數(shù)學(xué)模型的課程設(shè)計——賽跑的速

1、 數(shù)學(xué)模型的課程設(shè)計 設(shè)計題目：賽 跑 速 度 班級 ： 組員 ： 課程設(shè)計任務(wù)書專業(yè)： 班級： 課程名稱： 賽跑的速度 學(xué)生姓名： 發(fā)題時間： 2013 年 7 月 1 日一、 課題名稱：賽跑的速度二、 課題條件參考文獻(xiàn)：1張?zhí)煸斨虚L跑有氧訓(xùn)練的生化基礎(chǔ)訓(xùn)練原則及方法寶雞文理學(xué)院學(xué)報，19962衣春林，李美貞賽跑最優(yōu)速度的數(shù)學(xué)模型與應(yīng)用山東工商學(xué)院學(xué)報，20013鄭壽炳中長跑最優(yōu)速度控制的數(shù)學(xué)模型體育與科學(xué)，19954姜啟源.數(shù)學(xué)模型(第三版).北京：高等教育出版社，20035趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗（第二版）. 北京：高等教育出版社，2003 賽跑的速度摘 要本文針對賽跑運(yùn)動員賽跑過

2、程中如何安排各階段的速度才能取得最好的成績，進(jìn)行了詳細(xì)的研究和分析，并對T.B.Keller提出的模型進(jìn)行了改進(jìn)。首先我們對美國著名數(shù)學(xué)家凱勒(TBKeller)提出的賽跑最優(yōu)速度模型進(jìn)行學(xué)習(xí)和分析，指出模型存在的缺陷和問題產(chǎn)生的原因。在短跑過程中要以運(yùn)動員的最大沖力跑完全程，然而運(yùn)動員本身能提供的最大沖力并不能保持恒定，受到?jīng)_力限制系數(shù)的約束，因此在我們改進(jìn)后的模型中將其考慮在內(nèi)進(jìn)行理論推導(dǎo)。在長跑過程中既需要有氧呼吸功能，又需要無氧呼吸功能，而且在加速跑過程中運(yùn)動員始終保持最大沖力加速多久不能確定，且在加速跑過程中不減速，與實際情況不符；而且由于海拔不同而使運(yùn)動員在賽跑過程中氧攝入量的差異

3、，從而導(dǎo)致單位時間提供的能量不同。鑒于原始模型的缺陷，我們改變了模型整體的推理方法并設(shè)計了新的基于參數(shù)實時采集的速度最優(yōu)模型，在短跑過程中將最大沖力恒定值替換為與事件有關(guān)的函數(shù)，并且將單位時間內(nèi)提供的能量設(shè)定為海拔高度的一次函數(shù)，并根據(jù)前人的研究成果確定該函數(shù)。在長跑過程中為了避免傳統(tǒng)模型出現(xiàn)的弊端，我們對一些實際中長跑訓(xùn)練進(jìn)行了調(diào)查、分析和研究，保留了傳統(tǒng)理論的方程結(jié)構(gòu)和參數(shù)擬合方法，以此為基礎(chǔ)提出了新的長跑最優(yōu)理論模型，將長跑分為：起步、加速跑、途中跑、沖刺跑四個階段，并且通過Matlab在計算機(jī)上進(jìn)行最小二乘擬合，模擬仿真，分析仿真結(jié)果以優(yōu)化推理方法，最終得到了預(yù)期的理論結(jié)果，并驗證了模

4、型的可靠性。關(guān)鍵字：短跑、中長跑、最小二乘擬合、海拔高度一、問題重述與提出：賽跑運(yùn)動員在參加賽跑時，要根據(jù)自己的生理狀況對賽程中各階段的速度做出最恰當(dāng)?shù)陌才牛云讷@得最好的成績。賽跑運(yùn)動員應(yīng)該根據(jù)不同長度的比賽采用不同形式的功能方式，在比賽過程中由于海拔、阻力等因素的影響，比賽過程中的速度也會不同，如何合理的根據(jù)不同情況，采取不同的方式賽跑才能取得最好的成績。根據(jù)如下因素建立合理的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出速度安排的合理方案：1、運(yùn)動員的生理參數(shù)（包括脈搏、體溫等與長跑有關(guān)的生理指標(biāo)）；2、賽跑運(yùn)動員賽跑適時速度；3、當(dāng)前環(huán)境參數(shù)（包括溫度、風(fēng)速、海拔等諸多影響速度的因素）；4、運(yùn)動員不同程度賽跑的供能

5、方式（包括有氧呼吸、無氧呼吸等）；根據(jù)以上方四方面內(nèi)容，再結(jié)合實際訓(xùn)練結(jié)果，設(shè)計合理的模型。二、問題分析：長跑歸根結(jié)底是一個體能消耗的問題，當(dāng)專業(yè)運(yùn)動員競技水平達(dá)到一定程度后，選手之問的體能總量差距已經(jīng)不是很明顯了，于是如何控制節(jié)奏以自身習(xí)慣合理分配體能，以最短的時間完成比賽就變成了長跑運(yùn)動員取得優(yōu)異成績的關(guān)鍵所在。這和以專家提出的：“掌握比賽，控制節(jié)奏”的戰(zhàn)術(shù)思想是相一致的，經(jīng)過上述分析，在最優(yōu)速度運(yùn)動模型的設(shè)計中考慮以下3點(diǎn)：1)運(yùn)動員在每一時刻體能的變化由兩部分組成：糖的無氧酵解產(chǎn)生的能量和運(yùn)動員在運(yùn)動過程中所消耗的能量，其中認(rèn)為運(yùn)動員自身產(chǎn)生的能量在整個運(yùn)動過程變化不是非常明顯可認(rèn)為是

6、定值。2)根據(jù)牛頓第二定律：，即運(yùn)動員所受的外力與加速度成正比。運(yùn)動員在運(yùn)動時受到自身向前的沖力和阻力共同作用，形成運(yùn)動員向前的動力正比于加速度。其中：阻力又可以分為體內(nèi)生成的阻力和體外由于自然原因形成的阻力(如：風(fēng)阻)，這些阻力都與速度成正比。3)分析運(yùn)動員單位時間消耗的能量可知，消耗能量的大小和運(yùn)動的速度有關(guān)，另一方面還與速度的變化有關(guān)通俗點(diǎn)講就是跑的越快，耗能越大；跑速變化越頻繁，耗能也越大。而且可以根據(jù)實際訓(xùn)練經(jīng)驗和已知的數(shù)據(jù)計算出兩者各自對于體能消耗的“邊際貢獻(xiàn)”各為多少，給兩者設(shè)定不同的權(quán)數(shù)，結(jié)合體內(nèi)單位時間生產(chǎn)的能量即可列出體能變化方程。依據(jù)以上思路，長跑運(yùn)動的最優(yōu)速度模型擬解決

7、的問題即可轉(zhuǎn)化為：“如何合理分配每一時段消耗的體能，使得完成規(guī)定賽跑路程所用時間最短，比賽成績越好”。而每一時段體能的變化又與當(dāng)時的跑速及跑速變化情況有很大關(guān)系，運(yùn)動員在不同的比賽中對于速度變化曲線的要求也是不相同的，當(dāng)實際速度與理想速度之間存在速度差時采取什么方式加速(減速)，能夠以更合理的體能消耗方式完成比賽就成為重點(diǎn)研究的對象。使運(yùn)動員在順利完成比賽的前提下，以最優(yōu)的體能消耗和最好的成績完成比賽，就是該模型需解決的問題。三、模型假設(shè)： 根據(jù)對傳統(tǒng)模型的分析得知，長跑運(yùn)動是一項集力學(xué)，生物學(xué)，空氣動力學(xué)，機(jī)械學(xué)等多方面知識的綜合運(yùn)動，最優(yōu)速度模型也是物理、生物、數(shù)學(xué)、計算機(jī)等多學(xué)科的有機(jī)結(jié)

8、合，而不是僅通過數(shù)學(xué)模型就可以完全描述的。但傳統(tǒng)模型卻試圖通過純粹的數(shù)學(xué)推導(dǎo)來描述這一整個運(yùn)動過程，最終因為運(yùn)用泛函求極值這樣復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法使得實現(xiàn)性降低，同時由于無法顧及事物的多方面造成過于理論化的數(shù)學(xué)模型脫離實際，與實際情況嚴(yán)重不符。考慮到這些情況，我們對模型進(jìn)行了一些有效的假設(shè)，通過假設(shè)使模型關(guān)注于解決對實際比賽更有意義的問題，這樣對模型的推導(dǎo)和實際的應(yīng)用將有所幫助。假設(shè)1：跑步過程中的外部因素對速度的影響與當(dāng)前速度成正比，比例系數(shù)為。由于其中風(fēng)力為最主要影響因素，則可以根據(jù)實測風(fēng)力修正系數(shù)；假設(shè)2：賽跑過程中的內(nèi)部因素產(chǎn)生阻力對速度的影響與速度成正比，比例系數(shù)為。由于其中以體溫為主要衡

9、量指標(biāo)，可以通過體溫變化修正系數(shù)；假設(shè)3：賽跑前運(yùn)動員的體能總值為恒定值，賽跑時體內(nèi)單位時間內(nèi)生成的能量為海拔高度的函數(shù)，為處于海平面時體內(nèi)單位時間內(nèi)生成的能量，并且研究表明，每上升1000米最大攝氧量下降約6%，即。由于運(yùn)動員初始能量和單位時間產(chǎn)生的能量所處的數(shù)量級與模型的正確與否關(guān)系不大，模型的精確性主要依靠體能模型中對于不同體能消耗原因的“邊際貢獻(xiàn)”定義合適的權(quán)值；假設(shè)4：根據(jù)具體訓(xùn)練目標(biāo)和訓(xùn)練計劃，事先確定此次訓(xùn)練的成績，即確定目標(biāo)時間。由于不同的訓(xùn)練目標(biāo)對于運(yùn)動員的要求不相同，即使相同訓(xùn)練目標(biāo)對于比賽的不同時期也不盡相同。速度最優(yōu)模型中的“最優(yōu)”一定基于某一個特定的比賽目標(biāo)，放置比賽

10、不顧而空談最優(yōu)速度，只會使模型脫離實際而無法實際應(yīng)用；假設(shè)5：根據(jù)經(jīng)驗，事先確定加速跑階段的運(yùn)動員跑步?jīng)_力范圍，通過終端監(jiān)測運(yùn)動員速度變化，和阻力參數(shù)的變化得出實時沖力，假設(shè)運(yùn)動員在起跑后的一段時間內(nèi)以接近最大沖力進(jìn)行加速跑，當(dāng)沖力下降到預(yù)期值并達(dá)到一定速度之后過渡進(jìn)入途中跑階段；假設(shè)6：根據(jù)教練員實際經(jīng)驗結(jié)合運(yùn)動員具體情況，事先確定進(jìn)入沖刺跑階段所需要剩余的能量。和計劃沖刺時所剩余的距離?；蛘邲_刺開始時刻。同樣道理，沖刺跑階段運(yùn)動員將在何時加速，以何種加速度進(jìn)行加速是應(yīng)該事先有所準(zhǔn)備，依據(jù)當(dāng)時的體能情況和對手情況分別對待，一味將最后的沖刺階段引入模型效果往往適得其反；假設(shè)7：由于以上參數(shù)因人

11、而異，特別是與運(yùn)動員的體重有關(guān)，為了消除這個因素的影響，我們對運(yùn)動員進(jìn)行單位建模，即以下設(shè)運(yùn)動員質(zhì)量。四、符號約定： ：外部阻力系數(shù)；：內(nèi)部阻力系數(shù)；： 體能總和； ： 海拔高度；：處于海平面時體內(nèi)單位時間內(nèi)生成的能量；：不同海拔高度單位時間生成的能量；：目標(biāo)時間；：加速階段跑步?jīng)_力；：實時沖力；：最大沖力；：賽跑前體能總量；：沖刺跑階段所需要剩余的能量；：計劃沖刺時所剩余的距離；： 沖刺開始時刻；：儲存于體內(nèi)的能量；：沖力限制系數(shù)；：速度函數(shù)；：帶量綱比例系數(shù)； ：途中跑過程中理想速度。五、模型建立與求解：、短跑模型當(dāng)賽程較短時運(yùn)動員可以用每一時刻的最大沖力跑完全程，這必然會取得最佳成績。至

12、于多長的賽程才能用這種方法跑，應(yīng)以儲存于體內(nèi)的能量不小于零為標(biāo)準(zhǔn)，由參數(shù)決定。假設(shè)運(yùn)動員克服生理限制后能發(fā)揮的最大沖力滿足，其中，是沖力限制系數(shù)，為初始時的最大沖力；因此通過解該微分方程組可以得到，（1）又由于短跑時持續(xù)時間較短，運(yùn)動員體內(nèi)溫度變化可以忽略不計，因此短跑時的內(nèi)部阻力可以近似看作零，只有外部阻力的作用。則由Newton第二定律得，求解得，（2）再考慮運(yùn)動員體內(nèi)能量的變化，其變化率為單位時間提供的能量與消耗的能量之差，即：再聯(lián)合（1）（2）解得， （3）設(shè)當(dāng)時，則在這種情況下運(yùn)動員所能跑的最遠(yuǎn)距離為 計算得， （4）根據(jù)某屆奧運(yùn)會男子百米決賽前六名在比賽中到達(dá)距離s與所用時間t（詳

13、表見附錄一），運(yùn)用Matlab軟件的最小二乘擬合（代碼見附錄二）求出參數(shù)：1.845；43.4；7.32；由于賽跑前運(yùn)動員的體能總值和處于海平面單位時間體能恢復(fù)值的大小對最終建模的結(jié)果影響不大，可以根據(jù)傳統(tǒng)模型所描述的設(shè)定關(guān)于體能的兩個值： =3000 =41.1877將以上參數(shù)代入（3）式，令，針對不同比賽地點(diǎn)可直接將其海拔高度代入求解，在這里我們不妨取=0，運(yùn)用Matlab工具求解此非線性方程（代碼見附錄三）得：22.8568再將其代入（4）式可以求得：215.26m即在海平面上，當(dāng)賽跑距離小于215.26m時，用每一時刻的最大沖力跑完全程是可行的，并且能夠取得最佳成績。而當(dāng)賽跑距離大于2

14、15.26m時，則需要將其看作中長跑進(jìn)行進(jìn)一步的研究。、中長跑模型1、修正后的速度模型建立：針對傳統(tǒng)模型體能變化的不合理之處，保留傳統(tǒng)模型中的方程結(jié)構(gòu)和模型中一些初始參數(shù)擬合方法，重新評估體能模型并做出修正，新的模型推導(dǎo)如下：由積分學(xué)理論知，比賽距離： （5）現(xiàn)在問題歸結(jié)為，當(dāng)和已知的情況下，如何分配不同時刻的，使得公式(5)成立，模型以運(yùn)動員速度與體能變化率的影響因素為基礎(chǔ)展開討論。1)速度的變化情況受賽跑時運(yùn)動員自身的沖力和來自體內(nèi)和體外阻力、的影響，設(shè)運(yùn)動員的沖力為，由牛頓第二定律，即得： （6）其中：和為內(nèi)部、外部阻力系數(shù)；式中是由運(yùn)動員自身控制的，運(yùn)動員可以通過速度的變化調(diào)整沖力，但

15、是受到運(yùn)動員自身所能發(fā)揮的最大沖力的限制，即有， 。2)體能的變化率為單位時間體內(nèi)恢復(fù)能量與消耗能量之差，單位時間消耗體能取決于：沖力與速度的乘積，和運(yùn)動員的速度變化有關(guān)，假設(shè)帶量綱比例系數(shù)分別為和，可得： （7）速度模型的建立和傳統(tǒng)模型相似，借鑒了傳統(tǒng)模型中運(yùn)用牛頓第二定律的思路，建立速度變化和體能變化兩個方程，但與其他研究不同的地方在于：速度模型中引入外部阻力參數(shù)和海拔高度的影響，并且通過實現(xiàn)外部環(huán)境參數(shù)采集的方法將外部阻力參數(shù)應(yīng)用到模型中。體能模型增加速度變化大小對體能消耗的影響，并增加兩個量綱權(quán)值系數(shù)以表述不同因素對體能消耗的影響。2、最優(yōu)速度模型的推導(dǎo)：根據(jù)中長跑的特點(diǎn)將整個比賽過程

16、分為加速跑，途中跑和沖刺跑三個階段：加速跑和沖刺跑階段視具體情況采用不同的加速度，途中跑階段占整個賽程的絕大部分，理論上應(yīng)以勻速跑為主，但根據(jù)實際訓(xùn)練情況來看：運(yùn)動員在整個途中跑階段速度不是一成不變的，會根據(jù)當(dāng)時所處的賽程和實際情況速度上存在變化，示意圖如下：圖（1）中長跑比賽三個階段實際上途中跑階段是整個長跑比賽中的關(guān)鍵，運(yùn)動員將會把大部分精力投入到這一占整個長跑過程90以上的賽程中，這一階段對運(yùn)動員體能、心理、技戰(zhàn)術(shù)等多方面的要求都比較高，運(yùn)動輔助訓(xùn)練器將把主要精力放在途中跑階段，試圖通過合理的速度建議讓運(yùn)動員在該階段的成績有所提高，能在途中跑階段合理分配體力，牽制對手，為最后的沖刺跑打下

17、堅實基礎(chǔ)，下面根據(jù)各個階段對模型進(jìn)行分析。3、加速跑階段：加速跑階段是指時間為的階段，運(yùn)動員在加速跑階段應(yīng)該迅速加速，搶占有利位置順利過渡到途中跑階段。為了計算得方便我們根據(jù)Keller模型中所述，運(yùn)動員在前291m內(nèi)可以認(rèn)為以最大沖力加速跑，代入（6）可得： （8） 解此微分方程可得的變化函數(shù)為： （9）根據(jù)公式解出的該階段速度變化情況，可以為何時過渡到途中跑階段提供參考，在實際應(yīng)用時可以根據(jù)測速器測出的運(yùn)動員當(dāng)前速度與該計算值進(jìn)行比較，并參考事先擬定的訓(xùn)練計劃，確定何時過渡到途中跑階段，開始提供速度建議。4、沖刺跑階段：依據(jù)假設(shè)(6)，設(shè)定如下參數(shù)：1)沖刺階段初始時刻運(yùn)動員所需剩余的體能

18、；2)進(jìn)入沖刺階段時所剩余的沖刺距離；3)沖刺階段擬需要的沖刺時間；運(yùn)動員應(yīng)該在此階段結(jié)束后將所有體能消耗至最小值，全力進(jìn)行沖刺，在教練期望時間內(nèi)沖刺跑完整個賽程。5、途中跑過程：該模型最重要的是最佳的速度建議，這里設(shè)為，公式形如： （10） 式中即為模型所求的建議速度值。已知離散函數(shù)中差分的方法表示微分求導(dǎo)，將公式（8）中的加速度用當(dāng)前時刻的速度和前一采樣點(diǎn)的速度差來表示，公式可變?yōu)椋?由于長跑中速度變化不遵循單一連續(xù)函數(shù)所以，模型將整個途中跑階段的速度抽樣成為離散函數(shù)，記每個采樣點(diǎn)代表一個時刻運(yùn)動員的速度，根據(jù)實時測速與計算可獲得當(dāng)前速度、巨以及一些輔助參數(shù)和。根據(jù)對途中跑階段的分析，已經(jīng)

19、確定途中跑末端的體能值和時間，則在時間段至過程中，體能由下降到。由實際經(jīng)驗可得途中跑階段需要運(yùn)動員狀態(tài)穩(wěn)定，體能的理想變化率應(yīng)為恒定值（即體能均勻消耗），每一時刻產(chǎn)生的體能和消耗的體能差值應(yīng)控制在一定范圍內(nèi)，易得理想體能變化率為。 由于體能變化率一定時間內(nèi)持續(xù)穩(wěn)定，將理想體能變化率代入體能變化方程（7）得: (11)可以解出速度為： (12)式中的為理想速度，因為速度是不可能無限增加，勢必會受到體能和沖力的約束。該速度的實際意義在于：如果運(yùn)動員以的速度進(jìn)行整個長跑過程，所產(chǎn)生的體能扣除由于速度變化和運(yùn)動沖力消耗的體能，可以使得運(yùn)動員在剩余的途中跑階段的總體體能消耗更加均勻，速度變化更加吻合理想

20、的曲線，最終使得整個比賽過程達(dá)到預(yù)定目標(biāo)。為了求出理想速度，可以通過模擬測試，記錄下時刻的速度以及，并且將代入(3) 式求出，然后通過最小二乘擬合出參數(shù)（代碼見附錄四、附錄五），數(shù)值如下：1.648；2.817；0.5087；現(xiàn)在利用在時刻的連續(xù)性，由（9）（12）式得到。綜上所述，在中長跑過程中，在時間小于時，運(yùn)動員可以按照最大的沖力比賽，到達(dá)時，就將速度調(diào)整為，直至剩余距離為教練賽前安排的時，進(jìn)行最后的沖刺，這樣在理論上就可以取得最佳的成績。六、模型推廣：通過前面的數(shù)學(xué)模型理論推導(dǎo)，結(jié)合人體生理上的其他因素，可在Windows平臺上模擬運(yùn)行，能在中長跑訓(xùn)練科學(xué)化的運(yùn)動輔助訓(xùn)練器上起到一定的

21、作用。通過訓(xùn)練器配置的生理傳感器和GPS測速系統(tǒng)在運(yùn)動員訓(xùn)練過程中對運(yùn)動員的當(dāng)前速度、生理參數(shù)和外界環(huán)境因素進(jìn)行數(shù)據(jù)采集、處理，經(jīng)過運(yùn)算最終給出佩帶者當(dāng)前運(yùn)動理想速度建議。對于賽跑運(yùn)動員平時鍛煉起到科學(xué)訓(xùn)練的作用。 此外，本模型還可進(jìn)一步改進(jìn)，用于游泳、皮劃艇等比賽項目的速度安排，使運(yùn)動員取得最好的成績。七、附錄附錄一：某屆奧運(yùn)會男子百米決賽前六名在比賽中到達(dá)距離s與所用時間ts（m）05152535455565758595t（s）00.9552.4353.4354.3355.2306.0856.9457.8158.6909.575附錄二：M-file：function f=curvefun1

22、(x,tdata)f=(x(1)*x(2)*x(3)./(x(2)-x(1)*(x(1)*exp(-(tdata./x(1)-x(2)*exp(-(tdata./x(2) 命令代碼：tdata=0 0.955 2.435 3.345 4.355 5.230 6.085 6.945 7.815 8.690 9.575;cdata=0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 ;x0=1.5 40 7.0;x=lsqcurvefit(curvefun1,x0,tdata,cdata);f=curvefun1(x,tdata)附錄三：M-file：function ft=funt(t

23、)ft=2.2405*2.71828.(-0.046.*t)-182.7*2.71828.(-0.565.*t)+41.1877.*t-942.2;命令代碼： z=fzero(funt,27.63)附錄四：編寫程序定義數(shù)據(jù)，其中自變量x與應(yīng)變兩y分別代表擬合參數(shù)的時間t和距離S：xydataMfunction Ix，y=xydaxydataM;x=632 749 1127 2321;y=50 60 100 200;附錄五：編寫最小二乘擬合函數(shù)paraInparamx，y=xydata；a0=1 11；optionsTolX=O01；optionsDisplay=off；a=fminsearch(twoexps，a0,options，x，y)；課程設(shè)計綜合成績評定表課程名稱數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計報告設(shè)計題目賽跑的速度指導(dǎo)教師評語指導(dǎo)教師簽字：年 月 日設(shè)計報告成績綜合評定項 目等 級1、計算和繪圖能力2、綜合運(yùn)用專業(yè)知識能力3、運(yùn)用計算機(jī)能力和外語能力4、查閱資料、運(yùn)用工具書的能力5、獨(dú)立完成設(shè)計能力6、書寫情況（文字能力、整潔度）7、表述能力（邏輯性、條理性）學(xué)生姓名學(xué)生班級平時考核成績設(shè)計