巧算氣體做功之“圖像法

1、巧算氣體做功（二）1巧算氣體做功（二）3每個學生都應該用的“超級學習筆記”的一段，過程3 1的方程為 T1B2V2 ,£為常數。巧算氣體做功之之“圖像法”前面已經介紹了對于包含有特殊熱力學過程時可以用特殊的公式直接計算氣體對外界所 做的功。但是我們遇到的題目有很多不是發(fā)生特殊的熱力學過程，而是一般的變化過程，沒有 使用現(xiàn)成的公式。也有的題目是選擇性題目只需判斷做功的正負而不需要計算，如果采用公 式法計算較為麻煩。還有一些題目是以氣體狀態(tài)變化圖像岀現(xiàn)的，要轉化為用公式計算比較麻 煩。那么我們該怎么辦呢？別急，這里我們就介紹一種使用氣體狀態(tài)變化圖像進行判斷和計算熱力學過程中氣體所做 的功

2、的方法，由于采用氣體狀態(tài)變化圖像來解決問題，我們就叫它圖像法。使用圖像法解題， 比較直觀，有時候一眼就能看岀氣體是做正功還是負功。下面我們來看看這個方便的招。大思路我們常見的各狀態(tài)變化圖像可以按曲線的形狀分為封閉形曲線和不封閉曲線。處理這兩種圖像時稍有不同。曲線封閉：一般是循環(huán)過程，需要根據題目條件，獲得變化過程的P V 圖。在 P V圖像中計算所圍面積，就是該循環(huán)過程中氣體所做的功。順時針循環(huán)，做正功，；逆時針循環(huán)，做負功。曲線不封閉:若需要計算做功大小，也需根據題目條件獲得P V圖，然后計算曲線與橫坐標軸（即 V軸）所圍的面積，這個面積就是這個過程中氣體所做的 功。如果狀態(tài)變化方向沿 V軸

3、正方向則做功為正， 沿V軸反方向則功為負, 如果垂直于V周則為零。如果我們只需判斷氣體是否做功，則可以根據任何自己熟悉的狀態(tài)變 化圖像判斷初始狀態(tài)和末狀態(tài)的體積關系。體積增加，做正功；體積減小， 做負功；體積不變，不做功。好了，我們就去體驗一下怎樣使用圖像法。經典體驗（一）如圖，1mol理想氣體經歷了一個在 T V圖上標為12 3 1的循環(huán)過程。其中 ，過程1 2的方程為T =2T（1 -； BV）BV，過程2 3是經過原點的線段上狀態(tài)1和2的熱力學溫度為T1和4 T。求該氣體在此循環(huán)中對外所做的功體驗思路：題目中的循環(huán)過程是一個復雜的熱力學過程，不是特殊的熱力學過程，所以不能使用公式法解決問

4、題。 題目給岀了一個T V圖，我們可以先將其裝換為P V圖，其P- V圖也為封閉曲線。計算圖形面積即可得到功的大小。體驗過程：第一步，先按題意畫岀 P V圖；先確定各段曲線形式：1 2過程：由理想氣體狀態(tài)方程PV=n RT和已知的 2T1（2BV）BV有2P = -RB2T1V - 2RBT1，因此P與V成正比，在 P V圖上是直線。2 3過程：符合等壓過程 T V曲線，故在 P V上是水平線，P=F2o2 2 23 1過程：由PV=nRT及TV有P=RTB V，P與V成正比，在P V圖上為直線。再確定3點的狀態(tài)參數：1 點：（P1，V1，T1）時 v = v2 = 2B = 2 y。再由有P

5、2 = $ R，因此2點狀態(tài)每個學生都應該用的點：當 T= T1 時由公式 T =2T,11BV）BV 有 2=皆;當 TT1巧算氣體做功（二）#巧算氣體做功（二）#參數為 （期,劌1，汀1）o3點：由題目有2 2 2 2P3=P2。由 t1b2v2有 E =tb 2v32，再由即3P2V2_ T2V3 =2乂T T，結合兩式有1411V3 V V1，故3點狀32態(tài)參數為（詐，1乂,打1）o由此，可以畫岀 P V圖如右圖。第二步，標岀循環(huán)方向，即是圖中1 2 3 1方向，由于順時針，故為正功；第三步，計算圖像所圍面積，轉化為功；“超級學習筆記”巧算氣體做功（二）#巧算氣體做功（二）4該循環(huán)過程

6、中氣體所做的總功為W =2（R-V3）二：時 h；RT1 o 巧算氣體做功(二)6小 結：這個例題只是在畫 PV圖時稍微有些難度，但是能很好的反映使用圖像法的關鍵畫岀PV圖，求面積。從上可以看岀P V圖上任意一條曲線與 V軸的面積反映的就是該過程所做的功。對于一個循環(huán)過程，將各段累加起來，其所作的功 為循環(huán)曲線所圍面積，功的正負則與循環(huán)的方向有關。對于不封閉曲線的處理， 則稍微簡單一些，這里就不給例子了。經典體驗(二)體驗思路:體驗過程:如圖所示，一定質量的理想氣體從A經ACDB的一個循環(huán)過程后到達 B狀態(tài)，求在整個過程中氣體所 做的功。題目中的循環(huán)過程是一個復雜的熱力學過程，其中AC為等壓膨

7、脹過程，CD為等容過程，DB為等壓壓縮過程。 這些過程所做的功都可以用上一專題所介紹的公式法 分階段計算功的大小，然后相加就得到在整個過程中V每個學生都應該用的氣體所做的功。但是在這里我們可以使用圖像法求解此題。假設氣體還繼續(xù)發(fā)生了從 B到A的過程，由于B狀態(tài)下氣體的體積和 A狀態(tài)下氣體體積相同，故此過程氣體不做功。則ACDB過程和ACDBAi程氣體所做的功是相等的，故只需計算 ACDBA過程氣體所做的功。 ACDBAi程氣體P-V圖為封閉曲線, 面積大小為(P1-P2) (V2-V1)。同時由于 ACDBA為順時針循環(huán)，故做正功，因此所 求過程氣體所做功為(P1-P2 ) ( V2-Vl)

8、o小 結：由此題可以看出，在氣體變化過程中，氣體經過一系列變化，即經過一個復雜變 化后，氣體體積最終沒有發(fā)生變化，但氣體與外界卻有機械功，而且功的正負與 過程的方向有關。故有時候我們不能僅憑氣體體積變化與否來判斷氣體是否對外 界做功。提示：好了，下面我們來試試兩道題目，看看是不是真的好用。(1) 如右圖所示，已知一定質量的理想氣體，從 狀態(tài)1變化到狀態(tài)2。問：在此過程中氣體 對外是否做功？(2) 用n mol理想氣體做熱機的工作物質，隨著熱機做功，氣體狀態(tài)變化完成一個循環(huán)，如“超級學習筆記”圖所示，過程1 2和2 3在圖中是直線，且 23是等容過程，過程 31可以表達為T =0.5T(3 -

9、bV)bV , b為常數。求氣體在一個循環(huán)中所做的功。每個學生都應該用的(3) 一定質量的理想氣體，由平衡狀 態(tài)A經過一系列變化過程到達平衡狀 態(tài)B，且有VavVb。如圖，如果氣體變 化按AEDCB的變化過程進行，求氣體 在這個變化過程中所做的總功。試一試答案試一試(1) 指點迷津這是一個不封閉曲線，只需要判斷是否對外做功，而不需要計算，因此只需判斷1、2兩狀態(tài)的體積即可。雖然狀態(tài) 1和狀態(tài)2在一條直線 上，但并不是說p T圖上的所有直線都是等容 線，只有延長線過原點的直線才表示一個等容 過程。我們可以判斷等容線斜率來判斷1、2兩狀態(tài)下氣體體積。實踐略解 分別做岀過1和2的等容線I和由圖可知，直線I的斜率大于直線H的斜率，貝U V n> V i,即卩V > V1,所以，從狀態(tài)1變化到狀 態(tài)2,氣體膨脹對外做功了。試一試(2)“超級學習筆記”指點迷津 此題與例題基本相同，畫岀 PV圖求面積即可。 實踐略解 畫岀的P V圖如右圖，為順時針循環(huán)，求得功為W =；(P -巳)22 -乂)nRTlO試一試(3)指點迷津 此題可以分為兩個部分，其中一部分為AE段，為不封閉曲線，直接根據其與坐標軸所圍面積以及曲線方向求解。另一段為EDCB