數(shù)學(xué)物理方程有限差分法

1、數(shù)學(xué)物理方法課程報(bào)告題 目：聲波有限差分法數(shù)值模擬學(xué)生姓名：xxx學(xué) 號(hào)：xxx學(xué) 院：地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院專業(yè)班級(jí)：xxxx教 師：xxx2016年 4月12日 聲波有限差分法數(shù)值模擬 Xxx （地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院研15級(jí) 學(xué)號(hào)：xxx）摘要：數(shù)值模擬是最常用的正演模擬的方法。它通過(guò)給出的結(jié)構(gòu)模型和物理參數(shù)，模擬地震波的傳播軌跡，了解其規(guī)律以及過(guò)程，然后通過(guò)計(jì)算來(lái)推斷觀測(cè)點(diǎn)的地震記錄。根據(jù)求解方法，地震波方程數(shù)值解法可分為有限元法、偽譜法、有限差分法。根據(jù)本門(mén)課程的要求，并且有限差分法具有內(nèi)存占用較小，精度較高等優(yōu)點(diǎn)，本文主要采用這種方法進(jìn)行模擬。關(guān)鍵詞：數(shù)值模擬，聲波，有限差分 正文1、 引

2、言在勘探過(guò)程中，數(shù)值模擬的作用很大。例如：1、采集上，可用于設(shè)計(jì)或者優(yōu)化野外觀測(cè)系統(tǒng)；2、處理上，可以通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)檢驗(yàn)是否采用了正確的反演方法。將正演反演不斷的逼近，從而使結(jié)果更加準(zhǔn)確；3、解釋上，還可以檢測(cè)一下解釋的資料是否正確。而有限差分法是數(shù)值模擬最常用的方法，本文利用有限差分法，通過(guò)對(duì)聲波進(jìn)行正演模擬，來(lái)了解其在地下的傳播規(guī)律及特點(diǎn)。2、 二維各向同性介質(zhì)聲波方程數(shù)值模擬 使用規(guī)則網(wǎng)格差分對(duì)二階方程進(jìn)行求解。 具體過(guò)程： 在x方向上，關(guān)于對(duì)稱分布的2N個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， ，。其 中，表示節(jié)點(diǎn)間的最小間距；表示任意正整數(shù)。2N個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函 數(shù)值已知，分別為， ，。利用Ta

3、ylor級(jí)數(shù)展開(kāi)求解 在點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)近似值。 其中，i=1,2，N 將上述兩式相加，省略式中的誤差項(xiàng)，得到 (1) 將相減后得到的式子整理成矩陣形式，有 (2) 為了簡(jiǎn)化矩陣，可以記作， 同時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)簡(jiǎn)單矩陣，輔助計(jì)算整理的， 假設(shè)存在，使得，也可得；即為的逆，得到 。式子兩邊右乘向量就可得 (3) 由式（2）可得 (4) 同時(shí)，假設(shè) （5） 將帶入式（4），得 （6） 整理得 可結(jié)合式（3）和式（5），可得到矩陣計(jì)算式： （7） 當(dāng)?shù)闹荡_定后，可根據(jù)式（7）來(lái)求解的值，從而計(jì)算出的值。利用式（7）可以求得對(duì)稱任意節(jié)點(diǎn)間距的一階導(dǎo)數(shù)差分系數(shù)。其中，當(dāng)取值為 ,則式（7）可表示為 （8） 此

4、時(shí)，所求得的就是等節(jié)點(diǎn)間距的一階導(dǎo)數(shù)的規(guī)則網(wǎng)格不同差分精度的差分系數(shù)（表1所示）。 表1 二階導(dǎo)數(shù)規(guī)則網(wǎng)格各階精度的差分系數(shù)2L2-2.000001.000004-2.500001.33333-8.33333E-26-2.722221.50000-1.50000E-11.11111E-28-2.847221.60000-2.00000E-12.53968E-2-1.78571E-310-2.927221.66667-2.38095E-13.96825E-2-4.96032E-33.17460E-412-2.982781.71429-2.67857E-15.29101E-2-8.92857E-3

5、1.03896E-3-6.01251E-5二維聲波方程的形式可表示為：（9）時(shí)間導(dǎo)數(shù)采用2階，空間導(dǎo)數(shù)采用2N階近似，即帶入式（9）中，可得到在固定網(wǎng)格下，差分格式為（10）3、模型測(cè)試：震源選?。?正演模擬過(guò)程中采用雷克子波作為震源子波，雷克子波的表達(dá)式為 Source (it) =(1-2 fm (t-t0)2 )e-2 fm (t-t0)2模型建立： 建立了一個(gè)兩層介質(zhì)模擬，其上層縱波速度為v=2000m/s，下層縱波速度為v=3000m/s。模型大小為200×200，空間采樣間隔為dx=dz=10m。采用30Hz的雷克子波作為震源子波，震源位于模型(70,100)處，時(shí)間采樣間隔為1ms。結(jié)果分析： it=50 it=100 it=150 it=200 it=250 it=300 it=350 it=400 圖2 不同時(shí)刻波場(chǎng)快照?qǐng)D中可以看出，在未遇到界面前，地震波在均勻介質(zhì)中的波前面一個(gè)圓。當(dāng)遇到地層界面之后，在界面處發(fā)生了反射、透射和折射現(xiàn)象。沿測(cè)線方向的地震記錄如圖2所示。記錄中存在兩條直線狀的同相軸和兩條近似雙曲線的同相軸。由于直達(dá)波的時(shí)距曲線是直線，因此兩條直線同相軸對(duì)應(yīng)直達(dá)波；由于反射波的時(shí)距曲線是近似雙曲線，因此近似雙曲線同相軸對(duì)應(yīng)的是反射波。參考文獻(xiàn)1 劉慶敏，高階差分?jǐn)?shù)值模擬方法研究與