概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案

1、習(xí)題答案第1章 三、解答題 1設(shè)P(AB) = 0，則下列說法哪些是正確的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A B) = P(A) 解：(4) (6)正確. 2設(shè)A，B是兩事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，問： (1) 在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因?yàn)?，又因?yàn)榧?所以(1) 當(dāng)時(shí)P(AB)取到最大值，最大值是=0.6.(2) 時(shí)P(AB)取到最小值，最小值是P(

2、AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件A，B滿足，記P(A) = p，試求P(B) 解：因?yàn)?，即，所?4已知P(A) = 0.7，P(A B) = 0.3，試求 解：因?yàn)镻(A B) = 0.3，所以P(A ) P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) 0.3,又因?yàn)镻(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7 0.3=0.4，. 5 從5雙不同的鞋子種任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？ 解：顯然總?cè)》ㄓ蟹N，以下求至少有兩只配成一雙的取法：法一：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法二：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)

3、法三：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法四：先滿足有1雙配對再除去重復(fù)部分：-法五：考慮對立事件：- 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)法六：考慮對立事件： 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)所求概率為 6在房間里有10個(gè)人，分別佩戴從1號到10號的紀(jì)念章，任取3人記錄其紀(jì)念章的號碼求： (1) 求最小號碼為5的概率； (2) 求最大號碼為5的概率 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率 解：設(shè)M1, M2, M3表示杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的事件，則, , 8設(shè)5個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)合格品，2個(gè)

4、不合格品，從中不返回地任取2個(gè)，求取出的2個(gè)中全是合格品，僅有一個(gè)合格品和沒有合格品的概率各為多少？ 解：設(shè)M2, M1, M0分別事件表示取出的2個(gè)球全是合格品，僅有一個(gè)合格品和沒有合格品，則 , 9口袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)，求取到的兩個(gè)球顏色相同的概率 解：設(shè)M1=“取到兩個(gè)球顏色相同”，M1=“取到兩個(gè)球均為白球”，M2=“取到兩個(gè)球均為黑球”，則.所以 10 若在區(qū)間(0，1)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率 解：這是一個(gè)幾何概型問題以x和y表示任取兩個(gè)數(shù)，在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系，如圖. 任取兩個(gè)數(shù)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間W = (x，y)：0 &#

5、163; x，y £ 1 事件A =“兩數(shù)之和小于6/5”= (x，y) Î W ： x + y £ 6/5因此圖？ 11隨機(jī)地向半圓（為常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率 解：這是一個(gè)幾何概型問題以x和y表示隨機(jī)地向半圓內(nèi)擲一點(diǎn)的坐標(biāo)，q表示原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角，在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系，如圖. 隨機(jī)地向半圓內(nèi)擲一點(diǎn)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間 W=(x，y)： 事件A =“原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于” =(x，y)：因此 12已知，求 解： 13設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件

6、，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：題中要求的“已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率”應(yīng)理解為求“已知所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品，則兩件均為不合格品的概率”。 設(shè)A=“所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”，B=“兩件均為不合格品”；， 14有兩個(gè)箱子，第1箱子有3個(gè)白球2個(gè)紅球，第2個(gè)箱子有4個(gè)白球4個(gè)紅球，現(xiàn)從第1個(gè)箱子中隨機(jī)地取1個(gè)球放到第2個(gè)箱子里，再從第2個(gè)箱子中取出一個(gè)球，此球是白球的概率是多少？已知上述從第2個(gè)箱子中取出的球是白球，則從第1個(gè)箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：設(shè)A=“從第1個(gè)箱子中取出

7、的1個(gè)球是白球”，B=“從第2個(gè)箱子中取出的1個(gè)球是白球”，則，由全概率公式得由貝葉斯公式得 15將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1，若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？ 解：設(shè)M=“原發(fā)信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知所以由貝葉斯公式得 16三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為，問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？ 解：設(shè)Ai=“第i個(gè)人能破譯密碼”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能將此密碼譯出的概率為 17設(shè)事件A與B相互獨(dú)

8、立，已知P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7，求. 解：由于A與B相互獨(dú)立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)將P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以或者,由于A與B相互獨(dú)立,所以A與相互獨(dú)立，所以 18甲乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被命中，則它是甲射中的概率是多少？ 解：設(shè)A=“甲射擊目標(biāo)”，B=“乙射擊目標(biāo)”，M=“命中目標(biāo)”，已知P(A)=P(B)=1,所以由于甲乙兩人是獨(dú)立射擊目標(biāo)，所以 19某

9、零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3，0.2，0.1；第二種工藝有兩道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3，0.2，試問： (1) 用哪種工藝加工得到合格品的概率較大些？ (2) 第二種工藝兩道工序出現(xiàn)不合格品的概率都是0.3時(shí)，情況又如何？ 解：設(shè)Ai=“第1種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2.（1）根據(jù)題意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一種工藝加工得到合格品的概率為P(A1A2A3)= P(A1)

10、P(A2)P(A3)=第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第二種工藝加工得到合格品的概率大。（2）根據(jù)題意，第一種工藝加工得到合格品的概率仍為0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7,第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第一種工藝加工得到合格品的概率大。 1設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A，B和C滿足條件ABC = Æ，且已知，求P(A) 解：因?yàn)锳BC = Æ，所以P(ABC) =0,因?yàn)锳，B，C兩兩相互獨(dú)立，所以由加法公式得 即 考慮到得 2設(shè)事件A，B，C的概率都是，且，證明： 證明：因?yàn)椋?/p>

11、所以將代入上式得到整理得 3設(shè)0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +，試證A與B獨(dú)立 證明：因?yàn)镻(A|B) +，所以將代入上式得兩邊同乘非零的P(B)1-P(B)并整理得到所以A與B獨(dú)立. 4設(shè)A，B是任意兩事件，其中A的概率不等于0和1，證明是事件A與B獨(dú)立的充分必要條件 證明：充分性，由于，所以即兩邊同乘非零的P(A)1-P(A)并整理得到所以A與B獨(dú)立. 必要性：由于A與B獨(dú)立，即且所以一方面另一方面所以 5一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為

12、. (1) 若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率 (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率 解：設(shè)Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知由全概率公式得(1) 他取得該資格的概率為(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率為 6每箱產(chǎn)品有10件，其中次品從0到2是等可能的，開箱檢驗(yàn)時(shí)，從中任取一件，如果檢驗(yàn)為次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品為不合格而拒收由于檢驗(yàn)誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被誤判為正品的概率為10%求檢驗(yàn)一箱產(chǎn)品能通過驗(yàn)收的概率 解：設(shè)Ai=“一箱產(chǎn)品有i件次品”，i=0，1，2.設(shè)M=“一件產(chǎn)品為正品”，N=“一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品”

13、.已知由全概率公式又由全概率公式得一箱產(chǎn)品能通過驗(yàn)收的概率為 7用一種檢驗(yàn)法檢驗(yàn)產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下若真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為含有的概率為0.8；若真含不有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9；據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4和0.6今獨(dú)立地對一產(chǎn)品進(jìn)行三次檢驗(yàn)，結(jié)果是兩次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而有一次認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率 解：A=“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”，Bi=“對一產(chǎn)品進(jìn)行第i次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)”，i=1,2,3. 已知獨(dú)立進(jìn)行的三次檢驗(yàn)中兩次認(rèn)為含有雜質(zhì)，一次認(rèn)為不含有雜質(zhì)，不妨假設(shè)前兩次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，第三次認(rèn)為檢驗(yàn)不含有雜質(zhì)，即B1，

14、B2發(fā)生了，而B3未發(fā)生.又知所以所求概率為由于三次檢驗(yàn)是獨(dú)立進(jìn)行的，所以 8火炮與坦克對戰(zhàn)，假設(shè)坦克與火炮依次發(fā)射，且由火炮先射擊，并允許火炮與坦克各發(fā)射2發(fā)，已知火炮與坦克每次發(fā)射的命中概率不變，它們分別等于0.3和0.35.我們規(guī)定只要命中就被擊毀試問 (1) 火炮與坦克被擊毀的概率各等于多少？ (2) 都不被擊毀的概率等于多少？ 解：設(shè)Ai=“第i次射擊目標(biāo)被擊毀”，i=1,2,3,4. 已知所以 (1) 火炮被擊毀的概率為 坦克被擊毀的概率為 (2) 都不被擊毀的概率為 9甲、乙、丙三人進(jìn)行比賽，規(guī)定每局兩個(gè)人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連勝兩次為止，此人即為冠軍，而

15、每次比賽雙方取勝的概率都是，現(xiàn)假定甲乙兩人先比，試求各人得冠軍的概率 解：Ai=“甲第i局獲勝”， Bi=“乙第i局獲勝”，Bi=“丙第i局獲勝”，i=1,2,.，已知，由于各局比賽具有獨(dú)立性，所以在甲乙先比賽，且甲先勝第一局時(shí)，丙獲勝的概率為同樣，在甲乙先比賽，且乙先勝第一局時(shí)，丙獲勝的概率也為丙得冠軍的概率為甲、乙得冠軍的概率均為第二章2一、填空題：1. ，2. ，k = 0，1，n3. 為參數(shù)，k = 0，1，4. 5. 6. 7. 8. 9. X-112pi0.40.40.2 分析：由題意，該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)求法，可觀察出隨機(jī)變量的取值及概率。10

16、. 分析：每次觀察下基本結(jié)果“X1/2”出現(xiàn)的概率為，而本題對隨機(jī)變量X取值的觀察可看作是3重伯努利實(shí)驗(yàn)，所以11. ,同理，P| X | £ 3.5 =0.8822.12. .13. ，利用全概率公式來求解：二、單項(xiàng)選擇題：1. B，由概率密度是偶函數(shù)即關(guān)于縱軸對稱，容易推導(dǎo)F(-a)=2. B，只有B的結(jié)果滿足3. C，根據(jù)分布函數(shù)和概率密度的性質(zhì)容易驗(yàn)證4. D，可以看出不超過2，所以，可以看出，分布函數(shù)只有一個(gè)間斷點(diǎn).5. C, 事件的概率可看作為事件A（前三次獨(dú)立重復(fù)射擊命中一次）與事件B（第四次命中）同時(shí)發(fā)生的概率，即 .三、解答題（A）1(1)X123456pi分析：這

17、里的概率均為古典概型下的概率，所有可能性結(jié)果共36種，如果X=1，則表明兩次中至少有一點(diǎn)數(shù)為1，其余一個(gè)1至6點(diǎn)均可，共有（這里指任選某次點(diǎn)數(shù)為1，6為另一次有6種結(jié)果均可取，減1即減去兩次均為1的情形，因?yàn)槎嗨懔艘淮危┗蚍N，故,其他結(jié)果類似可得.(2) 2X-199pi注意，這里X指的是贏錢數(shù)，X取0-1或100-1，顯然.3，所以.4(1) ，(2) 、 、 ；5(1) ，(2) ，(3) .6(1) . (2) .7解：設(shè)射擊的次數(shù)為X，由題意知，其中8=400×0.02.8解：設(shè)X為事件A在5次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，則指示燈發(fā)出信號的概率 ；9. 解：因?yàn)閄服從參數(shù)為5的

18、指數(shù)分布，則，則10. (1)、由歸一性知：，所以.(2)、.11. 解 （1）由F(x)在x=1的連續(xù)性可得，即A=1.（2）.（3）X的概率密度.12. 解 因?yàn)閄服從（0，5）上的均勻分布，所以 若方程有實(shí)根，則，即 ，所以有實(shí)根的概率為 13. 解: (1) 因?yàn)?所以 (2) ，則，經(jīng)查表得，即，得；由概率密度關(guān)于x=3對稱也容易看出。(3) ，則，即，經(jīng)查表知，故，即；14. 解： 所以 ，；由對稱性更容易解出；15. 解 則 上面結(jié)果與無關(guān)，即無論怎樣改變，都不會(huì)改變；16. 解：由X的分布律知px-2-10134101921013所以 Y的分布律是Y0149pY0123pZ的分

19、布律為 17. 解 因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以，則，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，所以Y的概率密度為；18. 解，所以19. 解：，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，20. 解: (1) 因?yàn)樗?2) ，因?yàn)椋?所以（3） 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以 ，因?yàn)?，所以四?yīng)用題1解：設(shè)X為同時(shí)打電話的用戶數(shù)，由題意知設(shè)至少要有k條電話線路才能使用戶再用電話時(shí)能接通的概率為0.99，則，其中查表得k=5.2解：該問題可以看作為10重伯努利試驗(yàn)，每次試驗(yàn)下經(jīng)過5個(gè)小時(shí)后組件不能正常工作這一基本結(jié)果的概率為1-，記X為10塊組件中不能正常工作的個(gè)數(shù)，則， 5小時(shí)后系統(tǒng)不能正常工作，即，其概率為3解：因?yàn)?，所?設(shè)Y表示三次測量中誤差絕對值不超過30米的次數(shù)，則，(1) .(2) .4解： 當(dāng)時(shí)，是不可能事件，知， 當(dāng)時(shí)，Y和X同分布,服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，知， 當(dāng)時(shí)，為必然事件,知，因此，Y的分布函數(shù)為 ；5解：(1) 挑選成功的概率；(2) 設(shè)10隨機(jī)挑選成功的次數(shù)為X，則該，設(shè)10隨機(jī)挑選成功三次的概率為：，以上概率為隨機(jī)挑選下的概率，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于該人成功的概率3/10=0.3，因此，可以斷定他確有區(qū)分能力。（B）1. 解：由概率密度可得分布函數(shù)，即，易知；2. 解： X服從的均勻分布，又則，-11P所以Y的分布律為3. 解：，；4. 證明：因是偶函數(shù)，故，所以.5. 解：隨機(jī)變量X的分布