高數(shù)點積叉積（課堂PPT）

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .11. 向量的兩種表示方式（直觀，坐標）2. 向量的兩個要素（長度、方向）的表示3. 向量的線性運算（直觀，坐標）復(fù)習復(fù)習 向量的表示及線性運算向量的表示及線性運算 -模與方向余弦4. 向量的平行的充要條件（直觀，坐標）5. 向量在坐標軸上的投影及投影向量6. 向量的單位化目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .2解解 因1. 設(shè)求向量在 x 軸上的投影、在 y 軸上的分向量13xa 在 y 軸上的分向量為故在 x 軸上的投影為358,mijk247,nijk54pijk 43amnp 7ya jj及與a平行的單位向量.43amnp 4(358 )ijk3(247 )i

2、jk54ijk13715ijk與 平行的單位向量為a01371513715,.443443443443aijkaa .3解解設(shè)設(shè)向向量量21PP的的方方向向角角為為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .4.32,3 設(shè)設(shè)2P的的坐坐標標為為),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐標標為為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .5*三、向量的混合積三、向量的混合積 第三節(jié)

3、一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積 數(shù)量積 向量積 *混合積 第八八章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .61M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,W1. 定義定義設(shè)向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積 (點積) .引例引例. 設(shè)一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,sba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .7記作故abj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零向量, 則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(b

4、a0,0ba,0 時當a上的投影為在 ab,0,時當同理bbacosba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .83. 運算律運算律(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實上, 當0c時, 顯然成立 ;時當0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .9例例1. 證明三角形余弦定理cos2222abbac證證: 如圖 . 則cos2222abbac,aBC,bACcBAABCa

5、bcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,設(shè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .104. 數(shù)量積的坐標表示數(shù)量積的坐標表示設(shè)則, 10zzyyxxbababa當為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式 , 得 bacosba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .11)(MB, )(MA BM例例2. 已知三點, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )

6、1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbbba ba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .12為 ) .求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P (流體密度例例3. 設(shè)均勻流速為的流體流過一個面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量,解解:單位時間內(nèi)流過的體積:APAA的夾角為且vvncosvcosvnv nn為單位向量Av目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .13二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點 ,

7、有一個與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點上 ,則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .141. 定義定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .152. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量, 則，0sin0或即aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當baba0basinab03. 運算律運

8、算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律(證明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:sinabba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .16)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標表示式向量積的坐標表示式設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .17向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法k

9、jixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .18例例4. 已知三點, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 . 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .19*三、向量的混合積向量的混合積1. 定義定義 已知三向量稱數(shù)量混合積混合積 .記作幾何意義幾何意義 為

10、棱作平行六面體,底面積高h故平行六面體體積為hAV coscba)(cba,cba的為cba,Abaccba,以則其cosbaccba)(cbabacba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .20zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合積的坐標表示混合積的坐標表示設(shè)xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .213. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 三個非零向量共面的充要條件是0(2) 輪

11、換對稱性 :(可用三階行列式推出)cbacba,ab cab cabcabc目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .22例例5. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、),(zyxM四點共面, 求點 M 的坐標 x、y、z 所滿足的方程.解解: A、B、 C、M 四點共面0ABCM1x2y0z111302展開行列式即得點 M 的坐標所滿足的方程AM、AB、AC 三向量共面ACABAM0432zyx0即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .23內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運算加減:數(shù)乘:點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(,

12、 ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .24混合積:2. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .25思考與練習思考與練習1. 設(shè)計算并求夾角 的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,ba

13、ba及BabcAC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .26證證: 由三角形面積公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因ABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACBBabcAC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .27P289 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7，8，9第三節(jié) 作業(yè)作業(yè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .2822343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

14、.2922343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .3022343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .3122343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaab

15、a2bb22cos2bbaa17ba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .3222200)2(211ABCD在頂點為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 邊上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面積為 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .3322200)2(211ABCD在頂點為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 邊上的高 BD .解：解

16、：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面積為 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .3422200)2(211ABCD在頂點為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 邊上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面積為 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .3522200)2(211ABCD在頂點

17、為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 邊上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面積為 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .3622200)2(211ABCD在頂點為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 邊上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面積為 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .3722343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .3822343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量的夾角且解：解：