函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別 姓名： 學(xué)號(hào)： 指導(dǎo)老師：摘要：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問題是數(shù)學(xué)分析中極其重要的部分，判別其一致收斂的方法有多種。本文探討了對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法,并對(duì)有關(guān)的注意事項(xiàng)進(jìn)行了分析。關(guān)鍵字：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 一致收斂 判別法Judgment on Uniform Convergence for Function SeriesName: Student Number: Advisor:Abstract: Issue of function series plays a very important role in Mathematical A

2、nalysis.There are various methods to judging the uniform convergence of function series .This paper gives several methods of juding the uniform convergence of function series. Apart from that, the paper also analysizes some relative points that need to be paid special attention. Key words: Function

3、series Uniformly convergence Judgment 在數(shù)學(xué)分析中級(jí)數(shù)問題是一個(gè)特別重要的問題。級(jí)數(shù)內(nèi)容主要分為兩大塊，即數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)通常被認(rèn)為是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)典型例子，而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，在某種意義上，是對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的延伸。在研究?jī)?nèi)容和性質(zhì)上，它們又有著許多類似的地方，例如使用第個(gè)部分和數(shù)列的斂散性來判斷級(jí)數(shù)的斂散性，以及判別收斂性的方法等。對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，研究它的性質(zhì)和一致收斂的判別則是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，并且它還是研究級(jí)數(shù)問題最重要的工具，對(duì)進(jìn)一步研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)起著重要的作用。教材中，下面給出一種最基本的方法，即根據(jù)一致收斂的定義來進(jìn)行判別。一 利用一致收

4、斂的定義定義11： 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上和函數(shù)為，稱-為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng).定義21： 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上收斂于和函數(shù)，若任給有，則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂或一致收斂于和函數(shù).例1 證明：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在(其中)一致收斂。證 因?yàn)?有=,要使不等式=成立，從不等式 解得 取 N=于是 N=有 即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂。以上的方法判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，都必須要給出和函數(shù)，如果在題目中沒有給出或者很難計(jì)算出和函數(shù)，那么怎樣才能判別它的一致收斂性，這時(shí)可以使用余項(xiàng)法來進(jìn)行判斷。二 利用余項(xiàng)的一致收斂性定理1 2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂于的充要條件是： .例2 證明：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在內(nèi)一致收斂.證 設(shè)

5、函數(shù)，則，可見,當(dāng)充分大時(shí)，級(jí)數(shù)通項(xiàng)的絕對(duì)值趨于0，（當(dāng)），故該級(jí)數(shù)為L(zhǎng)eibniz級(jí)數(shù)，因而 （當(dāng)）所以函數(shù)級(jí)數(shù)在內(nèi)一致收斂.注意 如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)或余項(xiàng)易于求得，判別它的一致收斂性可應(yīng)用上述的定義2或定理1. 有時(shí)雖然知道函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上收斂，但很難求得它的和函數(shù)或余項(xiàng)，這時(shí)候，如果要想判別此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上的斂散性，可以通過分析級(jí)數(shù)本身的結(jié)構(gòu)和組合特點(diǎn)，并對(duì)相關(guān)的判別法進(jìn)行比較，選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒?，下面給出Cauchy判別法。三 利用Cauchy準(zhǔn)則判別定理23 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂的充要條件為：對(duì)任意給定的存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切和任意的，都有: .或例3 證明：函數(shù)

6、項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂證 .即 要使不等式=成立.從不等式 解得 取 N=，于是，N=，有 ,即級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂。通過上文的幾個(gè)例題，我們可以看出，判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的方法有很多，這就要求大家在平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，要學(xué)會(huì)善于總結(jié)。在做題目的過程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有這樣一類級(jí)數(shù)，它們可以通過各項(xiàng)的特點(diǎn)來判別，比如對(duì)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)放大，這樣就會(huì)顯得更加簡(jiǎn)便，下面給出利用weierstrass判別法。四 利用weierstrass判別法定理3 4 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在數(shù)集上，為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，每一項(xiàng)滿足 ，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂.例4 證明：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在閉區(qū)間上一致收斂.證 對(duì)通項(xiàng)求導(dǎo)，

7、令得出全部極值可疑點(diǎn)，1，,因?yàn)樗?，為在上的最大值，因此?又收斂，故由M判別法知，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.注意 定理3是一種很簡(jiǎn)便而又有技巧性的判別法，但是這個(gè)方法有很大的局限性，即用它判別的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不僅一致收斂，而且還是絕對(duì)收斂的。但如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是一致收斂的，并且它還是條件收斂的，此時(shí)運(yùn)用定理3進(jìn)行判別就會(huì)失效。5 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)條件收斂，此時(shí)要判別其一致斂散性，通常使用狄尼克雷或阿貝爾判別法，它們可以在一定程度上彌補(bǔ)上述的局限性。五 利用狄尼克雷判別法定理46 若級(jí)數(shù)滿足下面三個(gè)條件：1）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列= （）在區(qū)間上一致有界2）對(duì)于每一個(gè)，函數(shù)列關(guān)于是單調(diào)的。3）在區(qū)間上

8、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)0,（），則級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂.例5 證明：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。證 求級(jí)數(shù)的部分和 = =對(duì)，有： 即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致有界，而數(shù)列單調(diào)遞減，且趨近于零0，當(dāng)然在上也是一致收斂于0. 根據(jù)狄尼克雷判別法，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂。在題目中若能看出級(jí)數(shù)收斂和有界等隱含條件時(shí)，若使用狄尼克雷判別法失效，此時(shí)要想得到較確切的判別方法，可以依據(jù)這些題目的條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)其斂散性進(jìn)行判斷，通常選擇阿貝爾判別法則顯得相對(duì)簡(jiǎn)便，在很大程度上可以提高解題速度。六 利用阿貝爾判別法定理56 若級(jí)數(shù)滿足下面三個(gè)條件：1）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂2）對(duì)于每一個(gè)，函數(shù)列關(guān)于是單調(diào)

9、的。3）函數(shù)列在區(qū)間上一致有界，即對(duì)所有的和，使得則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂。例6 假設(shè) 均為常數(shù)，級(jí)數(shù)收斂，試證：在上一致收斂。證 1）由題意知收斂，顯然關(guān)于一致收斂2）0利用歐拉積分，因?yàn)?，即一致有?）當(dāng)時(shí)，即關(guān)于單調(diào)，故由Abel判別法，在上一致收斂. 上面各種判別法都有各自的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)每一種方法對(duì)不同的題目時(shí)又具有一定的局限性和適用范圍，也就是說，在遇到具體實(shí)際問題時(shí)，用以上的方法判別級(jí)數(shù)收斂性可能顯得有些復(fù)雜，甚至是無法下手，下面再給出一種新的方法，即利用狄尼定理。七 應(yīng)用Dini定理定理6 7 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上點(diǎn)態(tài)收斂于，如果（1） （=1,2）（2）（3）對(duì)，是正項(xiàng)級(jí)數(shù)或

10、負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，則在上一致收斂于.例7 證明：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂. 證 對(duì)， 有，補(bǔ)充定義則 計(jì)算和函數(shù)，當(dāng)時(shí)，顯見有，當(dāng)時(shí)，有 ，于是得出 注意到 可見,故由Dini定理知在上一致收斂。本文對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的一些常用判別法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述和總結(jié)，并對(duì)每種方法都給予了典型例題，可以看出判別方法的有效性與多樣性，并且希望通過對(duì)判別法的總結(jié)，使大家在學(xué)習(xí)和探討函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂問題時(shí)，能夠更加準(zhǔn)確和熟練的的運(yùn)用各種判別法。同時(shí)，也可以看出，有些題目可以一題多解，深層掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，通過分析和比較選用最合適的判別法，問題就會(huì)迎刃而解，有助于拓展解題思路，進(jìn)行發(fā)散性思維，以提高快速準(zhǔn)確解

11、題的能力。另外，運(yùn)用泛函分析和復(fù)變函數(shù)中的有關(guān)知識(shí)也可以判別一致收斂，例如導(dǎo)數(shù)判別法，比式以及根式判別法，利用它們來判別級(jí)數(shù)的一致收斂性也是可行的。本文雖沒有給出詳細(xì)的介紹，但這也是一個(gè)值的深入討論的問題。參考文獻(xiàn)：1華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2001.30-32.2陳紀(jì)修,復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系主編.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)第三版）M.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2001. 25-27.3劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,1992.48. 4裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M.北京:高等教育出版社,2006.586.5張筑生.數(shù)學(xué)分析新講M.北京:北京出版社,2004.49.6吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析例題集題解M.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,1999.300. 7錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹（第二版）M.武漢:湖北長(zhǎng)江集團(tuán)崇文書局,2