矩陣特征值（課堂PPT）

1、.1矩陣的特征值及特征向量一、特征值與特征向量的概念二、特征值與特征向量的性質(zhì)三、特征值與特征向量的求法.2說(shuō)明說(shuō)明., 0. 1言言的的特特征征值值問(wèn)問(wèn)題題是是對(duì)對(duì)方方陣陣而而特特征征向向量量 x .0,0,. 2 的的特特征征值值都都是是矩矩陣陣的的即即滿滿足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齊齊次次線線性性方方程程組組的的特特征征值值階階方方陣陣AEAxEAAn 一、特征值與特征向量的概念., , 1的特征向量的特征向量的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值稱為稱為量量非零向非零向的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣這樣的數(shù)這樣的數(shù)那末那末成立成立使關(guān)系式使關(guān)系式維非零列向量維非零列向量和

2、和如果數(shù)如果數(shù)階矩陣階矩陣是是設(shè)設(shè)定義定義 AxAxAxxnnA .30. 3 EA 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次次方方程程為為未未知知數(shù)數(shù)的的一一元元稱稱以以n 0 EA . 的的為為A特征方程特征方程,次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式的的它是它是n 記記 EAf 稱其稱其. 的的為為方方陣陣A特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式.4 則則有有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設(shè)設(shè),. 4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An .5解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為A 31131)3(2 )2)(4

3、(682 . 4, 221 的的特特征征值值為為所所以以A,00231123,2211 xx對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .6 . 0, 02121xxxx 即即,21xx 解解得得.11 1 p取取為為所所以以對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .11 ,221 pxx取為取為所以對(duì)應(yīng)的特征向量可所以對(duì)應(yīng)的特征向量可解得解得.7例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩陣求矩陣 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為. 1, 2321 的

4、的特特征征值值為為所所以以A由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0)2(,21 xEA .8,0000100010010140132 EA,1001 p 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.2)0(11的的全全部部特特征征值值是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于所所以以 kpk由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA.9,1212 p 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系.1)0(322的全部特征值的全部特征值是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于所以所以 kpk.10例例 設(shè)設(shè),314020112 A求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1

5、321 的特征值為的特征值為得得A.11 由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系的的全全體體特特征征向向量量為為故故對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于11 ).0( 1 kpk.12 由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于 ).0,(323322不不同同時(shí)時(shí)為為kk pkpk .13例例 證明：若證明：若 是矩陣是矩陣A的特征值，的特征值， 是是A的屬于的屬于

6、的特征向量，則的特征向量，則 x .)1(是是任任意意常常數(shù)數(shù)的的特特征征值值是是mAmm .,)2(11的的特特征征值值是是可可逆逆時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) AA 證明證明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征征向向量量的的特特對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故mmmmAxA .14可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可可逆逆時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)A., 1111的的特特征征向向量量對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA.15.,., 121212121線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)

7、則則各各不不相相等等如如果果向向量量依依次次是是與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征個(gè)個(gè)特特征征值值的的是是方方陣陣設(shè)設(shè)定定理理mmmmppppppmA 證明證明使使設(shè)設(shè)有有常常數(shù)數(shù)mxxx,21. 02211 mmpxpxpx則則 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 類推之，有類推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk二、特征值和特征向量的性質(zhì).16把上列各式合寫成矩陣形式，得把上列各式合寫成矩陣形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆從從而而該該矩矩陣陣

8、該該行行列列式式不不等等于于不不相相等等時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)各各式式列列陣陣的的行行列列式式為為范范德德蒙蒙行行上上式式等等號(hào)號(hào)左左端端第第二二個(gè)個(gè)矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)所以向量組所以向量組mppp.17注意注意.屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的的.屬于同一特征值的特征向量的非零線性屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量.矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征矩陣

9、的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值.18 即即有有的的特特征征向向量量的的的的屬屬于于特特征征值值同同時(shí)時(shí)是是如如果果設(shè)設(shè)因因?yàn)闉?2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由由于于, 0 x則則.與定義矛盾與定義矛盾.19例例5 5 設(shè)設(shè)A是是 階方陣，其特征多項(xiàng)式為階方陣，其特征多項(xiàng)式為n 0111aaaAEfnnnA .的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式求求AT解解 AEfTAT 0111aaannn TAE AE 三、特征

10、值與特征向量的求法.20求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟： ;det . 1EAA 的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式計(jì)計(jì)算算 ;,0det . 2 21的的全全部部特特征征值值就就是是的的全全部部根根求求特特征征方方程程AEAn .,0 , . 3 的的特特征征向向量量就就是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于的的非非零零解解求求齊齊次次方方程程組組對(duì)對(duì)于于特特征征值值iiixEA 四、小結(jié).21 ., 0det,2, 0A3Edet :4 的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值求求滿足條件滿足條件階方陣階方陣設(shè)設(shè) AAEAAAT思考題.22思考題解答知知由由可可逆逆故故因因?yàn)闉?)3det( ., 0det

11、EAAA解解,3的的一一個(gè)個(gè)特特征征值值是是A .31 1值值的一個(gè)特征的一個(gè)特征是是從而從而A 即即得得又由又由,16)2det()det( 2 EAAEAATT, 4det, 0det, 4det,16)(det2 AAAA因此因此但但于是于是.34有有一一個(gè)個(gè)特特征征值值為為故故A .235、3 相似矩陣一、相似矩陣與相似變換的概念一、相似矩陣與相似變換的概念二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)三、利用相似變換將方陣對(duì)角化三、利用相似變換將方陣對(duì)角化.24一、相似矩陣與相似變換的概念.,., , 111的相似變換矩陣的相似變換矩陣變成變成稱為把稱為把可逆矩陣可逆矩陣進(jìn)

12、行相似變換進(jìn)行相似變換稱為對(duì)稱為對(duì)行運(yùn)算行運(yùn)算進(jìn)進(jìn)對(duì)對(duì)相似相似與與或說(shuō)矩陣或說(shuō)矩陣的相似矩陣的相似矩陣是是則稱則稱使使若有可逆矩陣若有可逆矩陣階矩陣階矩陣都是都是設(shè)設(shè)定義定義BAPAAPPABAABBAPPPnBA .251. 等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系 . 22111211PAPPAPPAAP ., . 3為為正正整整數(shù)數(shù)相相似似與與則則相相似似與與若若mBABAmm二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì).本身相似本身相似與與AA.,相似相似與與則則相似相似與與若若ABBA.,相相似似與與則則相相似似與與相相似似與與若若CACBBA反身性反身性)1()2(對(duì)稱性對(duì)稱性傳遞性傳遞性)3(.26證明證明相似相似與與

13、BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA PAPkPAPkPAkAkP21211122111. 4 .,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkBAPPP 1,使使得得可可逆逆陣陣., 1的特征值亦相同的特征值亦相同與與從而從而式相同式相同的特征多項(xiàng)的特征多項(xiàng)與與則則相似相似與與階矩陣階矩陣若若定理定理BABABAn.27推論推論 若若 階方陣階方陣A A與對(duì)角陣與對(duì)角陣n n 21.,21個(gè)個(gè)特特征征值值的的即即是是則則相相似似nAn .28利用對(duì)角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式利用對(duì)角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式,1PPBA 若若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110 Ak的的

14、多多項(xiàng)項(xiàng)式式AEaAaAaAaAnnnn 1110)( .)(1PBP .1PBPk 則則PEaBaBaBaPnnnn11110)( PPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k個(gè)個(gè).29,1為為對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣使使若若可可逆逆矩矩陣陣特特別別地地 APPP, 1PPAkk 則則.)()(1PPA 有有對(duì)于對(duì)角矩陣對(duì)于對(duì)角矩陣, ,21 knkkk,)()()()(111 利用上利用上述結(jié)論可以述結(jié)論可以很方便地計(jì)很方便地計(jì)算矩陣算矩陣A 的的多項(xiàng)式多項(xiàng)式 .)(A .30.)(,)(OAfAf 則則的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式是是矩矩陣陣設(shè)設(shè) 定理定理證明證明.與對(duì)角矩陣相似的情形與對(duì)角矩陣相似的

15、情形只證明只證明A使使則則有有可可逆逆矩矩陣陣與與對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣相相似似若若,PA),(11 ndiagAPP . 0)(, iifA的的特特征征值值為為其其中中有有由由,1PPA )(Af.1OPPO PPf1)( PffPn11)()( .31., 1對(duì)對(duì)角角化化這這就就稱稱為為把把方方陣陣為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使若若可可找找到到可可逆逆矩矩陣陣階階方方陣陣對(duì)對(duì)AAPPPAn 證明證明,1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使假假設(shè)設(shè)存存在在可可逆逆陣陣 APPP .,21npppPP 用用其其列列向向量量表表示示為為把把三、利用相似變換將方陣對(duì)角化.)( 2個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有的的充

16、充分分必必要要條條件件是是能能對(duì)對(duì)角角化化即即與與對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣相相似似階階矩矩陣陣定定理理nAAAn.32 nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于于是是有有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由.33., 的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可見見iiiApPA .,21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命題得證命題得證., PAPPnnnA使使陣陣個(gè)個(gè)特特征征向向量量即即可可構(gòu)構(gòu)成成矩矩這這個(gè)個(gè)特特

17、征征向向量量得得并并可可對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)地地求求個(gè)個(gè)特特征征值值恰恰好好有有由由于于反反之之.34說(shuō)明說(shuō)明 如果如果 階矩陣階矩陣 的的 個(gè)特征值互不相等，個(gè)特征值互不相等，則則 與對(duì)角陣相似與對(duì)角陣相似推論推論nAAn如果如果 的特征方程有重根，此時(shí)不一定有的特征方程有重根，此時(shí)不一定有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能不一定能對(duì)角化，但如果能找到對(duì)角化，但如果能找到 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量， 還是能對(duì)角化還是能對(duì)角化AAnnA.35例例1 1 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？ 242422221)1(A 2013

18、35212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得.36 得得方方程程組組代代入入將將, 02121 EA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.110,10221 .37 , 0, 73 xEA 由由對(duì)對(duì)求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由由于于.,321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)所所以以 .,3 化化可可對(duì)對(duì)角角因因而而個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有即即AA,同理同理.38 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值

19、為的特征值為所以所以A , 01 xEA 代代入入把把解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化為對(duì)角矩陣不能化為對(duì)角矩陣.A.39 163053064A設(shè)設(shè)A能否對(duì)角化？若能對(duì)角能否對(duì)角化？若能對(duì)角,P則則求求出出可可逆逆矩矩陣陣化化例例2 2.1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的的全全部部特特征征值值為為所所以以A.40 得得方方程程組組代代入入將將0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,0121 .1002 .41 解解系系得得方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)代代

20、入入將將, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP則則有有所以所以 可對(duì)角化可對(duì)角化.A.42注意注意 , ,213 P若若令令111 012 100. 1 APP則則有有00 00002 11即矩陣即矩陣 的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)要相互對(duì)應(yīng)P.43);det()det(,)1(BABA 則則相相似似與與;,)2( 11相相似似與與且且也也可可逆逆則則可可逆逆且且相相似似與與若若 BABABA;,)3( 為為常常數(shù)數(shù)相相似似與與則則相相似似與與kkBkABA.)()(,)(,)4( 相相似似與與則則是是一一多多項(xiàng)項(xiàng)式式而而相相似似與與若若BfAfxfBA四、小結(jié)相似矩陣相似矩陣 相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好