2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷Ⅰ)(文科)

1、2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷)(文科) 本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共 150 分，考試時間 120 分鐘 第卷 一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1已知集合 Ax|x3n2，nN，B6，8，10，12，14，則集合 AB 中元素的個數(shù)為( ) A5 B4 C3 D2 2已知點 A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，則向量( ) A(7，4) B(7，4) C(1，4) D(1，4) 3已知復(fù)數(shù) z 滿足(z1)i1i，則 z( ) A2i B2i C2i D2i 4

2、 如果 3 個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長， 則稱這 3 個數(shù)為一組勾股數(shù)，從 1，2，3，4，5 中任取 3 個不同的數(shù)，則這 3 個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為( ) A.310 B.15 C.110 D.120 5已知橢圓 E 的中心在坐標原點，離心率為12，E 的右焦點與拋物線 C：y28x 的焦點重合，A，B 是 C 的準線與 E 的兩個交點，則|AB|( ) A3 B6 C9 D12 6. 九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部

3、的弧長為 8 尺，米堆的高為 5 尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知 1 斛米的體積約為 1.62 立方尺，圓周率約為 3，估算出堆放的米約有( ) A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 7已知an是公差為 1 的等差數(shù)列，Sn為an的前 n 項和，若 S84S4，則 a10( ) A.172 B.192 C10 D12 8函數(shù) f(x)cos(x)的部分圖象如圖所示，則 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( ) A.k14，k34，kZ B.2k14，2k34，kZ C.k14，k34，kZ D.2k14，2k34，kZ 9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 t0.01，則輸出的 n

4、( ) A5 B6 C7 D8 10已知函數(shù) f(x)2x12，x1，log2（x1），x1，且 f(a)3，則 f(6a)( ) A74 B54 C34 D14 11圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為 r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為 1620，則 r( ) A1 B2 C4 D8 12 設(shè)函數(shù) yf(x)的圖象與 y2xa的圖象關(guān)于直線 yx 對稱， 且 f(2)f(4)1，則 a( ) A1 B1 C2 D4 第卷 二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上) 13 在數(shù)列an中， a12， an

5、12an， Sn為an的前 n 項和 若 Sn126， 則 n_ 14 已知函數(shù) f(x)ax3x1 的圖象在點(1， f(1)處的切線過點(2， 7)， 則 a_ 15若 x，y 滿足約束條件xy20，x2y10，2xy20，則 z3xy 的最大值為_ 16 已知 F 是雙曲線 C： x2y281 的右焦點， P 是 C 的左支上一點， A(0， 6 6) 當 APF周長最小時，該三角形的面積為_ 三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17 (本小題滿分 12 分)已知 a， b， c 分別為 ABC 內(nèi)角 A， B， C 的對邊， sin2B2sin Asin C. (1)

6、若 ab，求 cos B； (2)設(shè) B90 ，且 a 2，求 ABC 的面積 18. (本小題滿分 12 分)如圖， 四邊形 ABCD 為菱形， G 為 AC 與 BD 的交點， BE平面 ABCD. (1)證明：平面 AEC平面 BED； (2)若ABC120 ，AEEC，三棱錐 E- ACD 的體積為63，求該三棱錐的側(cè)面積 19(本小題滿分 12 分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費 x(單位：千元)對年銷售量 y(單位：t)和年利潤 z(單位：千元)的影響對近 8 年的年宣傳費 xi和年銷售量 yi(i1，2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量

7、的值 (1)根據(jù)散點圖判斷，yabx 與 ycd x哪一個適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費x 的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立 y 關(guān)于 x 的回歸方程； (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤 z 與 x，y 的關(guān)系為 z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題： 年宣傳費 x49 時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？ 年宣傳費 x 為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線 vu 的斜率和截距的最小二乘估計分別為 20(本小題滿分 12 分)已知過點 A(0，1)且斜率為 k 的

8、直線 l 與圓 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 兩點 (1)求 k 的取值范圍； (2)若12，其中 O 為坐標原點，求|MN|. 21(本小題滿分 12 分)設(shè)函數(shù) f(x)e2xaln x. (1)討論 f(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)零點的個數(shù)； (2)證明：當 a0 時，f(x)2aaln2a. 請考生在第 22、23、24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分作答時請寫清題號 22. (本小題滿分 10 分)選修 4- 1：幾何證明選講 如圖，AB 是O 的直徑，AC 是O 的切線，BC 交O 于點 E. (1)若 D 為 AC 的中點，證明：DE 是O 的切線； (

9、2)若 OA 3CE，求ACB 的大小 23(本小題滿分 10 分)選修 4- 4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系 xOy 中，直線 C1：x2，圓 C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系 (1)求 C1，C2的極坐標方程； (2)若直線 C3的極坐標方程為 4(R)，設(shè) C2與 C3的交點為 M，N，求 C2MN 的面積 24(本小題滿分 10 分)選修 4- 5：不等式選講 已知函數(shù) f(x)|x1|2|xa|，a0. (1)當 a1 時，求不等式 f(x)1 的解集； (2)若 f(x)的圖象與 x 軸圍成的三角形面積大于 6，求 a 的取值范圍

10、 2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷)(文科)參考答案與詳解 本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共 150 分，考試時間 120 分鐘 第卷 一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1解析：選 D 集合 A 中元素滿足 x3n2，nN，即被 3 除余 2，而集合 B 中滿足這一要求的元素只有 8 和 14.故選 D. 2解析：選 A 法一：設(shè) C(x，y)， 則(x，y1)(4，3)， 所以x4，y2， 從而(4，2)(3，2)(7，4)故選 A. 法二：(3，2)(0，1)(3，1)， (

11、4，3)(3，1)(7，4)故選 A. 3解析：選 C (z1)ii1，z1i1i1i， z2i，故選 C. 4解析：選 C 從 1，2，3，4，5 中任取 3 個不同的數(shù)共有如下 10 個不同的結(jié)果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股數(shù)只有(3，4，5)，所以概率為110.故選 C. 5解析：選 B 拋物線 y28x 的焦點為(2，0)， 橢圓中 c2， 又ca12，a4，b2a2c212， 從而橢圓的方程為x216y2121. 拋物線 y28x 的準線為 x

12、2， xAxB2， 將 xA2 代入橢圓方程可得|yA|3， 由圖象可知|AB|2|yA|6.故選 B. 6.解析：選 B 設(shè)米堆的底面半徑為 r 尺，則2r8，所以 r16，所以米堆的體積為 V1413r2 512162 53209(立方尺)故堆放的米約有32091.6222(斛)故選 B. 7解析：選 B 公差為 1， S88a18 （81）2 18a128，S44a16. S84S4，8a1284(4a16)，解得 a112， a10a19d129192.故選 B. 8解析：選 D 由圖象知，周期 T254142， 22，. 由 1422k， 得 42k，kZ，不妨取 4， f(x)co

13、sx4. 由 2kx42k， 得 2k14x0.01； 運行第二次：S0.50.250.25，m0.125，n2，S0.01； 運行第三次：S0.250.1250.125，m0.062 5，n3，S0.01； 運行第四次：S0.1250.062 50.062 5，m0.031 25，n4，S0.01； 運行第五次：S0.031 25，m0.015 625，n5，S0.01； 運行第六次：S0.015 625，m0.007 812 5，n6，S0.01； 運行第七次：S0.007 812 5，m0.003 906 25，n7，S0，所以 2a11 無解； 若 a1，則log2(a1)3， 解得

14、a18，a7， 所以 f(6a)f(1)211274. 綜上所述，f(6a)74.故選 A. 11解析：選 B 如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為 r，圓柱的底面半徑為 r，高為 2r，則表面積 S12 4r2r24r2 r 2r(54)r2.又 S1620， (54)r21620， r24，r2，故選 B. 12解析：選 C 設(shè)(x，y)為 yf(x)圖象上任意一點， 則(y，x)在 y2xa的圖象上， 所以有x2ya， 從而有yalog2(x)(指數(shù)式與對數(shù)式的互化)， 所以 yalog2(x)， 即 f(x)alog2(x)， 所以 f(2)f(4)(alog22)

15、(alog24)(a1)(a2)1，解得 a2.故選 C. 第卷 二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上) 13解析：a12，an12an， 數(shù)列an是首項為 2，公比為 2 的等比數(shù)列 又Sn126，2（12n）12126，n6. 答案：6 14解析：f(x)3ax21， f(1)3a1. 又 f(1)a2， 切線方程為 y(a2)(3a1)(x1) 切線過點(2，7)，7(a2)3a1，解得 a1. 答案：1 15 解析：畫出可行域(如圖所示) z3xy， y3xz. 直線 y3xz 在 y 軸上截距最大時，即直線過點 B 時，z 取得最大值 由x

16、y20，x2y10，解得x1，y1，即 B(1，1)， zmax3 114. 答案：4 16解析：由雙曲線方程 x2y281 可知，a1，c3，故 F(3，0)，F(xiàn)1(3，0) 當點 P 在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，從而 APF 的周長|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|. 因為|AF|32（6 6）215 為定值， 所以當(|AP|PF1|)最小時， APF 的周長最小， 由圖象可知，此時點 P 在線段 AF1與雙曲線的交點處(如圖所示) 由題意可知直線 AF1的方程為 y2 6x6 6， 由y2 6x6 6，x2y281， 得 y

17、26 6y960， 解得 y2 6或 y8 6(舍去)， 所以 S APFS AF1FS PF1F 12 6 6 612 6 2 612 6. 答案：12 6 三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17解：(1)由題設(shè)及正弦定理可得 b22ac. 又 ab，可得 b2c，a2c. 由余弦定理可得 cos Ba2c2b22ac14. (2)由(1)知 b22ac. 因為 B90 ，由勾股定理得 a2c2b2， 故 a2c22ac，進而可得 ca 2. 所以 ABC 的面積為12 2 21. 18.解：(1)證明：因為四邊形 ABCD 為菱形，所以 ACBD. 因為 BE平面 AB

18、CD，所以 ACBE. 故 AC平面 BED. 又 AC 平面 AEC， 所以平面 AEC平面 BED. (2)設(shè) ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120 ，可得 AGGC32x，GBGDx2. 因為 AEEC，所以在 Rt AEC 中，可得 EG32x. 由 BE平面 ABCD，知 EBG 為直角三角形， 可得 BE22x. 由已知得，三棱錐 E- ACD 的體積 V三棱錐E- ACD1312 AC GD BE624x363， 故 x2. 從而可得 AEECED 6. 所以 EAC 的面積為 3， EAD 的面積與 ECD 的面積均為 5. 故三棱錐 E- ACD 的側(cè)面積為 32 5

19、. 19解：(1)由散點圖可以判斷，ycd x適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費 x 的回歸方程類型 (2)令 w x，先建立 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程 cydw56368 6.8100.6， 所以 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程為 y100.668w， 因此 y 關(guān)于 x 的回歸方程為 y100.668 x. (3)由(2)知，當 x49 時， 年銷售量 y 的預(yù)報值 y100.668 49576.6， 年利潤 z 的預(yù)報值 z576.6 0.24966.32. 根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤 z 的預(yù)報值 z0.2(100.668 x)xx13.6 x20.12. 所以當 x13.626.8

20、，即 x46.24 時，z取得最大值 故年宣傳費為 46.24 千元時，年利潤的預(yù)報值最大 20解：(1)由題設(shè)可知直線 l 的方程為 ykx1. 因為直線 l 與圓 C 交于兩點，所以|2k31|1k21， 解得4 73k0，f(x)沒有零點； 當 a0 時，設(shè) u(x)e2x，v(x)ax， 因為 u(x)e2x在(0，)上單調(diào)遞增，v(x)ax在(0，)上單調(diào)遞增， 所以 f(x)在(0，)上單調(diào)遞增 又 f(a)0，當 b 滿足 0ba4且 b14時，f(b)0 時，f(x)存在唯一零點 (2)證明：由(1)，可設(shè) f(x)在(0，)上的唯一零點為 x0，當 x(0，x0)時，f(x)0. 故 f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增， 所以當 xx0時，f(x)取得最小值，