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文檔簡介
1、旋轉(zhuǎn)放縮對稱直角三角形模型解析及在中考題中的應(yīng)用 陽新縣木港鎮(zhèn)東春中學(xué) 陳開茂 陳迪富 相信大部分老師和成績比較好的學(xué)生對旋轉(zhuǎn)相似模型(個人覺得嚴(yán)謹(jǐn)點(diǎn)可叫旋轉(zhuǎn)放縮相似模型)都不陌生:將確定ABC繞A點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動一個角度得到,再將以A點(diǎn)為中心按某種比例縮放成ADE,則根據(jù)夾角相等及兩邊對應(yīng)成比例,ABDACE,動線段BD:CE=定線段AB:AC=定值。(這個模型也可簡述成共頂點(diǎn)A的相似三角形ABC和ADE,BD與CE對應(yīng))此模型在中考中應(yīng)用很多,但非要講的主題,故只是簡單提一提。要講的模型我稱為旋轉(zhuǎn)放縮對稱直角三角形模型,前面RtABC中,C=90°,ABC=,將ABC繞A點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動一個
2、角度得到,再將以A點(diǎn)為中心按某種比例縮放成AFE,最后將AFE關(guān)于AE作對稱得ADE。注意ABC還是和ADE為共頂點(diǎn)A的相似三角形,B和D對應(yīng),C和E對應(yīng),看起來和上個模型很像,那到底還有沒有動線段BD:CE=定值呢?根本是沒有的,因為只有CE:BF=AC:AB=定值sin,而BD和BF根本不一樣了。那到底該模型有何特別之處呢?我們擦去過渡三角形和AEF,只保留ABC和AED。(再次提醒,現(xiàn)在的是旋轉(zhuǎn)放縮對稱直角三角形模型,多了一個對稱,和一開始的模型完全不一樣了)我們連接兩個非A的對應(yīng)銳角定點(diǎn)B和D得到線段BD,取BD中點(diǎn)G,再連接G和兩個直角頂點(diǎn)C、E之間的線段,得到三角形GCE,它有如下
3、特點(diǎn):GC=GE,CGE=2(即2倍ABC) 先舉個特例來說明該模型的體現(xiàn)和證明:2007年廣州中考數(shù)學(xué)壓軸題已知RtABC中,AB=AC,在RtADE中,AD=DE,連結(jié)EC,取EC中點(diǎn)M,連結(jié)DM和BM,(1)若點(diǎn)D在邊AC上,點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合,如圖,求證:BM=DM且BMDM;(2)如圖中的ADE繞點(diǎn)A逆時針轉(zhuǎn)小于45°的角,如圖,那么(1)中的結(jié)論是否仍成立?如果不成立,請舉出反例;如果成立,請給予證明。證法一:在RtEBC中,M是斜邊EC的中點(diǎn) BM= 在RtEDC中,M是斜邊EC的中點(diǎn) DM= BM=DM,且點(diǎn)B、C、D、E在以點(diǎn)M為圓心,BM為半徑
4、的圓上BMD=2ACB=90°即BMDM證法二:證明BM=DM與證法一相同,下面證明BMDMDM=MC MDC=MCDEMD=2ECDBM=MC MBC=MCBEMB=2ECBEMD+EMB=2(ECD+ECB)ECD+ECB=ACB=45° BMD=2ACB=90°,即BMDM該題解法應(yīng)該是很多,給出三種做法。一是以倍長中線為基礎(chǔ)證全等的做法,照搬標(biāo)準(zhǔn)答案。延長DM至點(diǎn)F,使得DM=MF,連接CD和EF,連接BD,連接BF、FC,延長ED交AC于點(diǎn)HDM=MF,EM=MC四邊形CDEF是平行四邊形DECF,ED=CFED=AD AD=CFDECF AHE=ACF
5、BAD=45°DAH=45°(90°AHE)=AHE45°,BCF=ACF45°BAD=BCF又AB=BCABDCBFBD=BF,ABD=CBFABD+DBC=CBF+DBCDBF=ABC=90°在RtDBF中,由BD=BF,DM=MF,得BM=DM且BMDM二是利用直角三角形斜邊中線及中位線的全等做法:取AE中點(diǎn)P,AC中點(diǎn)Q,連PM、PD、QB、QM,顯然,且四邊形PAQM為平行四邊形,則APM=AQMAPM=90°=AQM 即DPM=MQBPDMQMB DM=MB又PMBQ QBM+BMP=PMD+BMP=90
6、6;BMDM三是結(jié)合第一個旋轉(zhuǎn)相似模型的相似解法: 將C點(diǎn)關(guān)于AB做對稱,得等腰直角AGB,由旋轉(zhuǎn)相似模型可知AGEABD GE:BD=AE:AD= 又GE=2BM BD:BM=DBM=90°-(ABD+MBC)= 90°-(AGE+EGC)= 45°DBM為等腰直角三角形在這三種方法中,個人更喜歡第二種利用直角三角形斜邊中線和中位線證全等的方法,既簡單巧妙,也應(yīng)用面廣。我們來看一道一般性普遍性的旋轉(zhuǎn)放縮對稱直角三角形模型的題型: 已知:ABC中,AB=AC,N為BC的中點(diǎn),DBE中,DB=DE,M為BE中點(diǎn),ABC=DBE,P為AD中點(diǎn),連接PM、PN.如圖1,
7、當(dāng)BE與BA重合時,求證:PM=PN;如圖2,把圖1中的DBE繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)(0°180°),其它條件不變,中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由。如果對模型足夠敏感,不難發(fā)現(xiàn)RtBMD和RtBNA恰好符合這個模型,所以不妨采用前面第二種解法:證明:連接AN、MDAB=AC N為BC的中點(diǎn)ANBCP為AD的中點(diǎn)PN=同理PM=PM=PN取BD中點(diǎn)F,AB中點(diǎn)G,M為BE的中點(diǎn),F(xiàn)為BD的中點(diǎn)MFED MF=同理可證:GPBD GP=DE=DB MF=GP同理可證:PF=GNPGN=180°-AGP-BGN MFP=180°-MFB-PFD而AGP=ABD=PFD
8、 BGN=BAC=EDB=MFBPGN=MFPPMFPNG(SAS) PM=PN最后再來看一下2015年重慶中考A卷的倒數(shù)第二道幾何大題。如圖1,在ABC中,ACB=90°,BAC=60°,點(diǎn)E角平分線上一點(diǎn),過點(diǎn)E作AE的垂線,過點(diǎn)A作AB的線段,兩垂線交于點(diǎn)D,連接DB,點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),DHAC,垂足為H,連接EF,HF。(1)如圖1,若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn),AC=,求AB,BD的長。(2)如圖1,求證:HF=EF。(3)如圖2,連接CF,CE,猜想:CEF是否是等邊三角形?若是,請證明;若不是,請說明理由。 考點(diǎn):全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì);三角形中
9、位線定理 分析:(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可得到結(jié)果; (2 )如圖1,連接AF ,證出 DAEADH, DHF AEF ,即可得到結(jié)果; (3 )如圖2 ,取AB 的中點(diǎn)M,連接CM,F(xiàn)M,在R ADE 中,AD=2AE,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AD=2FM,于是得到FM=AE,由 CAE=CAB=30°CMF= AMF AMC=30°,證得 ACEMCF ,問題即可得證 解答:,連接AF易證:DAEADH,故DH=AE故 易證:DHFAEF HF=EF(方法不唯一,有很多,合理即可)(法一)取AB的中點(diǎn)M,連接CM、FM在RTADE中,AD=2AEFM是ABD的中位線,故AD=2FM FM=AE易證ACM為等邊三角形,故AC=CM 故ACEMCF(手拉手全等模型)故易證:CEF為等邊三角形(法二)延長DE至點(diǎn)N,使EN=DE,連接AN;延長BC至點(diǎn)M,使CB=CM,連接AM;延長BD交AM于點(diǎn)P易證:ADEANE,ABCAMC易證:ADMANB(手拉手全等模型),故DM=BNCF是BDM的中位
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