數值分析考題

1、一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1. 3.142和3.141分別作為的近似數具有（ ）和（ ）位有效數字. A4和3 B3和2 C3和4 D4和42. 已知求積公式，則（ ）A B C D3. 通過點的拉格朗日插值基函數滿足（ ） A0， B 0， C1， D 1，4. 設求方程的根的牛頓法收斂，則它具有（ ）斂速。 A超線性 B平方 C線性 D三次5. 用列主元消元法解線性方程組作第一次消元后得到的第3個方程（ ）. A B C D 單項選擇題答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分評卷人 二、填空題（每小題3分，共15分）1. 設, 則 ， .2. 一階均差 3. 已知時，科茨系數，

2、那么 4. 因為方程在區(qū)間上滿足 ，所以在區(qū)間內有根。5. 取步長，用歐拉法解初值問題的計算公式 .填空題答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得 分評卷人 三、計算題（每題15分，共60分）1. 已知函數的一組數據：求分段線性插值函數，并計算的近似值.計算題1.答案 1. 解 ， ，所以分段線性插值函數為 2. 已知線性方程組（1） 寫出雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式；（2） 對于初始值，應用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式分別計算（保留小數點后五位數字）.計算題2.答案 1.解 原方程組同解變形為雅可比迭代公式為高斯塞德爾迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯塞德爾迭代公式得3. 用

3、牛頓法求方程在之間的近似根（1）請指出為什么初值應取2？（2）請用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.計算題3.答案 3. 解 ， ，故取作初始值迭代公式為， ， 方程的根 4. 寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分.計算題4.答案 4 解 梯形公式 應用梯形公式得 辛卜生公式為 應用辛卜生公式得 得 分評卷人 四、證明題（本題10分）確定下列求積公式中的待定系數，并證明確定后的求積公式具有3次代數精確度證明題答案 證明：求積公式中含有三個待定系數，即，將分別代入求積公式，并令其左右相等，得 得，。所求公式至少有兩次代數精確度。又由于 故具有三次代數精確度。一、 填空（共20分，每題

4、2分）1. 設 ，取5位有效數字，則所得的近似值x= .2.設一階差商 ， 則二階差商 3. 設, 則 ， 。4求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 5解初始值問題 近似解的梯形公式是 6、 ，則A的譜半徑 。 7、設 ，則 和 。 8、若線性代數方程組AX=b 的系數矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都 。9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截斷誤差為 。10、為了使計算的乘除法運算次數盡量的少,應將表達式改寫成 。 填空題答案1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、8、 收斂9、10、二、計算題 （共75 分，每題15分）1

5、設 （1）試求 在 上的三次Hermite插值多項式使?jié)M足 以升冪形式給出。（2）寫出余項 的表達式計算題1.答案 1、（1） （2） 2已知 的 滿足 ，試問如何利用 構造一個收斂的簡單迭代函數 ，使 0，1收斂？計算題2.答案 2、由 ，可得 ， 3 試確定常數A，B，C和 a，使得數值積分公式有盡可能高的代數精度。試問所得的數值積分公式代數精度是多少？它是否為Gauss型的？計算題3.答案 3、 ，該數值求積公式具有5次代數精確度，它是Gauss型的 4 推導常微分方程的初值問題 的數值解公式：（提示： 利用Simpson求積公式。）計算題4.答案 4、 數值積分方法構造該數值解公式：對

6、方程 在區(qū)間 上積分，得，記步長為h, 對積分 用Simpson求積公式得 所以得數值解公式： 5利用矩陣的LU分解法解方程 組 計算題5.答案 5、解：三、證明題 （5分）1設 ，證明解 的Newton迭代公式是線性收斂的。證明題答案 1、一、填空題（20分）(1).設是真值的近似值，則有 位有效數字。(2). 對, 差商( )。(3). 設, 則 。(4).牛頓柯特斯求積公式的系數和 。 填空題答案（1）3 （2）1 （3）7 （4）1二、計算題1).（15分）用二次拉格朗日插值多項式的值。插值節(jié)點和相應的函數值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。計算題1

7、.答案 1）2).（15分）用二分法求方程區(qū)間內的一個根，誤差限。計算題2.答案 2) 3).（15分）用高斯-塞德爾方法解方程組 ，取，迭代三次(要求按五位有效數字計算).。計算題3.答案 3）迭代公式 4).（15分）求系數。計算題4.答案 4）5). (10分)對方程組 試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由計算題5.答案 5) 解：調整方程組的位置，使系數矩陣嚴格對角占優(yōu) 故對應的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經7步迭代可得：.三、簡答題1)（5分）在你學過的線性方程組的解法中, 你最喜歡那一種方法,為什么?2)（5分）先敘述Gauss求積公式, 再闡述為什么要引入它。簡

8、答題答案 1）憑你的理解去敘述。2）參看書本99頁。一、填空題（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，則a有( )位有效數字.2. 是以為插值節(jié)點的Lagrange插值基函數，則 ( ).3. 設f (x)可微，則求方程的牛頓迭代格式是( ).4. 迭代公式收斂的充要條件是 。5. 解線性方程組Ax=b (其中A非奇異，b不為0) 的迭代格式中的B稱為( ). 給定方程組，解此方程組的雅可比迭代格式為( )。填空題答案132.3.4. 5.迭代矩陣， 得 分評卷人 二、判斷題（共10分）1. 若，則在內一定有根。 ( )2. 區(qū)間a,b上的三次樣條函數是一個次數不超過三次

9、的多項式。 ( )3. 若方陣A的譜半徑，則解方程組Ax=b 的Jacobi迭代法收斂。 ( )4. 若f (x)與g (x) 都是n次多項式，且在n+1個互異點上，則 。 ( )5. 用近似表示產生舍入誤差。 ( )判斷題答案 1. 2. 3. 4. 5.得 分評卷人 三、計算題（70分）1. （10分）已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，求過這三點的二次插值基函數l1(x)=( )，=( ), 插值多項式P2(x)=( ), 用三點式求得( ).計算題1.答案 12. （15分） 已知一元方程。1）求方程的一個含正根的區(qū)間；2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式(判斷收斂

10、性)；3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。計算題2.答案 2.（1）（2）（3）3. （15分）確定求積公式 的待定參數，使其代數精度盡量高，并確定其代數精度.計算題3.答案 4. （15分）設初值問題 .(1) 寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數值解的公式；(2) 寫出用改進的Euler法（梯形法）、步長h=0.2解上述初值問題數值解的公式，并求解，保留兩位小數。計算題4.答案 4.5. （15分）取節(jié)點，求函數在區(qū)間上的二次插值多項式，并估計誤差。計算題5.答案 5 =1+2( ， 一、填空題( 每題4分，共20分)1、數值計算中主要研究的誤差有 和 。2、設是n

11、次拉格朗日插值多項式的插值基函數，則 ； 。3、設是區(qū)間上的一組n次插值基函數。則插值型求積公式的代數精度為 ；插值型求積公式中求積系數 ；且 。4、辛普生求積公式具有 次代數精度，其余項表達式為 。5、則。填空題答案1.相對誤差 絕對誤差 2. 13. 至少是n b-a 4. 3 5. 1 0二、計算題1、已知函數的相關數據由牛頓插值公式求三次插值多項式，并計算的近似值。計算題1.答案 解：差商表由牛頓插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值問題，其中步長，。計算題2.答案 解：3、（15分）確定求積公式。中待定參數的值，使求積公式的代數精度盡量高；并指出此時求積公式的代數精度。計算題3.答案 解：分別將，代入求積公式，可得。令時求積公