機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題-答案

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題解答一、填空題1、用最速下降法求f(X)=100(x2-X12)2+(1-XI)2的最優(yōu)解時(shí)，設(shè)X(0)=,T,第一步迭代的搜索方向?yàn)椴?7,-50To2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向，二是計(jì)算最優(yōu)步長(zhǎng)。3、當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下,任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成高低高趨勢(shì)。5、包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為n維優(yōu)化問題。16、函數(shù)-XtHXBtXC的梯度為HX+B27、設(shè)G為nXn對(duì)稱正定矩陣，若n維空間中有兩個(gè)非零向量d°,d1,滿足(d&

2、#176;)TGd=0,則d°、d1之間存在共存關(guān)系。8、設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、對(duì)于無(wú)約束二元函數(shù)f(Xi,X2),若在Xo(Xi0,X2o)點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是,充分條件是(正定。10、庫(kù)恩-塔克條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)f(x)x210x36的極小點(diǎn)，初始搜索區(qū)間a,b10,10,經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為10。12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。13、牛頓法的搜索方向dk=,其計(jì)算量工，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn)附

3、近位14、將函數(shù)f(X)=x12+X22-X1X2-10X1-4x2+60表示成XTHXBTXC的形2式015、存在矩陣H,向量d1,向量d2,當(dāng)?II足djHd=0,向量d1和向量d2是關(guān)于H共腕。16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點(diǎn)。17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最優(yōu)步長(zhǎng)。18、與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值(下降)的方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值(變化為零）的方向。19、對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為a,b,中間插入兩個(gè)點(diǎn)ai,bi,aib1,計(jì)算出fafb1，則縮短后的搜索區(qū)間為

4、（am）20、由于確定（搜索方向）和最佳步長(zhǎng)的方法不一致，派生出不同的無(wú)約束優(yōu)化問題數(shù)值求解方法。1、導(dǎo)出等式約束極值條件時(shí)，將等式約束問題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束問題的方法有（消元法）和（拉格朗日法）。2、優(yōu)化問題中的二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變（處）。3、優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可行設(shè)計(jì)點(diǎn)位（可行域內(nèi)）內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。4、方向?qū)?shù)定義為函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一方向的（變化率）5、在n維空間中互相共腕的非零向量個(gè)數(shù)最多有（n）個(gè)。6、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的迭代過程可在可行域外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的作用是隨便迭代點(diǎn)逼近（邊界）或等式約束曲面。二、選擇題1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共腕梯度法C、牛頓型法DDFP

5、&2、對(duì)于約束問題,r、，22minfXXiX24x243、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解B優(yōu)化問題。A無(wú)約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為a,b,中間插入兩個(gè)點(diǎn)ai、bi,ai<bi,計(jì)算出f(ai)<f(b1),則縮短后的搜索區(qū)間為DAai,biBbi,bCai,bDa,bi5、D不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A設(shè)計(jì)變量B約束條件C目標(biāo)函數(shù)D最佳步長(zhǎng)6、變尺度法的迭代公式為xk+1=xk-akH<Vf(xk),下列不屬于H必須滿足的條件的是CoA.Hk之間有簡(jiǎn)單的迭代形式B.擬

6、牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對(duì)稱正定7、函數(shù)f(X)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的&A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D下降方向8、下面四種無(wú)約束優(yōu)化方法中，D在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標(biāo)輪換法9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(X)在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處BoA正定B半正定C負(fù)定D半負(fù)定10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法一一黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是D,假設(shè)要求在區(qū)I可a,b插入兩點(diǎn)a1、a2,且ai<a2。A、具縮短率為B、ai=b-入(b-a)C

7、、a尸a+入(b-a)D在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值A(chǔ)方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值_B方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值C方向。A上升B、下降C、不變D為零12、二維目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極小點(diǎn)就是旦。A等值線族的一個(gè)共同中心B、梯度為0的點(diǎn)C、全局最優(yōu)解D海塞矩陣正定的點(diǎn)13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為旦向量。A相切B正交C成銳角D共腕14、下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是A。A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。D初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)三、問答題（看講義）1

8、、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法（2）、插值法：沒有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù)一一懲罰函數(shù)求解該新目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解3

9、、試述數(shù)值解法求最佳步長(zhǎng)因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法，利用計(jì)算機(jī)通過反復(fù)迭代計(jì)算求得最佳步長(zhǎng)因子的近似灰4、試述求解無(wú)約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接、簡(jiǎn)單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對(duì)二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大。5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。6、什么是共腕方向滿足什么關(guān)系共腕與正交是什么關(guān)系四、解答題1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f（X）=+xix"xi的最優(yōu)解，設(shè)

10、初始點(diǎn)x（0）=-2,4T,選代精度£=（迭代一步）。解：首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù)，計(jì)算當(dāng)前迭代點(diǎn)的梯度向量值梯度法的搜索方向?yàn)?，因此在迭代點(diǎn)x（0）的搜索方向?yàn)?2,-6在此方向上新的迭代點(diǎn)為：把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量的函數(shù)令，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)新的迭代點(diǎn)為當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度,因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第一迭代步完成。2、試用牛頓法求f(X)=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=2,1T。解1：(注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是修改題目后解法。)牛頓法的搜索方向?yàn)?因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0)的梯度向量、

11、海色矩陣及其逆矩陣不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題目的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點(diǎn)x(0)=1,2T作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算牛頓法的搜索方向?yàn)?因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0)的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：初始點(diǎn)梯度向量：海色矩陣：海色矩陣逆矩陣：當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋盒碌牡c(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量的函數(shù)令，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)新的迭代點(diǎn)為當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度,因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第二迭代步：因此不用繼續(xù)計(jì)算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)

12、最優(yōu)點(diǎn)。這正是牛頓法的二次收斂性。對(duì)正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。3、設(shè)有函數(shù)f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。解：首先利用極值必要條件找出可能的極值點(diǎn)：令求得,是可能的極值點(diǎn)。再利用充分條件正定(或負(fù)定)確認(rèn)極值點(diǎn)。因此正定,是極小點(diǎn)，極值為f(X*)=-84、求目標(biāo)函數(shù)f(X)=x12+x1x2+2x22+4x1+6x2+10的極值和極值點(diǎn)。解法同上5、試證明函數(shù)f(X尸2x12+5x22+x32+2x3X2+2x3X1-6x2+3在點(diǎn)1,1,-2T處具有極小值。解：必要條件：將點(diǎn)1,1,-2T帶入上式，可得充分條件=40正定。因此函

13、數(shù)在點(diǎn)1，1，-2T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題minf(X)=(x1-3)2+(x2-2)2g1(X)=x1一x2+540g2(X)=x1一2x2-p440g3(X)=x1>0g4(X)=x2>0驗(yàn)證在點(diǎn)x2,1TKuhn-Tucker條件成立。解：首先，找出在點(diǎn)X2,1T起作用約束：g1(X)=0g2(X)=0g3(X)=2g4(X)=1因此起作用約束為g1(X)、g2(X)。然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示為起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。二,求解線性組合系數(shù)得到均大于0因此在點(diǎn)X2,1TKuhn-Tucker條件成立7、設(shè)非線性規(guī)

14、劃問題22minf(X)(x12)2x22s.t.g1(X)x10g2(X)x20221,0 T 為其約束最優(yōu)點(diǎn)。g3(X)x12x2210用K-T條件驗(yàn)證解法同上8、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=x1+X2,受約束于：2gi(X)=-x1+X2>0g2(X)=X1>0寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解：內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為其中：r>產(chǎn))>r>r(k)>0是一個(gè)遞減的正值數(shù)列r的=Cr（k-i）,o<c<i因此罰函數(shù)為：9、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=(x1-1)2+(X2+2)2受約束于：gi(X)=-x2-x1-1>0g2(X)=2-x1-x20g3(X)=x

15、1>0g4(X)=x2>0試寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解法同上10、如圖，有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長(zhǎng)為x的方塊并折轉(zhuǎn),造一個(gè)無(wú)蓋的箱子，問如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLA歆件求解的程序。11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm的平底無(wú)蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLA歆件求解的程序。12、一根長(zhǎng)l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLA歆件求解的程序。

16、13、求表面積為300m的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLA歆件求解的程序。14、薄鐵板寬20cmi折成梯形槽k,求梯形側(cè)邊多長(zhǎng)及底角多大，才會(huì)使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長(zhǎng)度為c,高度為h,面積A=64516mm斜邊與底邊的夾角為8,見圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長(zhǎng)s的倒數(shù)成比例關(guān)系（s只包括底邊和兩側(cè)邊，不計(jì)頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型。并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。16、某電線電纜車間