第二章1信號(hào)與系統(tǒng)-課后答案

1、第二章2.1已知描述系統(tǒng)的微分方程和初始狀態(tài)如下，試求其零輸入相應(yīng)(1) y'(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t), y(0.)=l, y'(0.)=-l解：微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為入2+5入+6=0其特征根為入1=-2,入2=-3,系統(tǒng)的零輸入 響應(yīng)可寫為yzi(t)=Cie-2t+C2e-3t又(O-)=y(0-)=1,，:(")=；(。)=-1則有1="C Cr,-1=-2 -3由以上兩式聯(lián)立，解得'' '1 =2匚=-1即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為(t)=2-：,t-°(2廣微分方程的特征方程為尸- 2/ S計(jì)

2、其特征根 八=一 1 ±八系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可寫為%(£) = Cre + C2e zsin(2f)又"''：1：) ：'(。)=(。)=2，則有/(。.)=% + 2Q=-2以上兩式聯(lián)立，解得6 -("因此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為y<t)= 2e - %us(2t), £之0(3)'：.門-1(3)微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為A2 + 24 + 1 = 0其特征根為，12=-1 ,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可寫為%（£） = '又為（。一 尸次-）=1，（°-）=y（°-）j 則有%（。-

3、）=% = 1 ,%（O_）=.g + g=i以上兩式聯(lián)立，解得% = 1, C2 = 2因此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為匕二（1 + 20t>0,微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為A2 +1 = 0其特征根為“墟二士工系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可寫為yzf（t） = G cost + C2sint又力（0 一尸次一戶 2, %（0 一）=y（o _） = o,則有）=（°）= =0因此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yzi（t） = 2costtt > 0）”川；L/（0.）=-1微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為A3 + 4A2 + 52 + 2 = 0其特征根為乙工=-1，4 =-2,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可寫為：+又r。尸

4、以n 1(,-,-.=>)=vi：d i一。； i則有尸一；(。)="y：(o_) =_ 2g + q + 4c3 =- i以上三式聯(lián)立，解得% = 2, g =- 1 Q = 1因此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為2.2已知描述系統(tǒng)的微分方程和初始態(tài)度如下，試求其 °+值y(°+) 和近。+)輸入“亡)=£(£)，則方程右端不含沖激函數(shù)項(xiàng)，則f(t)及其導(dǎo)數(shù)在t=0 處均不發(fā)生躍變，即>(。+ ) =y(o_) = L 4。十)=y(o.) = 1一f = 5(t)將f(t)二aD代入微分方程，有y)+ 6y© + 8ya)=

5、3;.d由于方程右端含有£'項(xiàng)，則/中含有,，設(shè)爐=aS+ b8+ q其中Q ©不含灰t)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。對(duì)式兩邊從-8到t積分，得y(t) = G6；t)+b <5+七(£)其中 丁2«)= C£«)+T J)(t),而"J)(t)= -8 (T)幅故不含 火。及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。同理，對(duì)式兩邊從-8到t積分，得加“F其中飛(t)= b E+( /不JW)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)將(4式代入。)式，整理得a。1 "山 "：(t)+(8a+6b+c)$ +r1(t) + 6r2(t) + 8r3(t) = 3 (t)

6、比較上式兩端火D及其 各階導(dǎo)數(shù)前的系數(shù)，有a=16a+b=08a+6b+c=0以上三式聯(lián)立，解得a=1,b=-6,c=28對(duì)兩式兩端從。-到。+積分，得y(O + )-/(O,) = c=28=b6則有yr(0 + ) = y(0_) + 28= 29y(° + ) = y(0_) -6=-5-2(3)/("*) + 3y=十 f(£) ,y(0_) = 2,y (。.)二= 5(0將/=5 代入微分方程，有FFVi Py (t) + 4y (t) + 3y(t) = 6 (t) + 6(f)由于方程右端含有 "D項(xiàng),則V,。）中含有£），設(shè)&

7、quot;（t）+c ）口 +口其中q ©不含文。及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。對(duì)式兩端從-8到t積分，得"I M（t）+b*）JW其中/） = ce+ £,）,不含6（。及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。對(duì)式兩端從-8到t積分，得y（t） =。5（0 + 7 3其中7©=b £（t）+?。ǘa(chǎn)?。?不含5（t）及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。將式代入。）中，整理得：一| 二",8''（t）+（3a+4b+c）3'口 + 1H：+ 力 1：）+ * "）J+6比較上式兩端火士）及其導(dǎo)數(shù)前的系數(shù)，有a=1 4a+b=0 3a+4b+c=1以上三式聯(lián)立，解得a=1

8、,b=-4,c=14對(duì)兩斷從。-到。+積分，得y0 + )-y(0_) = c= 14y(0 + ) -= b =- 4則有火。+)= y(0_)-4=-2"以。；I。)=2, f(t)= L ""由 f(t)= e-2%a)求得f (t) =- Ze - 2t<£) -F e- 2t 5(t) =- 2e-2t + 5(t)將上式代入微分方程，得y CO + 4y'(t) + 5y(t) =- 2e'2t + 5(0由于方程右端含火土)項(xiàng)，則V”。)中含火D,設(shè)/«)=說(shuō) 6(£) + 一(七) 其中q

9、69;不含及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。對(duì)式兩端從-8到t積分，得m；，)=H)-其中2©=a£(t) + r( (t)(t),不含穴D及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 將與上式代入 式，整理得a；h)J 山+4，.：山+5%)=-2一 比較上式兩端灰D前系數(shù)，知a=1對(duì)式兩端從。-到° +積分，得：a=1y(O + )-y(O_) = O因此，C，門。.I2.3OR如圖所示RC電路中，已知R=1。，+C=0.5F,電容的初始狀態(tài)”(。+)=%()-1V,試求激勵(lì)電壓源"式')為下列函數(shù)時(shí)1 - 電容電壓的全響應(yīng)"(t)(1)("=i口 (2)解：根據(jù)電路列出微分方

10、程，有duc(t)%(t)十 RCf二 4«)Uv L代入元件參數(shù)值，整理得u；(t) + 2/=2us(t)當(dāng)/=時(shí)，系統(tǒng)的微分方程為uc(t) + 2HM = 2e(t)由于方程右端不含沖激項(xiàng)，故%(。十)二%(。.)二1 微分方程的齊次解為%(。= ge - 2t易求其特解為%（£） = 1/ > 0故微分方程的完全解為%（£）=+ 說(shuō)= Cre2t + lf t>0代入初始值故C1 =-2因此，電路在艮式“=&t）的激勵(lì)作用下的全響應(yīng)為uc（t） =-2e-2£+lt t>0（2）當(dāng)%©=十時(shí)系統(tǒng)的微分方程為%

11、（t） + 2uc（t） = 2e t£（t）由于方程右端不含沖激項(xiàng)，故%（0 十）二%（。.）=-1微分方程的齊次解為“入?。?%e 2£易求其特解為U卬= 22”，t > 0故微分方程的完全解為%= uc/iCO + 卬=Me _ 2t + 2e ", £ 工 0代入初始值“（°十）=T,有C1 + 2=-1,艮|1匚1=-3因此電路在%©二丁,式。時(shí)全響應(yīng)為uc(t) =- 3e2t + 2e t > 0(3)當(dāng)=時(shí)，系統(tǒng)的微分方程為u'(0 + 24 = 2e - %由于方程右端不含沖激項(xiàng)，故%(0 十)=

12、"(0.)=-1微分方程的齊次解為”&) = C產(chǎn)易求其特解為%(£) = 2te2t, t>0故微分方程的完全解為%«)= 4/) + &p(£) = q-2t+ 2te-2tft>0代入初始值/(°十)二一1,有%(0 + ) = C1 = 1因此電路在%©二限2%時(shí)全響應(yīng)為uc(t) =-e-2t + 2te-2tf t>0(4)當(dāng)與=匕時(shí)，系統(tǒng)的微分方程為ue(t) + 2ue(t) = 2 生由于方程右端不含沖激項(xiàng)，故%(° + )=4°.)=一1微分方程的齊次解為=2t易求其特解為ucp(t) = t - 0.5, t > 0故微分方程的完全解為uc(t) = uch(t) + %© = Ge-" + t L 0.5, t 之 0代入初始值(°十)二一1,有+ ) = ci - 0.5 =- 1,即=L 0.5因此電路在虱® =匕«)時(shí)全響應(yīng)為1/匚(&#