題15分，共60分）得分評(píng)卷人17、化簡(jiǎn)求值： ，其中.求的值。得分評(píng)卷人得分評(píng)卷人18、一圓柱的底面半徑為5cm,高AB為5cm，求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱

5、表面爬行到點(diǎn)C的最短路線及路線的長(zhǎng)。19、甲、乙、丙三位同學(xué)乘同一趟高鐵去上學(xué)，每個(gè)人的行李都超過(guò)了免費(fèi)的重量，需要另加行李費(fèi)。已知甲為超重部分支付了0.5元，乙為超重部分支付了1.5元，丙為超重部分支付了2.5元。三人的行李共重120千克。如果這些行李是一個(gè)人攜帶的，則應(yīng)付9.5元。求三個(gè)人的行李各重多少千克？20、如圖，P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在平行于y軸的直線x=t，使它與直線y=x和直線分別交于點(diǎn)D、E（E在D的上方）且PDE為等腰直角三角形。若存在，求t的值及P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。參考解答一、選擇題：D、D、A、C、C、C、C、C二、填空題：(9)、0；(10)、；(11)、

6、169；(12)、4；(13)、132；(14)、；(15)、； (16)、成都、一.三、解答題：17、解：（1）4；（2）418、解：路線一：沿圓柱側(cè)面爬行 路線二：從A到B到C爬行 經(jīng)過(guò)比較，路線二最短，最短路線為15cm.19、解：設(shè)甲、乙、丙三人攜帶行李重量分別為x,y,z千克，免費(fèi)重量為a千克，得：x+y+z=120，(x-a):(y-a):(z-a):(120-a)=0.5:1.5:2.5:9.5，整理得：19（x-a）=120-a，19（y-a）=3（120-a），19（z-a）=5（120-a），19（x+y+z）=1080+48a，而x+y+z=120，所以a=（19*120

7、-1080）/48=25，再把a(bǔ)=25代入19（x-a）=120-a，19（y-a）=3（120-a），19（z-a）=5（120-a），x+y+z=120，就得出x=30，y=40，z=5020、解：存在。易知：E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，），D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t）。E在D的上方，且t。PDE為等腰直角三角形，PEDE或PD=DE或PE=PD。若t0，PE=DE時(shí)，。P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）。若t0，PD=DE時(shí)，。P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）。若t0，PE=PD時(shí)，即DE為斜邊，。，DE的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，），P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）。若t0，PE=DE或PD=DE時(shí)，由已知得DE=t，t40（不符合題意，舍去），此時(shí)直線xt不存在。若t0，PE=PD時(shí)，即DE為斜邊時(shí)，由已知得D