線性代數(shù)A模擬題1答案

1、線性代數(shù)A模擬題（1）解答一、 填空題1 設(shè)表示排列逆序數(shù)，則。2 的充要條件是滿足。3 三階行列式中第二行元素依次為，相應(yīng)的余子式依次為,則.4 ，且（亦稱，可交換），則，。5 若，且，則。6 ，則。7 若元線性方程組有唯一解，且系數(shù)矩陣的秩為，則與的關(guān)系是。二、 計算題1 計算行列式解： 2 用行列式按行（或列）展開計算解：3 設(shè)，求（1） （2） （3）解：（1）（2）（3）4解：5 設(shè)，試求。解：，另解：，或 6 ，證明可逆，并求。解： ，所以可逆。7 設(shè)為階方陣，且，其伴隨矩陣為，求。解：，8 求的逆陣。解：，9 設(shè)矩陣和滿足，其中，求矩陣。解法一： ，由可逆，且，解法二：構(gòu)造矩陣，

2、實施一系列初等行變換，將變?yōu)榈耐瑫r，則變?yōu)榱耍?設(shè)向量組：，試求向量組的秩,并求它的一個最大無關(guān)組。并用最大無關(guān)組表示其余向量。解：（1）矩陣的秩，所以向量組的秩，向量組最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)為，取階梯形矩陣非零行的第一個非零元所在的列。令。，組線性無關(guān)，即組為的最大無關(guān)組。（2） ， 9求方程組的通解。解：，原方程有無窮多解。令，則對應(yīng)即得基礎(chǔ)解系：，所以原方程的通解為10討論為何值時，非齊次線性方程組有唯一解，無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解。解：（1）當(dāng)，且時，方程組有唯一解。（2）當(dāng)時，方程組無解。（3）當(dāng)時，方程組有無窮多解。 三、 證明題：1設(shè)向量組：線性無關(guān)，而向量組：線性相關(guān)，試證明向量必可有向量組線性表示，且表示式是唯一的。證法一：令， ，。因為：線性無關(guān)，有；因為：線性相關(guān)，。所以，從而。由，知方程組有唯一解，即向量可有向量組線性表示，且表示式是唯一的。證法二：線性相關(guān)，存在一組不全為零的數(shù)，使 ：線性無關(guān)，若，：線性無關(guān)，所以的表示式是唯一的。2設(shè)線性無關(guān)，試證明：（1）， ，線性無關(guān)。（2）， 線性相關(guān)。證明：（1）設(shè)有三個數(shù)使得由線性無關(guān)，齊次線性方程組只有零解，即所以，