【金學(xué)案】高中數(shù)學(xué)（北師大版選修12精品學(xué)案第四章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù) 數(shù)的引入 第2課時 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義

1、第2課時復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義1.理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算規(guī)律.2.復(fù)數(shù)的加減與向量的加減的關(guān)系.重點:正確理解復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算,復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義.難點:對比復(fù)數(shù)加減法與向量加減法的異同,從而理解復(fù)數(shù)的幾何意義.實數(shù)可以進(jìn)行加減運(yùn)算,并且具有豐富的運(yùn)算律,其運(yùn)算結(jié)果仍是實數(shù);多項式也有相應(yīng)的加減運(yùn)算和運(yùn)算律;對于引入的復(fù)數(shù),其代數(shù)形式類似于一個多項式,當(dāng)然它也應(yīng)有加減運(yùn)算,并且也有相應(yīng)的運(yùn)算律.問題1:依據(jù)多項式的加法法則,得到復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算法則.設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù),那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,很明顯,兩個復(fù)數(shù)的和仍然

2、是一個確定的復(fù)數(shù).問題2:復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律.即z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).問題3:利用向量加法討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義向量加法遵循平行四邊形法則,在直角坐標(biāo)系中從橫縱坐標(biāo)上分析就是橫縱坐標(biāo)分別相加.故復(fù)數(shù)相加就是實部與虛部分別相加得到一個新的復(fù)數(shù).問題4:如何理解復(fù)數(shù)的減法?復(fù)數(shù)減法是復(fù)數(shù)加法的逆運(yùn)算.向量減法遵循三角形法則,在直角坐標(biāo)系中從橫縱坐標(biāo)上分析就是橫縱坐標(biāo)分別相減.故復(fù)數(shù)相減就是實部與虛部分別相減得到一個新的復(fù)數(shù).十八世紀(jì)末十九世紀(jì)初,著名的德國數(shù)學(xué)家高斯在證明代數(shù)基本定理“任何一元n次方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有n個根”時,就應(yīng)用并論述

3、了卡爾丹所設(shè)想的新數(shù),并首次引進(jìn)了“復(fù)數(shù)”這個名詞,把復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點一一對應(yīng)起來,創(chuàng)立了復(fù)平面,依賴于平面內(nèi)的點或有向線段(向量)建立了復(fù)數(shù)的幾何基礎(chǔ).這樣歷經(jīng)300年的努力,數(shù)系從實數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)張才基本完成,復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)和使用.1.設(shè)z1=3-4i,z2=-2+3i,則z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】(3-4i)-(-2+3i)=5-7i.【答案】D2.(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i(其中i為虛數(shù)單位)等于().A.10B.10+2iC.14D.14+2i【解析】(2-i)+(3+i)+(4+i)

4、+(5+i)-i=2+3+4+5+(-+1+-)i=14.【答案】C3.復(fù)數(shù)z1=9+3i,z2=-5+2i,則z1-z2=.【解析】z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.【答案】14+i4.已知復(fù)數(shù)z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.(1)求z2;(2)求z1-2z2.【解析】(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法運(yùn)算(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;(2)計算:(+i)+(2-i)-(-i)

5、;(3)計算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+(-2022+2022i)+(2022-2022i).【方法指導(dǎo)】依據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算法則以及運(yùn)算律求解.【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(2)+i+(2-i)-(-i)=(+2-)+(-1+)i=1+i.(3)(法一)原式=(1-2)+(3-4)+(2022-2022) +2022+(-2+3)+(-4+5)+(-2022+2022)-2022i=(-1006+2022)+(1006-2022)i=1007-1008i.(法二)(1-2i

6、)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,(2022-2022i)+(-2022+2022i)=-1+i,將以上各式(共1006個)相加可知:原式=1006(-1+i)+(2022-2022i)=1007-1008i.【小結(jié)】幾個復(fù)數(shù)相加減,運(yùn)算法則為這些復(fù)數(shù)的所有實部相加減,所有虛部相加減.第(3)小題的解法一是從整體上把握,將計算分實部和虛部進(jìn)行,有機(jī)構(gòu)造特殊數(shù)列的和進(jìn)而求得結(jié)果.解法二是從局部入手,抓住了式中相鄰兩項和的特點,恰當(dāng)?shù)胤纸M使計算得以簡化.復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減運(yùn)算的幾何意義在復(fù)平面內(nèi),A、B、C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以

7、AB、AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC,求D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)z4及AD的長.【方法指導(dǎo)】根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可以把復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算.【解析】如圖所示:對應(yīng)復(fù)數(shù)z3-z1,對應(yīng)復(fù)數(shù)z2-z1,對應(yīng)復(fù)數(shù)z4-z1.由復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義得=+,z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,AD的長為|=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.【小結(jié)】利用向量進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算時,同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)問題提供了可能.復(fù)

8、數(shù)加減運(yùn)算的綜合應(yīng)用已知實數(shù)a0,b0,復(fù)數(shù)z1=a+5i,z2=3-bi,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.【方法指導(dǎo)】利用兩復(fù)數(shù)的模,可求得a,b的值,再求z1+z2.【解析】由題意得z1=12+5i,z2=3-4i,z1+z2=15+i.【小結(jié)】本題結(jié)合了復(fù)數(shù)的模與復(fù)數(shù)的加法,表面看著難,其實難度不大.復(fù)數(shù)z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并說明z1+z2-z3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限.【解析】z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i,z1+z2-z3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(6,4),在第一象限.如圖所示,平行四邊形O

9、ABC的頂點O、A、C分別表示0、3+2i、-2+4i.求:(1)表示的復(fù)數(shù);(2)表示的復(fù)數(shù);(3)表示的復(fù)數(shù).【解析】(1)因為=-,所以表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.(2)因為=-,所以表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因為=+,所以表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.已知實數(shù)aR,復(fù)數(shù)z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若z1+z2為純虛數(shù),求a的值.【解析】z1+z2=(a+2-3ai)+(6-7i)=a+8-(3a+7)i,z1+z2為純虛數(shù),a=-8.1.復(fù)數(shù)z1=-3+4i,z2=6-7i,則z1+z2等于().A.3-3iB.3+3iC.-

10、9+11iD.-9-3i【答案】A2.復(fù)數(shù)(3+i)m-(2+i)對應(yīng)的點在第三象限內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍是().A.mB.m1C.m1【解析】(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,點(3m-2,m-1)在第三象限,即m0,復(fù)數(shù)z1=a+2i,z2=3+5i,|z1-z2|=5,則a的值為.【解析】z1-z2=a-3-3i(aR),|z1-z2|=5,=25,a-3=4,又a0,a=7.【答案】78.已知f(z)=2z+2-i,z0=1+2i,f(z0-z1)=6-3i,zC,求復(fù)數(shù)z1,f(|z0+z1|).【解析】由已知得2z0-2z1+2-i=6-3i,z0=1+2i,2+4i-2z1+2-i=6-3i,即4+3i-2z1=6-3i,2z1=(4+3i)-(6-3i)=(4-6)+(3+3)i=-2+6i,z1=-1+3i,|z0+z1|=|(1+2i)+(-1+3i)|=|5i|=5,f(|z0+z1|)=f(5)=25+2-i=12-i.9.已知復(fù)數(shù)z的模為2,則|z-i|的最大值為.【解析】(法一)|z|=2,|z-i|z|+|i|=2+1=3.(法二)設(shè)w=z-i,則w+i=z,|w+i|=|z|=2.w表示以點(0,-1)為圓心,以2為半徑的圓,由圖知,圓上到原點的距