二元一次方程組的圖象解法（課例）

1、.二元一次方程組的圖象解法課例素質(zhì)教育提出以學(xué)生為主體，老師為主導(dǎo)，教材為主線，在教學(xué)中要真正表達學(xué)生的主體性，就必須使認知過程是一個再創(chuàng)造的過程，使學(xué)生在自覺、主動、深層次的參與過程中，實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)、理解、創(chuàng)造與應(yīng)用，在學(xué)習(xí)中學(xué)會學(xué)習(xí)。相比較傳統(tǒng)教學(xué)，創(chuàng)設(shè)問題情境，使學(xué)消費生明顯的意識傾向和情感共鳴，是主體參與的條件和關(guān)鍵。變式教學(xué)，是實現(xiàn)減負增效、培優(yōu)提差的有效教學(xué)手段?！窘虒W(xué)目的】知識目的：使學(xué)生初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系。能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。才能目的：通過學(xué)生的考慮和操作,力圖提示出方程與圖象之間的關(guān)系,引入二元一次方程組圖象解法,同時培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)形

2、結(jié)合的意識和才能。情感目的：通過學(xué)生的自主探究,提示出方程和圖象之間的對應(yīng)關(guān)系,加強新舊知識的聯(lián)絡(luò),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。重點要求：1、二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系。2、能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。難點打破：經(jīng)歷觀察、考慮、操作、探究、交流等數(shù)學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維才能，并體會方程和函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合思想。【教學(xué)過程】一、學(xué)前先思師：請同學(xué)們考慮，我們已經(jīng)學(xué)過的二元一次方程組的解法有哪些?生：代入消元法、加減消元法。師：請你猜測還有其他的解法嗎?生：小聲議論，有人提出圖象解法師：看來的同學(xué)似乎已經(jīng)提早做了預(yù)習(xí)工作，很好!那么對于課題二元一次

3、方程組的圖象解法，你想提什么問題?生：二元一次方程組怎么會有圖象?它的圖象應(yīng)該怎樣畫?生：二元一次方程組的圖象解法怎么做?師：同學(xué)們都問得很好!那你有喜歡的二元一次方程組嗎?生：比較害羞師：看來大家比較害羞，那么請大家把各自喜歡的二元一次方程組留在心里。讓我們帶著同學(xué)們提出的問題從二元一次方程開場今天的學(xué)習(xí)。二、探究導(dǎo)學(xué)題目：判斷上面幾組解中哪些是二元一次方程 的解?生： 和 不是，其余各組均是方程 的解。師：請在學(xué)案上的直角坐標系中先畫出一次函數(shù) 的圖象，再標出以上述的方程的解中 為橫坐標， 為縱坐標的點，考慮：二元一次方程 的解與一次函數(shù) 圖象上的點有什么關(guān)系?生：我發(fā)現(xiàn)二元一次方程的解就

4、是相對應(yīng)的一次函數(shù)圖象上的點的坐標。師：很好!反過來，請問：一次函數(shù)圖象上的點的坐標是否是與其相對應(yīng)的二元一次方程的解呢?生：是的。并且二元一次方程的解中的 、 的值就是相對應(yīng)的一次函數(shù)圖象上點的橫、縱坐標的值。三、穩(wěn)固根底師：非常好!那下面的題目你會解嗎?學(xué)生讀題題目：方程 有一個解是 ，那么一次函數(shù) 的圖象上必有一個點的坐標為_.生：2，1學(xué)生讀題題目：一次函數(shù) 的圖象上有一個點的坐標為3，2，那么方程 必有一個解是_.生：師：你能把下面的二元一次方程轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的一次函數(shù)嗎?學(xué)生讀題把以下二元一次方程轉(zhuǎn)化成 的形式：1 2生：第1題利用移項，得到 ，所以第2題利用移項，得到 ，兩邊同時除以

5、2，所以四、感悟提升師：假如將 和 組成二元一次方程組，你能用代入消元法或者加減消元法求出它的解嗎?生：能，我算出師：很好!你能在同一直角坐標系中畫出一次函數(shù) 與 的圖象嗎?生：可以。動手在學(xué)案上畫圖師：觀察兩條直線的位置關(guān)系，你有什么發(fā)現(xiàn)?生：我發(fā)現(xiàn)這兩條直線相交，并且交點坐標是2，1。師：通過以上活動，你能得到什么結(jié)論?生：我發(fā)現(xiàn)剛剛求出的二元一次方程 的解 剛好就是一次函數(shù) 與 的圖象的交點坐標2，1。師：很好!你能抽象成一般的結(jié)論嗎?生：假如兩個一次函數(shù)的圖象有一個交點，那么交點的坐標就是相應(yīng)的二元一次方程組的解。師：非常好!用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組的方法就是我們今天要學(xué)習(xí)的二

6、元一次方程組的圖象解法。師：你能學(xué)以致用嗎?y=2x-5y=-x+1題目：如圖，方程組 的解是_.生：根據(jù)圖象可知：一次函數(shù) 與 的圖象的交點是2，-1，因此，方程組 的解是 。師：答復(fù)得真棒!五、例題教學(xué)例題：利用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組 。師：請大家在學(xué)案的做中感悟欄內(nèi)上大膽地寫出解題過程。生：投影展示解題過程略。師：很好!讓我們一起來看一下老師準備的解題過程略師：你能就此歸納出二元一次方程組的圖象解法的一般步驟嗎?生：先將二元一次方程組中的方程化成相應(yīng)的一次函數(shù)，然后畫出一次函數(shù)的圖象，找出它們的交點坐標，就可以得出二元一次方程組的解。師：非常好!我們可以用12個字的口訣來記住剛剛

7、同學(xué)的步驟：變函數(shù)，畫圖象，找交點，寫結(jié)論。師：接下來請同學(xué)們在學(xué)案上的穩(wěn)固強化欄內(nèi)利用圖象解法求出你心里埋你所喜歡的二元一次方程組的解。生：各自動手操作，老師展示學(xué)生求解過程師：觀察你作的圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?生：我發(fā)現(xiàn)有些一次函數(shù)圖象的交點比較容易看出來，而有些一次函數(shù)圖象的交點不容易看出來是多少。師：是的，所以在這里老師需要說明的是我們用圖象法求解一元二次方程組的解得到的是近似解。師：請大家比較一下，二元一次方程組的圖象解法和我們以前學(xué)過的代數(shù)解法代入消元法、加減消元法相比，那種方法簡單一些?生：代入消元法、加減消元法簡單。師：二元一次方程組的圖象解法既不比代數(shù)解法簡單，且得到的解又是近

8、似的，為什么我們還要學(xué)習(xí)這種解法呢?原因有以下幾個方面：一是要讓我們學(xué)會從多種角度考慮問題，用多種方法解決問題;二是說明了數(shù)與形存在著這樣或那樣的親密聯(lián)絡(luò)，有時我們要從數(shù)的角度去考慮形的問題，有時我們又要從形的角度去考慮數(shù)的問題，這里是從形的角度來考慮數(shù)的問題;三是為了以后進一步學(xué)習(xí)的需要。師：看來大家都很愛動腦筋，那么接下來我們將例題加以變化。六、例題變式題目：用圖象法求解二元一次方程組 時，兩條直線相交于點2，-4，求一次函數(shù) 的關(guān)系式。師：請一位同學(xué)來分析一下。生：由兩條直線的交點坐標2，-4可知，二元一次方程組 的解就是 ，把 代入到二元一次方程組 中，可得： ，解得 ，所以一次函數(shù)的

9、關(guān)系式為 。師：非常好!七、感悟歸納師：再請同學(xué)們考慮，假如二元一次方程組轉(zhuǎn)化成的一次函數(shù)的圖象沒有交點，那么所對應(yīng)的二元一次方程組的解是什么呢?生：我想假如二元一次方程組轉(zhuǎn)化成的一次函數(shù)的圖象沒有交點，那么所對應(yīng)的二元一次方程組應(yīng)該無解。八、拓寬提升題目：不畫函數(shù)的圖象，判斷以下兩條直線是否有交點?它們的位置關(guān)系如何?每組一次函數(shù)中的 有什么關(guān)系?1 與 ;2 與師：你會怎樣分析這道題?生：我們只要求解一下由這兩個一次函數(shù)所組成的二元一次方程組的解的情況就可以判斷兩條直線的位置關(guān)系。假如方程組有解，那么相應(yīng)的兩條直線就是相交，假如方程組無解，那么相應(yīng)的兩條直線就是平行的位置關(guān)系。師：很好!抽

10、象成一般結(jié)論怎樣表達?生：對于直線 與 ，當 時，兩直線平行;當 時，兩直線相交。九、例題再探題目：利用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組問：1這兩條直線有什么特殊的位置關(guān)系?2這兩個一次函數(shù)的 有何特殊的關(guān)系?3由此，你能得出怎樣的結(jié)論?師：哪位同學(xué)來嘗試一下?生：1這兩條直線是垂直的位置關(guān)系;2這兩個一次函數(shù)的 相乘的結(jié)果等于-1;3仿照剛剛的結(jié)論，我得出的結(jié)論是：對于直線 與 ，當 時，兩直線垂直。師：太棒了!那下面的這一題你會做嗎?題目：直線 和直線1 假設(shè) ，求 的值;2 假設(shè) ，求垂足的坐標。師：誰來試一下?生：由前面的結(jié)論我們可以得出，假如 ，那么 ，解得： ;假如 ，那么 ，解得

11、，將 代入二元一次方程組 ，可得 ，求出方程組的解就可以得出垂足的坐標。十、學(xué)會創(chuàng)新師：請你根據(jù)這節(jié)課中的例題或習(xí)題在學(xué)案中編或出一道題?？凑l出的題新穎、精妙!生：暢所欲言，踴躍嘗試十一、小結(jié)與考慮師：1這節(jié)課你學(xué)到了什么?2你還存在哪些疑問?生：分組討論，代表發(fā)言總結(jié)【設(shè)計說明】本節(jié)課的兩個知識點：二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系，二元一次方程組的圖象解法對于學(xué)生來說都是難點。就本節(jié)課而言，前者較為重要，后者難度較大。確定本節(jié)課的重點為前者，是因為學(xué)生必須首先理解二元一次方程和一次函數(shù)在數(shù)與形兩方面的聯(lián)絡(luò)，在此根底上才能解決好后面的難點。在重難點的處理上，為理解決學(xué)生對重點的理解，用一組二元一次

12、方程組串起一節(jié)課，加以變式，既使得學(xué)生理解了重點內(nèi)容，又為后面的難點打破留下了一定的時間和空間。本節(jié)課的教學(xué)，主要以問題為線索，注重引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察、獨立考慮、認真操作、分組討論、合作交流、師生互動，這對本節(jié)課的重難點的打破還是有效的，同時也表達了新課改提倡的學(xué)生的自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式的培養(yǎng)。另外，對利用二元一次方程組的解判斷直線的位置關(guān)系作為補充，浸透數(shù)形結(jié)合思想，也對教學(xué)目的中的情感態(tài)度和價值觀的又一方面表達?！窘虒W(xué)反思】這節(jié)課以回憶、先思為先導(dǎo)，以操作、考慮為手段，以數(shù)、形結(jié)合為要求，以引導(dǎo)探究，變式拓寬為主線，從舊知引入，自然過渡、不落痕跡。首先提出學(xué)生所熟知的二元一次方程并討論

13、其解的情況，為后面探究二元一次方程與一次函數(shù)之間的關(guān)系作了必要的準備，構(gòu)造安排自然、緊湊。在操作中，提出問題、深化認識。一切知識來自于理論。只有理論，才能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題;只有理論，才能把握知識、深化認識。先讓學(xué)生畫出一次函數(shù)的圖象，在畫圖的過程中發(fā)現(xiàn)：以二元一次方程的解為坐標的點都在相應(yīng)的函數(shù)圖象上。在應(yīng)用結(jié)論探究一元二次方程組的圖象解法時，也是在操作中來發(fā)現(xiàn)問題。這樣，就給了學(xué)生充分體驗、自主探究知識的時機;使他們在自主探究、合作交流中找到了快樂，深化了認識。以才能培養(yǎng)為核心，引導(dǎo)探究為主線，數(shù)、形結(jié)合為要求。才能培養(yǎng)，特別是創(chuàng)新才能的培養(yǎng)是新課程關(guān)注的焦點。才能培養(yǎng)是以自主探究為平臺。

14、自主不是一盤散沙，探究不是漫無邊際。要進步探究的質(zhì)量和效益必須在老師的引導(dǎo)下進展。為到達這一目的，教案中設(shè)計了探究導(dǎo)學(xué)、例題變式、例題再探、學(xué)會創(chuàng)新和拓展提升。新課程理念指出：老師是課程的研究者和開發(fā)者。這就要求我們：在新課程標準的指導(dǎo)下，認真研究教材，體會教材的編寫意圖。在此根底上，設(shè)計出既表達課程精神，又合適本班學(xué)生實際的教學(xué)案例。本節(jié)課前半部分時間有些慢，后半部分例題再探和學(xué)會創(chuàng)新時間不夠。建議有針對性的學(xué)生板演多一點，進一步加強雙基的落實。【同伴點評】本節(jié)課老師創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、考慮、操作、探究、合作交流。問題的設(shè)計層層遞進，通過問題的逐一解決，師生最終形成共識，到達了提醒二

15、元一次方程組與一次函數(shù)的圖象關(guān)系的目的。李曉紅在例題教學(xué)及學(xué)生動手嘗試時，老師在學(xué)生大膽嘗試之后給出解題過程，強調(diào)理解題的標準性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的嚴謹認真的學(xué)習(xí)態(tài)度。同時強調(diào)了由于二元一次方程組的圖象解法得到的解往往是近似的，因此必須檢驗。老師對學(xué)習(xí)二元一次方程組的圖象解法的必要性的解釋，是非常有必要的，這一解釋解決了學(xué)生的疑惑，同時也浸透了數(shù)形結(jié)合思想，也是教學(xué)目的中的情感態(tài)度和價值觀的表達。對于這一解釋，相當一部分老師在這一節(jié)課中并沒有很好解決。這一處理方法值得別人借鑒。丁葉謙其實,任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進軍?

16、尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠遠不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。其實,任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠遠不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到