第3章 §4 反證法

1、.§4反證法1理解間接證明的一種根本方法反證法2理解反證法的概念及考慮過程和特點難點3掌握反證法證題的根本步驟，會用反證法證明相關的數(shù)學問題重點、難點根底·初探教材整理反證法閱讀教材P65P67“練習以上內(nèi)容，完成以下問題1反證法的定義在證明數(shù)學命題時，先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個前提下，假設推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立這種證明方法叫作反證法2反證法證明的思維過程反證法的證明過程可以概括為“否認推理否認，即從否認結(jié)論開場，經(jīng)過正確的推理，導出邏輯矛盾，從而到達新的否認

2、即肯定原命題的過程用反證法證明命題“假設p那么q的過程可以用框圖3­4­1表示：圖3­4­1判斷正確的打“，錯誤的打“×1反證法屬于間接證明問題的方法2反證法的證明過程既可以是合情推理，也可以是一種演繹推理3反證法推出的矛盾不能與相矛盾【解析】1正確反證法其實是證明其逆否命題成立，所以它屬于間接證明問題的方法2錯誤反證法從證明過程看是一種嚴謹?shù)难堇[推理3錯誤反證法推出的矛盾可以與相矛盾【答案】12×3×質(zhì)疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑

3、：_小組合作型用反證法證明否認性命題等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，S393. 【導學號：67720190】1求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn；2設bnnN，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列【精彩點撥】第1問應用ana1n1d和Snna1nn1d兩式求解第2問先假設存在三項bp，bq，br成等比數(shù)列，再用反證法證明【自主解答】1設等差數(shù)列an的公差為d，由得d2，故an2n1，Snnn2證明：由1得bnn.假設數(shù)列bn中存在三項bp，bq，brp，q，r互不相等成等比數(shù)列，那么bbpbr，即q2pr，q2pr2qpr0.p，q，rN，2pr，pr20，pr，這與pr矛

4、盾所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列1當結(jié)論中含有“不“不是“不可能“不存在等詞語的命題，此類問題的反面比較詳細，合適應用反證法例如證明異面直線，可以假設共面，再把假設作為條件推導出矛盾2反證法必須從否認結(jié)論進展推理，即應把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進展推證，否那么，僅否認結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進展推理，就不是反證法3常見否認詞語的否認形式如下表所示：否認詞語否認詞語的否認形式?jīng)]有有不大于大于不等于等于不存在存在再練一題1方程fxaxa>1，證明：方程fx0沒有負數(shù)根【證明】假設x0是方程fx0的負數(shù)根，那么x0<0，x01且ax00，所以ax0.又當x

5、0<0時，0<ax0<1，故0<<1，即0<1<1,1<<2，解得<x0<2.這與x0<0矛盾， 所以假設不成立，故方程fx0沒有負數(shù)根用反證法證明“至多“至少問題x，y，z均大于零，求證：x，y，z這三個數(shù)中至少有一個不小于4.【精彩點撥】此題中含有“至少，不宜直接證明，故可采用反證法證明【自主解答】假設x，y，z都小于4，即x<4，y<4，z<4，于是得<12，而2 2 2 12，這與<12矛盾，因此假設錯誤，即x，y，z中至少有一個不小于4.1用反證法證明“至少“至多型命題，可減少討論情

6、況，目的明確否認結(jié)論時需弄清楚結(jié)論的否認是什么，防止出現(xiàn)錯誤2用反證法證明“至多“至少問題時常見的“結(jié)論詞與“反設詞如下：結(jié)論詞反設詞結(jié)論詞反設詞至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x0不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x0成立至少有n個至多有n1個p或q¬p且¬q至多有n個至少有n1個p且q¬p或¬q再練一題2假設x>0，y>0，且xy>2，求證：與至少有一個小于2.【證明】假設與都不小于2，即2，2.x>0，y>0，1y2x,1x2y，兩式相加得2xy2xy，xy2，這與中xy>2矛盾，假設不成立

7、，原命題成立故與至少有一個小于2.探究共研型用反證法證明“唯一性命題探究1用反證法證明數(shù)學命題的步驟是什么？【提示】1反設：假設命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真2歸謬：從反設和條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結(jié)果3存真：由矛盾的結(jié)果斷定反設不真，從而肯定原結(jié)論成立探究2如何證明兩條相交直線有且只有一個交點？【提示】假設兩條直線a，b不只有一個交點，那么至少有兩個交點A和B，這樣同時經(jīng)過點A，B的直線就有兩條，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線相矛盾所以兩條相交直線有且只有一個交點一點A和平面.求證：經(jīng)過點A只能有一條直線和平面垂直【精彩點撥】【自主解答】根據(jù)點A和平面的位置關

8、系，分兩種情況證明1如圖，點A在平面內(nèi)，假設經(jīng)過點A至少有平面的兩條垂線AB，AC，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面，平面和平面相交于經(jīng)過點A的一條直線a.因為AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點只能有直線的一條垂線相矛盾2如圖，點A在平面外，假設經(jīng)過點A至少有平面的兩條垂線AB和ACB，C為垂足，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面，平面和平面相交于直線BC，因為AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.在平面內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點只能有直線的

9、一條垂線相矛盾綜上，經(jīng)過一點A只能有一條直線和平面垂直證明“有且只有一個的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性當證明結(jié)論以“有且只有“只有一個“唯一存在等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設結(jié)論易于導出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡單明了再練一題3假設函數(shù)fx在區(qū)間a，b上的圖像連續(xù)不斷，且fa<0，fb>0，且fx在a，b上單調(diào)遞增，求證：fx在a，b內(nèi)有且只有一個零點【證明】由于fx在a，b上的圖像連續(xù)不斷，且fa<0，fb>0，即fa·fb<0，所以fx在a，b內(nèi)至少存在一個零點，設零點為m，那么fm0，假設fx在a，b內(nèi)還存在另一個零點n，即fn0

10、，那么nm.假設n>m，那么fn>fm，即0>0，矛盾；假設n<m，那么fn<fm，即0<0，矛盾因此假設不正確，即fx在a，b內(nèi)有且只有一個零點構(gòu)建·體系1應用反證法推出矛盾的推理過程中可作為條件使用的是結(jié)論的否認；條件；公理、定理、定義等；原結(jié)論ABCD【解析】根據(jù)反證法的根本思想，應用反證法推出矛盾的推導過程中可把“結(jié)論的否認“條件“公理、定理、定義等作為條件使用【答案】C2實數(shù)a，b，c不全為0等價于Aa，b，c均不為0Ba，b，c中至多有一個為0Ca，b，c中至少有一個為0Da，b，c中至少有一個不為0【解析】不全為0即至少有一個不為0，應選D.【答案】D3命題“ABC中，假設A>B，那么a>b的結(jié)論的否認應該是Aa<bBabCabDab【解析】“大于的否認是“不大于，即“小于或等于，應選B.【答案】B4用反證法證明某命題時，對某結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中無偶數(shù)，正確的假設為_【解析】a，b，c中無偶數(shù)，即a，b，c都是奇數(shù)，反設應是“a，b，c中至少有一個偶數(shù)【答案】a，b，c中至少有一個偶數(shù)5假設a，b，c互不相等，證明：三個方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0