數(shù)學(xué)數(shù)列題型歸納解題方法

1、數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列1.基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、（公差）比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等。轉(zhuǎn)化為“基本量”是解決問題的基本方法。2.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系1）若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，其中是常數(shù)，是的公差。（a>0且a1）；2）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，其中是常數(shù)且，是的公比。3）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則是非零常數(shù)數(shù)列。3.等差與等比數(shù)列的比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式=+（n-1）d=+（n-k）d=dn+-d求和公式中項(xiàng)公式A= 推廣：2=。推廣：性質(zhì)1若m+n=p+q則 若m+n=p+q，則。2若成A.P（其中）則也為A

2、.P。若成等比數(shù)列 （其中），則成等比數(shù)列。3 成等差數(shù)列。成等比數(shù)列。4 ， 4、典型例題分析【題型1】 等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系例1 （2010陜西文16）已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.（）求數(shù)列an的通項(xiàng);（）求數(shù)列2an的前n項(xiàng)和Sn.解：（）由題設(shè)知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列得，解得d1，d0（舍去）， 故an的通項(xiàng)an1+（n1）×1n.()由（）知=2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.小結(jié)與拓展：數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，其中是常數(shù)，是的公差。（a>0且

3、a1）.【題型2】 與“前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an”、常用求通項(xiàng)公式的結(jié)合例2 已知數(shù)列an的前三項(xiàng)與數(shù)列bn的前三項(xiàng)對應(yīng)相同，且a12a222a32n1an8n對任意的nN*都成立，數(shù)列bn1bn是等差數(shù)列求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式。解：a12a222a32n1an8n(nN*) 當(dāng)n2時，a12a222a32n2an18(n1)(nN*) 得2n1an8，求得an24n，在中令n1，可得a18241，an24n(nN*) 由題意知b18，b24，b32，b2b14，b3b22，數(shù)列bn1bn的公差為2(4)2，bn1bn4(n1)×22n6，法一（迭代法）bnb1(b2b1)(b3b

4、2)(bnbn1)8(4)(2)(2n8) n27n14(nN*)法二（累加法）即bnbn12n8，bn1bn22n10，b3b22，b2b14，b18，相加得bn8(4)(2)(2n8)8n27n14(nN*)小結(jié)與拓展：1）在數(shù)列an中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為：.是重要考點(diǎn)；2）韋達(dá)定理應(yīng)引起重視；3）迭代法、累加法及累乘法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法?！绢}型3】 中項(xiàng)公式與最值（數(shù)列具有函數(shù)的性質(zhì)）例3 （2009汕頭一模）在等比數(shù)列an中，an0 (nN），公比q(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，a3與as的等比中項(xiàng)為2。（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）

5、設(shè)bnlog2 an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn當(dāng)最大時，求n的值。解：（1）因?yàn)閍1a5 + 2a3a5 +a 2a825，所以， + 2a3a5 +25 又ano，a3a55 又a3與a5的等比中項(xiàng)為2，所以，a3a54而q（0,1），所以，a3a5，所以，a34，a51，a116，所以， （2）bnlog2 an5n，所以，bn1bn1，所以，bn是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。所以， 所以，當(dāng)n8時，0，當(dāng)n9時，0，n9時，0，當(dāng)n8或9時，最大。小結(jié)與拓展：1）利用配方法、單調(diào)性法求數(shù)列的最值；2）等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)。數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）1.前n項(xiàng)和公式Sn的定義：Sn=a1+a2

6、+an。2.數(shù)列求和的方法（1）公式法：1）等差數(shù)列求和公式；2）等比數(shù)列求和公式；3）可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4）常用公式:；。（2）分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解。（3）倒序相加法：如果一個數(shù)列an，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法。如：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的。（4）裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。適用于其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1）和（其

7、中等差）可裂項(xiàng)為：；2）。（根式在分母上時可考慮利用分母有理化，因式相消 求和）常見裂項(xiàng)公式：（1）；（2）；（3）；（4）（5）常見放縮公式：.（6）錯位相減法：適用于差比數(shù)列（如果等差，等比，那么叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以的公比，向后錯一項(xiàng)，再對應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。如：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的. （7）累加（乘）法（8）并項(xiàng)求和法：一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求。（9）其它方法：歸納、猜想、證明；周期數(shù)列的求和等等。3.典型例題分析【題型1】 公式法例1 等比數(shù)列的前項(xiàng)和S2p，則_.解：1

8、）當(dāng)n=1時，；2）當(dāng)時，。 因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以從而等比數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。故等比數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。小結(jié)與拓展：1）等差數(shù)列求和公式；2）等比數(shù)列求和公式；3）可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4）常用公式:（見知識點(diǎn)部分）。5）等比數(shù)列的性質(zhì)：若數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列及也為等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為、，公比分別為、?！绢}型2】 分組求和法例2 （2010年豐臺期末18）數(shù)列中，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）在數(shù)列中，依次抽取第3，4，6，項(xiàng)，組成新數(shù)列，試求數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和.解：（）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，。，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，。（

9、）依題意知：=.小結(jié)與拓展：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個項(xiàng)，再把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解?！绢}型3】 裂項(xiàng)相消法例3 （2010年東城二模19改編）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）數(shù)列滿足，求。證明：（）由于， 當(dāng)時， 得 所以 又， 所以因?yàn)?，且，所以所以故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 解：（）由（）可知，則（） 小結(jié)與拓展：裂項(xiàng)相消法是把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。它適用于其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1）和（其中等差）可裂項(xiàng)為：；2）。（根式在分母

10、上時可考慮利用分母有理化，因式相消求和）【題型4】 錯位相減法例4 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯位）得（錯位相減） 【題型5】 并項(xiàng)求和法例5 求10029929829722212解：10029929829722212(100 99)(9897)(21)5050.【題型6】 累加（乘）法及其它方法：歸納、猜想、證明；周期數(shù)列的求和等等例6 求之和.解：由于 （找通項(xiàng)及特征）（分組求和）歸納與總結(jié)：以上一個8種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的

11、基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。數(shù)列的通項(xiàng)公式1.數(shù)列的通項(xiàng)公式一個數(shù)列an的 與 之間的函數(shù)關(guān)系，如果可用一個公式anf(n)來表示，我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式2.通項(xiàng)公式的求法（1）（1）定義法與觀察法（合情推理：不完全歸納法）：直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目；有的數(shù)列可以根據(jù)前幾項(xiàng)觀察出通項(xiàng)公式。（2）公式法：在數(shù)列an中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為： (數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).（3）周期數(shù)列由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。（4）由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)類型1 遞推公式為解法：把

12、原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。（2）由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)可如下求得：由已知遞推式有， ，依次向前代入，得，這就是疊（迭）代法的基本模式。類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。（5）構(gòu)造法：就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中，通過對條件與結(jié)論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關(guān)系，某個直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求

13、出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，此類題通常較難，但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新的感覺.1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.2）構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.3）構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡單方法.4）構(gòu)造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵?，使問題得以解決.（6）歸納猜想證明法數(shù)學(xué)歸納法（7）已知數(shù)列前項(xiàng)之積Tn，一般可求Tn-1，則an（注意：

14、不能忘記討論）.如：數(shù)列中，對所有的都有，則_.3.典型例題分析【題型1】 周期數(shù)列例1 若數(shù)列滿足，若，則=_。小結(jié)與拓展：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期?！绢}型2】 遞推公式為，求通項(xiàng)例2 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累加法時,要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時項(xiàng)數(shù)容易出錯.【題型3】 遞推公式為，求通項(xiàng)例3 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累乘法時,還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時項(xiàng)數(shù)容易出錯.【題型4】 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，），求通項(xiàng)例4 在數(shù)列中，當(dāng)時，有，求的通項(xiàng)公式。解

15、法1：設(shè)，即有，對比，得，于是得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有。解法2：由已知遞推式，得，上述兩式相減，得，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。所以，即，所以。小結(jié)與拓展：此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)，展開整理，比較系數(shù)有，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為。二是用做差法直接構(gòu)造，兩式相減有，所以是公比為的等比數(shù)列。也可用“歸納猜想證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型.【題型5】 構(gòu)造法：1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列例5 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對于任意正整數(shù)n

16、，都有等式：成立，求的通項(xiàng).解：， ，. 即是以2為公差的等差數(shù)列，且.小結(jié)與拓展：由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.【題型6】 構(gòu)造法：2）構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6 設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得.，.【題型7】 構(gòu)造法：3）構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡單方法.例7 數(shù)列中，前n項(xiàng)的和，求.解： ，【題型8】 構(gòu)造法：4）構(gòu)造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵?，使問題得以解決.例8 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，.，【題型9】 歸納猜想證明例9 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項(xiàng)公式 解：()當(dāng)n1時，x2a1xa10有一根為S11a11于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1當(dāng)n2時，x2a2xa20有一根為S21a2