數(shù)學(xué)建模之貸款問題

1、數(shù)學(xué)建模之貸款問題 姓名1： 張昌會 學(xué)號： 201105514 姓名2： 郭娟麗 學(xué)號： 201105534 姓名3： 武申金 學(xué)號： 201105547 專 業(yè)：統(tǒng)計學(xué)班 級：統(tǒng)計學(xué)1101班 2013年 11 月 25 日數(shù)學(xué)建模題目：貸款問題 組員1： 姓名 張昌會 學(xué)號 201105514 班級 統(tǒng)計1101班 組員2： 姓名 郭娟麗 學(xué)號 201105534 班級 統(tǒng)計1101班 組員3： 姓名 武申金 學(xué)號 201105547 班級 統(tǒng)計1101班 摘 要隨著我國改革開放的發(fā)展和人民生活水平的提高，人們越來越不滿足于只是吃飽、 穿暖， 而是向更高的目標(biāo)邁進，房子、車子，自然成了人

2、們渴求的目標(biāo)。 俗話說： “安居才能樂業(yè)”，擺在人們面前的問題也就浮于水面。同時，從某種意義上來說，人類文明的進程就是建筑和城市化的過程，人類對居所的投資，直接為社會勞動生產(chǎn)力的延續(xù)與發(fā)展創(chuàng)造了物質(zhì)載體。特別是國家的宏觀調(diào)控激活了房地產(chǎn)市場和汽車消費市場，擴大了內(nèi)需。社會傳統(tǒng)的房屋賣買方式受到較大沖擊而日趨縮萎， 取而代之的銀行按揭貸款買房買車成為新的購房趨勢,并日漸盛行。本文根據(jù)銀行住房貸款和我們的日常常識，首先對題目中的條件進行合理的分析，比較并分析等額本息和等額本金兩種貸款方式，一是等額本息貸款, 計算原則是銀行從每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；二是等額本金貸款, 計算原則是每

3、月歸還的本金額始終不變，利息隨剩余本金的減少而減少。推導(dǎo)出月均還款及累計利息總額的公式，建立數(shù)學(xué)模型。其次根據(jù)給出的銀行利率，利用vc+軟件和已求出的公式，計算出月均還款額和所花費的利息總額，制成圖表并借以分析貸款的期限與月還款之間的關(guān)系。最后對按揭貸款買房提出了一些我們的建議。這些天來我們對貸款買房的研究，使我們對這個很現(xiàn)實的問題有了較深的了解，相信這些實用知識對我們的 使我們對這個很現(xiàn)實的問題有了較深的了解，未來發(fā)展一定有很大的幫助。關(guān)鍵詞：貸款，利率，月均還款額，累計利息總額，等額本息，等額本金一、 問題的提出隨著國家住房商品化及家用轎車商業(yè)化政策的推行，于是銀行提供了購房貸款項目及轎車

4、貸款項目，幫助很多人解決了購房款和購車款的問題。人民群眾住房條件改善的同時也帶來了不小的問題，極少數(shù)居民有能力一次性付清房款，我國現(xiàn)行主流的兩種購房貸款還款方式：等額本息和等額本金?，F(xiàn)通過數(shù)學(xué)模型完成以下任務(wù)：1、 分別給出等額本金還款法和等額本息還款法的月供金額的計算方法。2、 通過具體的數(shù)據(jù)計算每種貸款方法月供金額和月支付利息。3、 分別計算兩種方法在貸款期限內(nèi)的總還款額和總支付利息。 4、 由計算數(shù)據(jù)分析兩種方法的還款特點及規(guī)律，并分析適用的人群。二、 模型的假設(shè)1、 銀行在貸款期利率不變 2、 在這段期間內(nèi)不考慮經(jīng)濟波動的影響 3、 銀行利息按復(fù)利計算 4、 客戶在還款期內(nèi)還款能力不變

5、三、 模型的參數(shù)及說明1、 A：表示貸款總額（本金）；2、 ：表示第i個月還款本金；3、 ：表示月利率；4、 m:表示總期數(shù)（還款月數(shù)）；5、 ：表示第i個月的還款額；6、 X：表示等額本息還款法的月供金額7、 ：表示第個月還款前所剩貸款額；8、 L：表示總還款金額； 9、 S：表示總支付利息；10、：表示第i個月支付的利息；11、:表示年利率；四、 模型的分析銀行貸款還款的利息方式計算方法有等額本息還款法和等額本金還款法。在本例中，貸款總額A為300000 元，年利率R為6%，即0.06，則月利率r=年利率/12=0.5%，即0.005，貸款期數(shù)m為120 個月，即10年。（1） 等額本金還

6、款方式 等額本金，即每個月償還的本金是固定的。等額本金還款方式，即借款人除了每個月償還的固定本金之外，每個月還要支付月初剩余本金在本月的利息。每月還款額 = （貸款本金 / 還款月數(shù)）+（本金 已歸還本金累計額）×每月利率第個月月支付利息=第個月后所剩余的貸款額×月利率用數(shù)學(xué)公式直觀的表示如下：第i月還款時需還款的本金為： i=1,2,3,m第1個月應(yīng)還利息：第2個月應(yīng)還利息：第3個月應(yīng)還利息：第i個月應(yīng)還利息：第m個月應(yīng)還利息：所以，第i個月的月款金額=由上面的推導(dǎo)知，這m個月的利息逐月遞減，呈等差數(shù)列。附：因為首相為，公差為d的等差數(shù)列，前n項和為則首項為，公差為-，這

7、m個月的總支付利息S= = =（2） 等額本息還款方式等額，即每個月的月供金額是固定的，本息=本金總額+利息總額。等額本息還款方式，即把貸款的本金總額和利息總額加起來，然后均分到每個月。每月的還款金額=（本金總額+利息總額）/m各個月所欠銀行的貸款：第1個月： 第2個月：= =第3個月： = =附：等比數(shù)列求和 首項為，公比為q，則前n項和為 第m個月： = =因為第m個月欠款已全部換完，即為0。則 =0所以每個月的月供金額為 X=累計利息，即m個月的總支付利息為 S=（X-）*m第i個月所還本金為：第i個月所還利息為：五、 模型的建立及解我們建立了一個關(guān)于等額本金與等額本息的貸款問題模型如下

8、：模型一：在滿足模型假設(shè)的情況下，貸款金額為300000 元，年利率R為0.06，月利率為0.005，貸款期數(shù)m為120 個月。（1） 等額本金還款法第i月還款時需還款的本金為： i=1,2,3,m第i個月應(yīng)還利息：第i個月的月款金額=總支付利息S=計算得到如下表格：第i個月所還本金（元）所還利息（元）月供金額（元）1250015004000225001487.53987.53250014753975425001462.52962.5118250037.52537.51192500252525120250012.52512.5求和30000090750390750由上表畫出的多線線圖如下：由上

9、述統(tǒng)計數(shù)據(jù)表及統(tǒng)計圖可得到等額本金還款法有以下特點：等額本金還款，月供金額逐月遞減。月支付利息也是逐月遞減的，因此，等額本金還款法在貸款初期月還款額大，此后逐月遞減。（2） 等額本息還款法第i個月所還本金為：第i個月所還利息為：每個月的月供金額為 X=總支付利息為 S=（X-）*m計算得到如下表格：第i個月所還本金（元）所還利息（元）月供金額（元）11830.611500.003330.6121839.771490.843330.6131848.961481.653330.6141858.211472.403330.611183281.1549.463330.611193297.5533.06

10、3330.611203314.0416.573330.61求和30000099673.8399673.8由上表畫出的多線線圖如下：由上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)表及統(tǒng)計圖可得到等額本息還款法有以下特點：等額本息還款，月供金額固定。月支付利息逐月遞減，月支付本金逐月遞增，因此，等額本息還款法每月還款額中的本金比重逐月遞增，利息比重逐月遞減。比較等額本金還款法和等額本息還款法，得出如下結(jié)論：等額本金還款法相對等額本息而言，總的利息支出較低，但是前期支付的本金和利息較多，還款負擔(dān)逐月遞減。這種方式很適合目前收入較高，但是已經(jīng)預(yù)計到將來收入會減少的人群。實際上，很多中年以上的人群，經(jīng)過一斷時間事業(yè)打拼，有一定的經(jīng)濟基

11、礎(chǔ)，考慮到年紀漸長，收入可能隨著退休等其他因素減少，就可以選擇這種方式進行還款。等額本息貸款法相對于等額本金還款法的劣勢在于支出利息較多，還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金逐漸返還供款中本金比重增加。但該方法每月的還款額固定，可以有計劃地控制家庭收入的支出，也便于每個家庭根據(jù)自己的收入情況，確定還貸能力。該方法比較適用于現(xiàn)期收入少，預(yù)期收入將穩(wěn)定或增加的借款人，或預(yù)算清晰的人士和收入穩(wěn)定的人士，一般為青年人，特別是剛開始工作的年輕人也適合選用這種方法，以避免初期太大的供款壓力。模型二：由于模型一是建立在一個沒有考慮現(xiàn)實生活中可能發(fā)生的一些情況，例如在假設(shè)還款能力和不考慮經(jīng)濟波動這些方面的理

12、想情況，所以由模型一得出的結(jié)果可能會與實際情況有一定出入。由此我們在考慮還款人在還款期間能夠?qū)⑺＝痤~一次還清其他假設(shè)均不變的情況下建立了模型二如下：（一）等額本金還款法假設(shè)貸款人在第i個月將所剩金額一次還清，則第i個月所還金額為：則全部還完后總的還款金額為：（二）等額本息貸款法：假設(shè)貸款人在第i個月將所剩金額一次還清，則第i個月應(yīng)還款金額為：則全部還完后總的還款金額為：提前還款一次性付清的等額本金和等額本息對比曲線如下：由上圖可發(fā)現(xiàn)，對于可以在未來的某個月一次性付清的人群來說，可以選擇等額本金還款法，因為兩種還款方式最初性差不大，但是越往后，等額本金的優(yōu)勢就越明顯。六、 模型的合理性討論建模

13、時我們?nèi)藶楹雎赃€貸人可能出現(xiàn)的導(dǎo)致還貸不能進行的特殊情況，例如市場經(jīng)濟的變動，個人收入水平的波動，全球范圍的金融危機，利率調(diào)整及經(jīng)濟波動等干擾事件都有可能導(dǎo)致還款人對自己的還款計劃作出調(diào)整。在出現(xiàn)這些情況時，模型可能不再適用。但是在還款人收入穩(wěn)定，全球經(jīng)濟形勢沒有大的波動，或者國家銀行的貨幣政策沒有改革的前提下，本模型明確的建立了還貸時間與還貸金額之間的關(guān)系，能夠較準(zhǔn)確反映每種還貸方式的特點，在忽略特殊情況的時候，模型可以用于解釋，說明各還貸方式在實際情況中的運作過程。同時本模型直觀的反映出了等額本息和等額本金兩種還款方式的利弊，可以供不同收入人群參考，在我國大的經(jīng)濟市場背景和國家的宏觀調(diào)控下

14、，我國的貸款政策或銀行利率近期不會變化，因此此種模型符合我國的貸款政策。七、 模型的改進方向雖然等額本金還款法比等額本息還款法要還更少的錢，但開頭的幾期或幾十期的負擔(dān)相對的會很重。而等額本息還款法是每月還銀行相等的金額,客戶的負擔(dān)沒那么大,所以,銀行一般都推薦等額本金還款法等額本金還款，適合目前收入較高的人群。 借款人在開始還貸時，等額本金還款每月負擔(dān)比等額本息要重。隨著時間推移，還款負擔(dān)便會逐漸減輕。這種還款方式相對同樣期限的等額本息法，總的利息支出較低。 等額本息還款法的特點是每個月歸還一樣的本息和，容易作出預(yù)算。還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金逐漸返還供款中本金比重增加。 等額本息

15、還款法更適用于現(xiàn)期收入少，預(yù)期收入將穩(wěn)定或增加的借款人，或預(yù)算清晰的人士和收入穩(wěn)定的人士。固定利率貸款就是在貸款合同簽訂時即設(shè)定好固定的利率，在貸款合同期內(nèi)，不論市場利率如何變動，借款人都按照固定的利率支付利息，不需要“隨行就市”。等額遞增（減）還款方式，是指投資者在人住房商業(yè)貸款業(yè)務(wù)時，與銀行商定還款遞增或遞減的間隔期和額度。在初始時期，按固定額度還款，此后每月根據(jù)間隔期和相應(yīng)遞增或遞減額度進行還款的操作辦法。其中，間隔期最少為1個月。它把還款年限進行了細化分割，每個分割單位中，還款方式等同于等額本息，靈活性強。區(qū)別在于，每個時間分割單位的還款數(shù)額可能是等額增加或者等額遞減。 還可以有遞增法

16、，氣球貸等等，核心都是根據(jù)貸款人經(jīng)濟實力制定不同時期的本金和利息的還款額，理論上占用時間越少越省錢。模型的優(yōu)點：（1） 采用的數(shù)學(xué)模型有成熟的理論基礎(chǔ)，可信度較高； （2） 本文建立的模型有相應(yīng)的軟件支持，推廣容易； （3） 本文建立的模型與實際緊密聯(lián)系，考慮現(xiàn)實情況的多樣性，從而使模型更貼近實際，實用性也更高； （4） 本文用數(shù)學(xué)工具，對模型嚴密求解，具有較強的科學(xué)性； （5） 為了更貼近實際，在靜態(tài)模型的的基礎(chǔ)上，考慮未來現(xiàn)金折現(xiàn)對模型進行改進，加以驗證；（6）借助圖表，比較形象直觀，從多方面對結(jié)果進行分析與驗證。模型缺點：（1） 模型復(fù)雜因素較多，不能對其進行全面考慮；（2） 利率的精確

17、度不同可能造成一定誤差；（3） 經(jīng)濟社會中隨機因素較多，使模型不能將其準(zhǔn)確反應(yīng)出來。模型的改進：（1） 考慮通貨膨脹等市場經(jīng)濟中的因素； （2） 考慮國家政策、重大事件比如加息對人們還貸行為的影響； （3） 對利率有更準(zhǔn)確的計算方法； （4） 考慮不同人群的消費觀念和收入水平。八、 模型的應(yīng)用本模型適于銀行在貸款期利率不變 ，在這段期間內(nèi)不考慮經(jīng)濟波動的影響，銀行利息按復(fù)利計算 ，客戶在還款期內(nèi)還款能力不變的情況下等額本息和等額本金的貸款以及提前一次性還清的貸款問題。參考文獻【1】 張廣慶等 C+程序設(shè)計基礎(chǔ) 中國社會出版社?！?】 方道元，韋明俊，數(shù)學(xué)建模：方法導(dǎo)引與案例分析，浙江大學(xué)出版社

18、?！?】 周凱，宋軍全，鄔學(xué)軍，數(shù)學(xué)建模競賽入門與提高，浙江大學(xué)出版社?！?】 吳禮斌 李柏年 數(shù)學(xué)實驗與建模 國防工業(yè)出版社。【5】 袁震東 數(shù)學(xué)建模方法 華東師范大學(xué)出版社 。附件1、等額本金還款法程序：#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;int main()int c;float a,b,d,e,f,sum=0;cout<<"請輸入貸款金額（元）："cin>>a;cout<<"請輸入年利率："cin>>

19、b;cout<<"請輸入還款期限（年）："cin>>c;d=a/(c*12);cout<<"等額本金還款法結(jié)果如下："<<endl;for(int i=1;i<=c*12;i+)e=(a-d*(i-1)*b/12;f=d+e;cout<<"第"<<i<<"個月 還款金額為："<<f<<"元；還的利息為："<<e<<"元。"<<endl;sum+=f;sum-=a;cout<<"累計利息為：&qu