微積分上內容提要及補充習題新

1、微積分（上）內容提要、基本要求及補充習題一、 函數(shù)、極限、連續(xù)（一）、內容提要函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性 復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)、分段函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質及其圖形 初等函數(shù) 簡單應用問題的函數(shù)關系的建立 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質 函數(shù)的左極限與右極限 無窮小和無窮大的概念及關系 無窮小的性質及無窮小的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則 兩個重要極限： ，函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（二）、基本要求1理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立簡單應用問題中的函數(shù)關系式。2了解函數(shù)

2、的有界性、單調性、周期性和奇偶性。3理解復合函數(shù)和分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)、隱函數(shù)的概念。4掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形，理解初等函數(shù)的概念。5了解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限與右極限）的概念。6理解無窮小的概念和基本性質，掌握無窮小的比較方法，了解無窮大的概念及其與無窮小的關系，會正確利用等價無窮小求極限。7了解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限四則運算法則，會應用兩個重要極限。8理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。9了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其簡單應用，掌握零點存在定理

3、的應用。（三）、補充習題1（032）若時， 與是等價無窮小，則= _.2. (052) 當時， 與是等價無窮小，則= _.3.(031) = _.4.(034) 極限 = _.5.(023) 設常數(shù)，則 _.6. (043) 若，則_, _.7. (042) 設，則的間斷點為 _.8. (022) 設函數(shù) 在處連續(xù)，則 _ .9（043）函數(shù)在下列哪個區(qū)間內有界. 10(031) 設均為非負數(shù)列,且,則必有 對任意成立. 對任意成立. 極限不存在. 極限不存在.11（043）設在內有定義，且， 則 必是的第一類間斷點. 必是的第二類間斷點. 必是的連續(xù)點. 在處的連續(xù)性與的取值有關.12(05

4、2)設函數(shù), 則 都是的第一類間斷點. 都是的第二類間斷點. 是的第一類間斷點, 是的第二類間斷點. 是的第二類間斷點, 是的第一類間斷點.13求下列極限： 1）（012） 2）（001） 3） 4）14.(053) .15.(004) .附參考答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.1)2), 3), 4), 14. 2. 15. 16. D二、 導數(shù)與微分 （一）、內容提要導數(shù)的概念 導數(shù)的幾何意義和經(jīng)濟意義 函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系 導數(shù)的四則運算 基本初等函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)、反函數(shù)和隱函數(shù)的導數(shù) 高階導數(shù) 微分的概念和運算法則

5、一階微分形式的不變性 （二）、基本要求1理解導數(shù)的概念及可導性與連續(xù)性之間的關系，了解導數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的切線方程和法線方程。2掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則，掌握反函數(shù)與隱函數(shù)求導法以及對數(shù)求導法。3了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)。4了解微分的概念，導數(shù)與微分之間的關系，以及一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。 （三）、補充習題1(033)設 ,其導函數(shù)在處連續(xù),則的取值范圍是_.2(041)曲線上與直線垂直的切線方程為_.3(033)已知曲線與軸相切,則可以通過表示為=_.4(052)設,則=_.5

6、(044)設 ,則=_.6（032）設函數(shù)由方程所確定,則曲線在點處的切線方程是_.8(033)設為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù) 在處左極限不存在. 有跳躍間斷點.在處右極限不存在. 有可去間斷點.9(051)設函數(shù),則在內處處可導. 恰有一個不可導點.恰有兩個不可導點. 至少有三個不可導點. . .參考答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. A 8. 9. 10. 11. D12. B 13.B 14.三、 中值定理與導數(shù)應用（一）、內容提要微分中值定理 洛必達（LHospital）法則 函數(shù)單調性 函數(shù)的極值 函數(shù)圖形的凹凸性、拐點、漸近線 函數(shù)圖形的描繪 函數(shù)最大值和最小值

7、（二）、基本要求1理解羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、了解柯西（Cauchy）中值定理，掌握這三個定理的簡單應用。2會用洛必達法則求極限。3掌握函數(shù)單調性的判別方法及其應用，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法，會解較簡單的應用題4會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點和漸近線。 5掌握函數(shù)作圖的基本步驟和方法，會作簡單函數(shù)的圖形。（三）、補充習題1(051)曲線的斜漸近線方程為_.2(052)曲線的斜漸近線方程為_.3(043)設在上連續(xù),且,.則下列結論中錯誤的是 至少存在一點,使得. 至少存在一點,使得.至少存在一點,使得.至少存在一點,使得.4(0

8、41)設函數(shù)連續(xù),且,則存在,使得在內單調增加.在內單調減少.對任意的有.對任意的有.5(021)設函數(shù)在內有界且可導,則 當,必有. 當存在時,必有. 當時,必有.當存在時,必有.6(023)設函數(shù)在閉區(qū)間上有定義,在開區(qū)間內可導,則 當時，存在，使. 對任何,有.當時,存在,使.存在,使. 7.(053)以下四個命題中，正確的是若在內連續(xù),則在內有界.若在內連續(xù),則在內有界.若在內有界,則在內有界.若在內有界,則在內有界.8(053)當取下列哪個值時,函數(shù)恰有兩個不同的零點 2 4 6 89(043)設,下列命題中正確的是是極大值, 是極小值.是極小值, 是極大值.是極大值, 也是極大值.

9、是極小值, 也是極小值.10(03)設函數(shù)在內連續(xù),其導函數(shù)的圖形如圖所示,則有 一個極小值點和兩個極大值點. 兩個極小值點和一個極大值點. 兩個極小值點和兩個極大值點. 三個極小值點和一個極大值點. 11（042）設，則是的極值點,但不是曲線的拐點.不是的極值點, 但是曲線的拐點.是的極值點,且是曲線的拐點.不是的極值點, 也不是曲線的拐點12(034)曲線 僅有水平漸近線. 僅有鉛直漸近線.既有鉛直又有水平漸近線. 既有鉛直又有斜漸近線.14(033)設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，且，.試證必存在,使.15(034)設,試補充定義,使得在上連續(xù).16(033)設,試補充定義,使得在 上連續(xù).1

10、7(043)求 .18(053)求 .19.20(021)設函數(shù)在的某鄰域內具有一階連續(xù)導數(shù),且,若在時是比高階的無窮小,試確定的值.21(041)設,證明.22（022）設 ，證明不等式 . 23(034)設,在內的駐點為,問為何值時, 最小?并求出最小值. 24(032)討論曲線與的交點個數(shù).25(043)設某商品的需求函數(shù)為,其中價格,為需求量.（1）求需求量對價格的彈性;（2）推導 (其中為收益),并用彈性說明價格在何范圍內變化時,價格降低反而使收益增加.26(02四)設某商品需求量是價格的單調減少函數(shù): .其需求彈性.(1) 設為總收益函數(shù),證明;(2) 求時,總收益對價格的彈性,并

11、說明其經(jīng)濟意義.附參考答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 略 14. 略 15. 16. 17. 18. 19.20. 21. 略 22. 略 23. 時最小值為 24. 當時無交點;當時一個交點;當時兩個交點.25. (1) ; (2) 26. (1) 略; (2) 說明價格上漲1%時總收益增加0.54%. 四、 不定積分（一）、內容提要 原函數(shù)和不定積分的概念 不定積分的基本性質 基本積分公式 不定積分的換元積分法與分部積分法 （二）、基本要求理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。（三）、補充習題1(