【金學(xué)案】高中數(shù)學(xué)（北師大版選修12精品學(xué)案第三章 推理與證明 章末小結(jié)

1、第三章章末小結(jié)問(wèn)題1:推理一般包括合情推理和演繹推理,它們都是日常學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常應(yīng)用的思維方法,合情推理包括歸納推理和類比推理,具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探索和提供解決問(wèn)題的思路和方向的作用;演繹推理則具有證明結(jié)論,整理和構(gòu)建知識(shí)體系的作用,是公理體系中的基本推理方法. 問(wèn)題2:三段論是演繹推理的主要形式,三段論的公式包括三個(gè)判斷:第一個(gè)判斷是大前提,它提供了一個(gè)一般性的原理;第二個(gè)判斷是小前提,它指出了一種特殊情況,這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái),提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系,從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷結(jié)論. 問(wèn)題3:分析法和綜合法是直接證明中最基本的兩種證明方法,也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常

2、用的思維方式;反證法是間接證明的一種基本方法,也是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具. 問(wèn)題4:解答證明題時(shí),要注意是采用直接證明還是間接證明.直接證明時(shí),綜合法和分析法往往可以結(jié)合起來(lái)使用.綜合法的使用是“由因索果”,分析法證明問(wèn)題是“執(zhí)果索因”,它們是兩種思路截然相反的證明方法,分析法便于尋找解題思路,而綜合法便于敘述,因此往往聯(lián)合使用.分析法要注意敘述的形式:要證A,只要證明B,B應(yīng)是A成立的充分條件. 題型1:與數(shù)列結(jié)合的推理問(wèn)題在數(shù)列an中,a1=1,an+1=,nN+,猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?這個(gè)猜想正確嗎?說(shuō)明理由.【方法指導(dǎo)】先寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),尋找項(xiàng)與項(xiàng)

3、數(shù)之間的關(guān)系,再作出猜想,最后證明.【解析】在數(shù)列an中,a1=1,a2=,a3=,a4=,所以猜想an的通項(xiàng)公式an=.這個(gè)猜想是正確的.證明如下:因?yàn)閍1=1,an+1=,所以=+,即-=,所以數(shù)列是以=1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以=1+(n-1)=n+,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=.【小結(jié)】歸納推理的常見(jiàn)形式:一是“具有共同特征型”,二是“遞推型”,三是“循環(huán)型”(周期性),本題是根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于第一類型;這種猜測(cè)不一定正確,需進(jìn)一步證明.題型2:與立體幾何結(jié)合的推理問(wèn)題在ABC中,若C=90°,AC=b,BC=a,則ABC的外接圓半徑r=,把上面

4、的結(jié)論推廣到空間,寫出相類似的結(jié)論.【方法指導(dǎo)】得出類比結(jié)論四面體與三角形對(duì)應(yīng)立體幾何中的平面與平面幾何中的直線對(duì)應(yīng)尋找類比對(duì)象【解析】取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體A-BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,可以將四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,則對(duì)角線長(zhǎng)即為外接球的直徑,即2R=,即R=,則此三棱錐的外接球的半徑R=.【小結(jié)】此題考查的是平面到空間的類比推廣.解答這類題目不能只滿足結(jié)論形式上的相似,還必須是真命題,結(jié)論的推導(dǎo)還是要從平面結(jié)論下手,一般在推導(dǎo)空間的結(jié)論時(shí)要用到平面的結(jié)論,或利用類似平面結(jié)論推導(dǎo)的方法,如等面積類比等體積,直線類比平面,等等.題型3:與三角結(jié)合的證明問(wèn)題證明:=-.【

5、方法指導(dǎo)】要證明=成立,可證AD=BC,因此在證明本題時(shí),可以先將右側(cè)進(jìn)行通分,然后證明其對(duì)應(yīng)的“AD=BC”成立.【解析】(法一)分析法要證原式成立,即證=成立;(1)當(dāng)cos=sin時(shí),上式顯然成立,故原式成立;(2)當(dāng)cossin時(shí),即證2(1+sin)(1+cos)=(1+sin+cos)2,即證2+2sin+2cos+2sincos=1+sin2+cos2+2sin+2cos+2sincos,即證1=sin2+cos2成立,顯然成立,故原式成立.(法二)綜合法1=sin2+cos2,2+2sin+2cos+2sincos=1+sin2+cos2+2sin+2cos+2sincos,2

6、(1+sin)(1+cos)=(1+sin+cos)2,=,故原式成立.【小結(jié)】方法一用了分析法,思路清晰、簡(jiǎn)潔;方法二利用的是綜合法,它建立在方法一的基礎(chǔ)上,描述簡(jiǎn)潔.題型4:用反證法證明問(wèn)題用反證法證明:若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是增函數(shù),那么方程f(x)=0在區(qū)間a,b上至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.【方法指導(dǎo)】得出正確結(jié)論化簡(jiǎn)推出矛盾假設(shè)結(jié)論不成立用反證法證明【解析】假設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間a,b上至少有兩個(gè)根,設(shè),為其中的兩個(gè)實(shí)根,因?yàn)?不妨設(shè)>,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間a,b上是增函數(shù),所以f()>f().這與假設(shè)f()=f()=0矛盾,所以方程f(x)=0在區(qū)間a,b上至多

7、只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.【小結(jié)】(1)當(dāng)遇到否定性、唯一性、無(wú)限性、至多、至少等類型問(wèn)題時(shí),常用反證法.(2)用反證法證明的步驟:否定結(jié)論ABC.而C不合理因此結(jié)論成立.1.(2022年·全國(guó)卷)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在邊AB上,點(diǎn)F在邊BC上,AE=BF=.動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F運(yùn)動(dòng),每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角,當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí),P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為().A.8B.6C.4D.3【解析】結(jié)合已知中的點(diǎn)E,F的位置,進(jìn)行推理可知在反射的過(guò)程中,直線是平行的,那么利用平行關(guān)系,作圖(如下),可以得到回到E點(diǎn)時(shí),需要碰撞6次即可.【答案】B2.(2022

8、年·湖北卷)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù),如三角形數(shù)1,3,6,10,第n個(gè)三角形數(shù)為=n2+n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式:三角形數(shù)N(n,3)=n2+n,正方形數(shù)N(n,4)=n2,五邊形數(shù)N(n,5)=n2-n,六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n,可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)=. 【解析】首先將三、四、五、六邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式分別通分,化成分母統(tǒng)一為2的形式如下:三角形數(shù):N(n,3)=n2+n=,正方形數(shù):N(n,4)=n2=,五邊形數(shù):N(n,5)=-n=,六邊形

9、數(shù):N(n,6)=2n2-n=,根據(jù)以上規(guī)律總結(jié),推測(cè):N(n,k)=.故N(10,24)=1000.【答案】1000一、選擇題1.下面幾種推理是合情推理的是().由正三角形的性質(zhì)類比出正三棱錐的有關(guān)性質(zhì);由正方形、矩形的內(nèi)角和是360°,歸納出所有四邊形的內(nèi)角和都是360°三角形內(nèi)角和是180°,四邊形內(nèi)角和是360°,五邊形內(nèi)角和是540°,由此得出凸n邊形內(nèi)角和是(n-2)·180°小李某次數(shù)學(xué)模塊考試成績(jī)是90分,由此推出小李的全班同學(xué)這次數(shù)學(xué)模塊考試的成績(jī)都是90分.A.B.C.D.【解析】本題主要考查對(duì)合情推理(

10、歸納推、類比推理)的判斷.是類比推理,是歸納推理,故選B.【答案】B2.下圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形,照引規(guī)律閃爍,下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是().【解析】本題考查學(xué)生對(duì)圖形變化規(guī)律的歸納,由圖可知該五角星對(duì)角上亮的兩盞花燈依次按逆時(shí)針?lè)较蛄烈槐K,故下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是A中所示的圖形,故選A.【答案】A3.在證明命題“對(duì)于任意角,cos4-sin4=cos 2”的過(guò)程:“cos4-sin4=(cos2+sin2)(cos2-sin2)=cos2-sin2=cos 2”中應(yīng)用了().A.分析法B.綜合法C.分析法和綜合法D.間接證法【答案】B4.已知a,b,cR,a

11、+b+c=0,abc>0,T=+,則().A.T>0B.T<0C.T=0D.無(wú)法判斷T的正負(fù)【解析】a+b+c=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,即2ab+2bc+2ac=-(a2+b2+c2)<0,abc>0,上述不等式兩邊同乘以,得T=+=-<0,故選B.【答案】B5.論語(yǔ)·學(xué)路篇中說(shuō):“名不正,則言不順;言不順,則事不成;事不成,則禮樂(lè)不興;禮樂(lè)不興,則刑罰不中;刑罰不中,則民無(wú)所措手足.”所以,名不正,則民無(wú)所措手足.上述推理用的是().A.類比推理B.歸納推理C.演繹推理D.一次三段論【解析】本題考查應(yīng)用

12、三段論解決問(wèn)題.對(duì)于復(fù)雜的論證,總是采用一連串的三段論,把前一個(gè)三段論的結(jié)論作為下一個(gè)三段論的前提.本題是一個(gè)復(fù)合三段論,從“名不正”推出“民無(wú)所措手足”,連續(xù)運(yùn)用五次三段論,屬演繹推理形式,故選C.【答案】C6.若f(n)=1+(nN+),則當(dāng)n=2時(shí),f(n)=().A.1+B.C.1+D.以上答案均不對(duì)【解析】當(dāng)n=2時(shí),2n+1=5,所以加到.【答案】C7.某紡織廠的一個(gè)車間有技術(shù)工人m(mN+)名,編號(hào)分別為1、2、3、m,有n(nN+)臺(tái)織布機(jī),編號(hào)分別為1、2、3、n,定義記號(hào)aij:若第i名工人操作了第j號(hào)織布機(jī),規(guī)定aij=1,否則aij=0.則等式a41+a42+a43+a

13、4n=3的實(shí)際意義是().A.第4名工人操作了3臺(tái)織布機(jī)B.第4名工人操作了n臺(tái)織布機(jī)C.第3名工人操作了4臺(tái)織布機(jī)D.第3名工人操作了n臺(tái)織布機(jī)【解析】本題考查學(xué)生閱讀理解,歸納推理的能力.根據(jù)即時(shí)定義,a41+a42+a43+a4n=3中的第一下標(biāo)4表示第4名工人進(jìn)行操作,第二下標(biāo)1、2、n表示第1號(hào)織布機(jī)、第2號(hào)織布機(jī)、第n號(hào)織布機(jī),根據(jù)規(guī)定可知這名工人操作了3臺(tái)織布機(jī),故選A.【答案】A8.若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)任意的x1,x2D都有|f(x1)-f(x2)|<1,則稱函數(shù)y=f(x)為“Storm”函數(shù).那么下列函數(shù)是“Storm”函數(shù)的是().A.f(x)=x2

14、(x-1,2)B.f(x)=x3(x0,1)C.f(x)=-2x+1(x-1,0)D.f(x)=(x1,3)【解析】根據(jù)定義知|f(x1)-f(x2)|小于等于函數(shù)f(x)的最大值與最小值之差的絕對(duì)值,故若判斷一個(gè)函數(shù)是否是“Storm”函數(shù),只需看這個(gè)函數(shù)的最值之差的絕對(duì)值是否小于1即可.在D選項(xiàng)中,因?yàn)閒(x)=在x1,3上是減函數(shù),所以m=f(3)=,M=f(1)=1,所以|M-m|=|1-|=<1,所以該函數(shù)是“Storm”函數(shù).【答案】D9.一個(gè)正方形被分成九個(gè)相等的小正方形,將中間的一個(gè)正方形挖去,如圖(1);再將剩余的每個(gè)正方形都分成九個(gè)相等的小正方形,并將中間的一個(gè)挖去,

15、如圖(2);如此繼續(xù)下去,則截止到第n個(gè)圖共挖去小正方形().A.(8n-1)個(gè)B.(8n+1)個(gè)C.(8n-1)個(gè)D.(8n+1)個(gè)【解析】本題主要考查通過(guò)觀察進(jìn)行歸納,并猜想出結(jié)論的過(guò)程.第1個(gè)圖挖去1個(gè),截止到第2個(gè)圖共挖去(1+8)個(gè),截止到第3個(gè)圖共挖去(1+8+82)個(gè),截止到第n個(gè)圖共挖去1+8+82+8n-1=個(gè),故選C.【答案】C10.把數(shù)列2n+1依次按第一個(gè)括號(hào)中有一個(gè)數(shù),第二個(gè)括號(hào)中有兩個(gè)數(shù),第三個(gè)括號(hào)中有三個(gè)數(shù),第四個(gè)括號(hào)中有四個(gè)數(shù),第五個(gè)括號(hào)中有一個(gè)數(shù),循環(huán)分為(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31

16、,33),(35,37,39,41),(43),則第104個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和為().A.2036B.2048C.2060D.2072【解析】從第1個(gè)括號(hào)到第104個(gè)括號(hào),總共有26個(gè)循環(huán),每個(gè)循環(huán)共有1+2+3+4=10個(gè)數(shù)字,從第一個(gè)括號(hào)到第104個(gè)括號(hào)共有260個(gè)數(shù)字,第104個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和為(2×257+1)+(2×258+1)+(2×259+1)+(2×260+1)=2072.【答案】D二、填空題11.一切奇數(shù)都不能被2整除,2100+1是奇數(shù),所以2100+1不能被2整除,其演繹推理的“三段論”的大前提為. 【解析】由演繹推理三段論可

17、得.【答案】一切奇數(shù)都不能被2整除12.類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì),可推出空間中下列結(jié)論:垂直于同一條直線的兩條直線互相平行,垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行,垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行,垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是. 【解析】本題主要考查用類比推理判斷空間中直線與平面的位置關(guān)系.因?yàn)榇怪庇谕粭l直線的兩條直線可能平行、相交、異面,故不正確,應(yīng)排除A、D;因?yàn)榇怪庇谕粋€(gè)平面的兩個(gè)平面可能平行或相交,故不正確,應(yīng)排除B,易知均正確.【答案】13.已知f(n)=1+(nN+),計(jì)算得f(2)=,f(4)>2,f(

18、8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推測(cè):當(dāng)n2時(shí),有. 【答案】f(2n)>14.若<<0,則下列四個(gè)結(jié)論:|a|>|b|,a+b<ab,+>2,<2a-b.其中正確的是. 【解析】<<0,b<a<0,-b>-a>0,|b|>|a|,故錯(cuò)誤.b<a<0,顯然正確.又>0,>0,且,正確.又-(2a-b)=-2a+b=<0,<2a-b,正確.【答案】15.設(shè)O是ABC內(nèi)一點(diǎn),ABC三邊上的高分別為hA,hB,hC,O到三邊的距離依次

19、為la,lb,lc,則+=1,類比到空間,O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn),四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別為hA,hB,hC,hD,O到這四個(gè)面的距離依次為la,lb,lc,ld,則有. 【答案】+=1三、解答題16.有10只猴子共分了56個(gè)香蕉,每只猴子至少分到1個(gè)香蕉,最多分到10個(gè)香蕉,試證:至少有兩只猴子分到同樣多的香蕉.【解析】假設(shè)10只猴子分到的香蕉都不一樣多,每只猴子最少分到一個(gè)香蕉,至多分到10個(gè)香蕉,只能是分別分到1,2,3,10個(gè)香蕉.共分了1+2+3+10=55(個(gè)),這與共分了56個(gè)香蕉相矛盾,故至少有兩只猴子分得同樣多的香蕉.17.已知函數(shù)f(x)=ax+(a>1).

20、(1)求證:函數(shù)f(x)在(-1,+)上為增函數(shù);(2)用反證法證明:方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.【解析】(1)任取-1<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=+-(+)=(-1)+=(-1)+,-1<x1<x2,x1-x2<0.又a>1,<1,且>0,x1+1>0,x2+1>0,(-1)+<0,即f(x1)<f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,+)上為增函數(shù).(2)設(shè)存在x0<0(x0-1)滿足f(x0)=0,則=-,且0<<1,0<<1,解得<x0<2.與假設(shè)x0<0矛盾,

21、故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.18.已知a,b,c是全不相等的正實(shí)數(shù),求證:+>3.【解析】a,b,c全不相等,與,與,與全不相等,+>2,+>2,+>2.三式相加得+>6,(+-1)+(+-1)+(+-1)>3,即 +>3.19.如圖,已知PA 矩形ABCD所在平面,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).求證:(1)MN平面PAD,(2)MNCD.【解析】(1)取PD的中點(diǎn)E,連接AE,NE.N,E分別為PC,PD的中點(diǎn),EN為PCD的中位線,EN􀱀CD,AM=AB,又四邊形ABCD為矩形,CDAB,且CD=AB.ENAM,且EN=AM.四

22、邊形AENM為平行四邊形,MNAE,又MN平面PAD,AE平面PAD,MN平面PAD.(2)PA矩形ABCD所在平面,CDPA,又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD,又AE平面PAD,AECD.又MNAE,MNCD.20.已知:sin230°+sin290°+sin2150°=,sin25°+sin265°+sin2125°=.通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律,請(qǐng)你寫出一般性的命題:=(*)并給出(*)式的證明. 【解析】一般性命題:sin2+sin2(+60°)+sin2(+120°)=.下面證明此命題:左邊=+=-cos2+cos(2+120°)+cos(2+240°)=-(cos2+cos2cos120°-sin2sin120