淺析換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、 學(xué)科代碼：070101 學(xué) 號(hào)：092014020082貴 州 師 范 大 學(xué) 求 是 學(xué) 院（本 科）畢 業(yè) 論 文題 目：淺析換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用Analysed in application translated Into element method in mathematical problem solving學(xué) 院： 求是學(xué)院專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)： 2009級(jí)2班姓 名： 周世維 指導(dǎo)老師：馮金華（講師） 完成時(shí)間：2013年4月淺析換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用周世維摘要：換元法是數(shù)學(xué)解題中常用的重要方法之一。在有些數(shù)學(xué)問題中，由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上的隱蔽，

2、它們之間實(shí)質(zhì)性的邏輯聯(lián)系不易從表面形式上發(fā)現(xiàn)，即使看出它們之間的聯(lián)系，也由于表面形式的復(fù)雜而不易直接求解。但當(dāng)我們進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把問題的條件和結(jié)論作形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問題化難為易，化繁為簡。掌握了代換思想，不但可以比較順利地解決一些較難的題目，還可以用多種方法解答同一個(gè)問題，提高我們的思維。關(guān)鍵詞: 換元法 ；數(shù)學(xué)問題 ； 變量代換 ；代換思想Abstract： Change element method is one of important methods in mathematical problem solving. Some math prob

3、lems, due to the condition and conclusion of the variable relationship in form of concealment, substantial logic connection between them is not easy to found from the surface form, even if see connections between them, also due to the surface in the form of a complex and difficult to solve directly.

4、 Proper variable substitution, but when we put the question of the transformation in the form of the condition and conclusion, this would be easy to reveal the inner link between them, the problem is changed to easy, change numerous for brief. Mastered the substitution of ideas, not only can solve s

5、ome of the more difficult topics more smoothly, also can be used with a variety of methods to solve problems one by one, to improve our thinking.Key words: change element method ; mathematical problem; variable substitution ;substitution thought 換元法是數(shù)學(xué)的重要解題方法之一, 在解決代數(shù)式計(jì)算、解方程、三角函數(shù)、函數(shù)兩個(gè)重要極限、求函數(shù)和微分、積分等

6、題中起著重要的轉(zhuǎn)化作用。當(dāng)我們用一個(gè)新的字母代換題目中的一個(gè)“整體” 時(shí), 可使原來題目隱藏的關(guān)系明朗化, 給人以“柳暗花明” 、化繁為簡的感覺, 使問題迎刃而解。實(shí)施換元法的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x擇新的變?cè)媾f的變?cè)?同時(shí)要注意未知數(shù)允許值范圍的變化, 即新變?cè)娜≈捣秶c舊變?cè)娜≈捣秶膬?nèi)在聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。1. 換元法及其相關(guān)的定義1.1換元法的一些基本概念和關(guān)鍵如果用新的未知量或變量替換原來的未知量或變量, 求出新的未知量或變量 ,利用替換關(guān)系式求出原來的未知量或變量的方法,叫做輔助元素法, 簡稱換元法，其中新的未知量叫做輔助元素, 簡稱輔助元1!利用換元法的關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)剡x擇“新元”，引進(jìn)

7、適當(dāng)?shù)拇鷵Q，找到較容易的解題思路，能使問題簡化。使用換元法時(shí)要注意“新元”的范圍，“新元”所受的限制條件還要注意根據(jù)題設(shè)條件驗(yàn)證結(jié)果。1.2換元法的基本思想和步驟即把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。 設(shè)元（或構(gòu)造元） 求解 回代 檢驗(yàn) 轉(zhuǎn)化 等量 等價(jià)原則2. 換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用2.1 換元法在代數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用例1計(jì)算解：設(shè),兩邊立方得得 ,(,又 無實(shí)根，解得：原式2.2換元法在解方程中的應(yīng)用在解方程組過程中通過恰當(dāng)?shù)膿Q元，將高次方程化為低次方程，復(fù)雜方程化為簡單方程2，也將分式方程化為整式方程，無理方程化為有理方程，借此換元思想將大大

8、降低解方程的難度。例2解方程-解：設(shè)兩式相乘得：-+,解得： 兩式相加得：,解得：，易得：,在構(gòu)成方程組的方程里，有關(guān)未知數(shù)的代數(shù)式呈對(duì)稱性，換元法可借此特點(diǎn)使方程組簡單化，便于求出方程組的解。例3.解方程組 ；分析：這是一個(gè)對(duì)稱方程，解對(duì)稱方程一般令 進(jìn)行代換較為簡捷；解：原方程組變形為 令 ，則得到 ；解得： 或 ；2.3換元法在三角函數(shù)中的應(yīng)用選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)式作為輔助未知數(shù)。對(duì)于有形如：,+,或等的問題時(shí)采用正弦和余弦；形如：和的問題時(shí)采用正切、余切，且根據(jù)特設(shè)確定角的范圍。例4：已知函數(shù)·，求函數(shù)最大值和最小值。解：令，則可得,由得· 原函數(shù)為, ,又在上單調(diào)遞

9、增,2.4換元法在函數(shù)兩個(gè)重要極限中的應(yīng)用換元法在函數(shù)兩個(gè)重要極限中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，此處主要列舉其在求兩個(gè)重要極限和中的例子2。例5：求解： 令,則且時(shí)所以 例6: 求解： 設(shè),則當(dāng)時(shí),于是2.5換元法在求函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分中的應(yīng)用換元法思想廣泛應(yīng)用在函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分計(jì)算中，它是計(jì)算某一類函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分的主要方法。例7：求的導(dǎo)數(shù)解： 令, 換元后即可直接使用反正切的導(dǎo)數(shù)公式，有 , 將,代入得：例8：求的微分6解： 令,得=d,分別代入, 2.6 換元法在積分計(jì)算中的應(yīng)用換元法是計(jì)算函數(shù)積分的重要方法之一，也是函數(shù)積分計(jì)算的難點(diǎn)，換元法在計(jì)算函數(shù)積分應(yīng)用方法主要可分為以下幾類：2.6.1 不定積分的

10、第一換元積分法（湊微分法）例9：求解：令可解注：定理1：若已知dx=F,則有dx=F,其中可微。2.6.2 不定積分的第二換元積分法例10： 求解： 令，則， 。注：定理2：設(shè)()是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)并且。又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式=,其中是的反函數(shù)。2.6.3 定積分的換元積分法例11 求解：令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 又當(dāng)時(shí)，有=，且變換函數(shù)在單值,在上連續(xù)，由換元公式有：=注：定理3：若1.函數(shù)在上連續(xù)；2.函數(shù)=()在區(qū)間上單值且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；3.當(dāng) 在上變化時(shí)，=()的值在上變化，且()， ()，則有 以上借助換元法解決了數(shù)學(xué)中用一般方法難解決的問題，可見換元法應(yīng)用的廣泛性、普遍性，以及熟

11、練掌握換元法的重要性。恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用換元法，可化繁為簡、化難為易、化生為熟，把待研究的問題轉(zhuǎn)化為已研究并已解決的問題，為解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供了重要的解題工具。3. 換元法在應(yīng)用中的常見錯(cuò)誤分析3.1 將復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)混為一談例12. 研究函數(shù)的單調(diào)性。錯(cuò)解： 令,則 在上是減函數(shù)且。 為增函數(shù)。分析：的自變量為換元后誤將復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性認(rèn)為原函數(shù)的單調(diào)性。正確解：令，則 在上是減函數(shù)且 是增函數(shù) 是減函數(shù)，若 為減函數(shù)。3.2 改變了自變量的取值范圍例13. 若，試求的取值范圍。錯(cuò)解：令，則，所以且。從而，又，且，所以，所以的取值范圍是。分析：事實(shí)上，我們知道當(dāng)時(shí)，。那么錯(cuò)誤的原因?yàn)楹文?？由?/p>

12、得，這隱含了，這實(shí)際上是加強(qiáng)了條件，造成了非等價(jià)轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致的范圍縮小。正確解：令，則原式為，所以 ，從而。 的取值范圍是。3.3 代換式選擇不恰當(dāng)例14. 設(shè)，求的最值。錯(cuò)解：因?yàn)?，所以令，則，兩邊平方得：，所以，從而；于是的最大值是1，最小值是。分析：事實(shí)上，由已知得，變換式一方面使其原函數(shù)的定義域擴(kuò)大，另一方面將兩個(gè)變換式的自變量混淆，誤將的關(guān)系條件增加條件。正確解：因?yàn)?，又，所以，從而?設(shè)；于是有即；又 ，即； ；又 ，所以當(dāng)，即時(shí)是的最小值為1；當(dāng) 即時(shí)是的最大值為。所以適當(dāng)?shù)剡x擇“新元”，引進(jìn)適當(dāng)?shù)拇鷵Q，找到較容易的解題思路，能使問題簡化。3.4 代換后沒有正確的確定中間變量的

13、取值范圍例15.，求的最小值。7錯(cuò)解：令，因?yàn)?，所以。，；或?dāng)時(shí)，所以即，此方程無解。所以沒有最小值。分析：上面代換錯(cuò)誤地確定了中間變量的取值范圍。由于，。正確解：令，即，即。解之得； 無解，則由解得，所以。3.5 不能用換元法解的問題凡與變量的變化方式有關(guān)的問題一般不能用換元法解。例如：判斷函數(shù)在的單調(diào)性和奇偶性，不難得出此函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且為偶函數(shù)。若盲目使用換元法，令，則在上是增函數(shù)，且為非奇非偶函數(shù)，得出與原函數(shù)不同的性質(zhì)。所以，在討論單調(diào)性、奇偶性時(shí)一般不能用換元法。 又如：函數(shù)的最小正周期為，若令，得的最小正周期為。所以，判斷函數(shù)的周期性也不能用換元法。由以上不難看出：在討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性時(shí)一般不能令換元后討論。4. 總結(jié)：在數(shù)學(xué)中,換元法有著極其重要的作用。學(xué)會(huì)運(yùn)用換元法,不但可以溝通數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間的聯(lián)系,還可以擴(kuò)大視野,培養(yǎng)我們的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于一些較難的題目,我們還應(yīng)當(dāng)通過認(rèn)真觀察問題的結(jié)構(gòu)特征 ,深入分析問題的隱含條件 ,采用類比、聯(lián)想猜測(cè)等手段進(jìn)行適當(dāng)?shù)膿Q元 ,并綜合運(yùn)用各方面的知識(shí)給予解決。但在運(yùn)用時(shí)也要注意題目中的一些條件，不能與換元后的條件混淆?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1柳重堪.高等數(shù)學(xué)M.北京:中央廣播電視大學(xué)出版社，2003.2何青.解方程中的換元法.科技信