商空間及其應(yīng)用

1、商空間及其應(yīng)用劉用麟（武夷學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建武夷山354300）摘 要：研究了商空間的性質(zhì)，給出了有關(guān)商空間第一、第二同構(gòu)定理和同態(tài)基本定理，作為應(yīng)用，證明了線性代數(shù)中的兩個(gè)著名維數(shù)公式是它們的直接推論.關(guān)鍵詞：線性代數(shù), 商空間, 同構(gòu)定理, 維數(shù)公式中圖分類號(hào): O151.2 MR (2000): 15A03Quotient Spaces and ApplicationsLIU Yonglin（Mathematics Department of Wuyi University, Wuyishan, Fujian 354300）Abstract: This paper investigates

2、 the properties of quotient spaces and obtains the first, second isomorphism theorems and homomorphism fundamental theorem. As the applications, we prove that two famous dimensional formulas in linear algebras are their corollaries.Key words：Linear algebra, quotient space, isomorphism theorem, dimen

3、sional formula1. 商空間的概念在近世代數(shù)，群理論中有商群的概念，環(huán)理論中有商環(huán)的概念. 類似地，在線性空間理論中我們可以有商空間的概念.設(shè)W是數(shù)域P上線性空間V的子空間，利用W，可在V的向量向定義一個(gè)二元關(guān)系： 當(dāng)且僅當(dāng) W命題 1.1 是V的一個(gè)同余關(guān)系.證明：V，有0W，所以；,V，若，則0W，于是（）W，即W，因此；,V，若且，則，W，于是（）（）W，這樣，因此是一個(gè)等價(jià)關(guān)系. ,W，若，則，W，于是（）（）（）（）W，于是. 因此是一個(gè)同余關(guān)系.令xV | x表示向量所在的等價(jià)類，容易證明W|W . 這些等價(jià)類我們可稱為子空向W的陪售，由于線性空間中的向量關(guān)于加法滿足交

4、換律，故不必區(qū)分左、右陪集.下面考慮商集VWV，在VW中定義兩個(gè)運(yùn)算，VW，P：，.由命題1.1，容易證明這兩個(gè)運(yùn)算均是良好定義的. 根據(jù)線性空間的定義，容易驗(yàn)證VW關(guān)于這兩個(gè)運(yùn)算構(gòu)成數(shù)域P上的一個(gè)線性空間.定義1.2 如上定義的線性空間稱為V關(guān)于W的商線性空間，簡(jiǎn)稱商空間.命題1.3 設(shè)V是維線性空間，W是它的維子空間，則商空間VW的維為.-基金項(xiàng)目：福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2006J0394)及國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60474022)作者簡(jiǎn)介：劉用麟，男，教授，博士，研究方向：邏輯代數(shù)、計(jì)算智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)電話：E-mail:證明：設(shè)，是W的基，將它擴(kuò)充成V的一個(gè)基：，下證，是VW的

5、一個(gè)基.設(shè)，則，于是W，這樣可設(shè),即 .由于，線性無關(guān)，可得，即，線性無關(guān).VW，設(shè)，則W.于是.因此我們證明了dim（VW）.2. 同構(gòu)定理定義2.1 設(shè)V與V是數(shù)域P上兩個(gè)線性空間，f：VV是一個(gè)映射，若滿足：（1），V，有f（）f（）f（），（2）P，V，有f（）f（）.則稱f是線性空間V到V的一個(gè)同態(tài)映射.命題2.2 設(shè)f是線性空間V到V的同態(tài)映射，則（1）f（0）0，（2）f（）f（），（3）f（）.證明：易證.命題2.3 設(shè)f是線性空間V到V的同態(tài)映射，W是V的子空間，則f（W） f（）|W 是V的子空間. 特別地，Im f f（V）是V的子空間，稱為f的像.證明：根據(jù)子空間判定方

6、法易證.命題2.4 設(shè)f是線性空間V到V的同態(tài)映射，W是V的子空間，則f -1（W）V | f（）W 是V的子空間. 特別地，ker f V | f（）0是V的子空間，稱為f的核.證明：根據(jù)子空間判定方法易證.定理2.5（第一同構(gòu)定理） 設(shè)f是線性空間V到V的滿同態(tài)，W是V的子空間，則Vf -1（W） VW.證明：令：Vf -1（W）V W，這里f -1（W）f（）W.按通常的代數(shù)方法，可證是一個(gè)同構(gòu)映射.推論2.6（同態(tài)基本定理） 設(shè)V是一個(gè)線性空間，則V的任一商空間都是V的同態(tài)象. 反之，若Vf（V）是V的同態(tài)象，則VV ker f.證明：前半部分只需驗(yàn)證映射：是一個(gè)滿同態(tài)，后半部分是第一

7、同構(gòu)定理的直接推論.定理2.7（第二同構(gòu)定理） 設(shè)W1、W2是線性空間V的兩個(gè)子空間，則（W1W2）W2 W1（W1W2）.證明：令：W1（W1W2） W2，這里W2. 按通常的代數(shù)方法，可證是一個(gè)滿同態(tài). 又可證kerW1W2，由同態(tài)基本定理，W1（W1W2）（W1W2） W2.3. 若干應(yīng)用應(yīng)用線性空間的第二同構(gòu)定理，我們可得線性代數(shù)中的一個(gè)著名維數(shù)公式.定理3.1 設(shè)W1，W2是有限維線性空間V的兩個(gè)子空間，則dim（W1W2）dimW1dimW2dim（W1W2）.證明：由定理2.7，（W1W2）W2W1（W1W2），于是dim（W1W2） W2）dim（W1（W1W2）. 由命題1.

8、3知dim（W1W2）dim W2dimW1dim（W1W2）.應(yīng)用線性空間的同態(tài)基本定理，我們可得線性代數(shù)中的另一個(gè)著名的維數(shù)公式.定理3.2 設(shè)f是數(shù)域P上線性空間V到V的同態(tài)映射，dimVn，則dim ker fdim Im f n .證明：由推論2.6，Im f Vkerf，于是dim Im fdim（Vker f）.由命題1.3，可得dim Im f ndim ker f.注：定理3.2有兩個(gè)有用的推論：推論3.3 設(shè)V是數(shù)域P上有限維線性空間，、是V上的自同態(tài)（線性變換），則dim Im（）dim Im（）dim（Im（）ker（）.證明：將限制在子空間Im（）上，知| Im（）是

9、Im（）到V的一個(gè)同態(tài)映射，由定理3.2，dim（ker（）Im（）dim Im（）dim Im（）.推論3.4 設(shè)A, B是數(shù)域P上m×n, n×m矩陣，則r（AB） r（B）dim（R（B）N（A） r（A）dim（R（AT）N（BT）這里R(B)X | BYX，YPS，N(A)X | AX0，XPn是Pn的子空間，r（A）為A的秩.證明：將A限制在子空間R(B)上，則A可看成R(B)到R(A)的一個(gè)同態(tài)映射，其像為R(AB)，核為R(B)N(A)，于是由定理3.2，dim（R（B）N（A）dim R（AB）dim R（B）.由于dim R（AB）r（AB），dim R

10、（B）r（B），故有： r（AB）r（B）dim（R（B）N（A）.（*）因?yàn)閞（AB）r（AB）T）r（BT AT），r（A）r（AT），將BT AT應(yīng)用到（*）式，可得：r（AB）r（A）dim（R（AT）N（BT）.例1 證明Sylvester不等式r（A）r（B）nr（AB）min r（A），r（B），其中A為n列，B為n行.證明：由推論3.4，有r（AB）r（B）dim（R（B）N（A）. 因?yàn)閚r（A）dim N(A)dim（R（B）N（A）0，所以r（AB）r（B）dim（R（B）N（A） r（B）（nr（A） r（A）r（B）n.又由推論3.4，顯然有r（AB）r（B），r（A

11、B）r（A）.例2 證明Frobenius不等式r（ABC）r（AB）r（BC）r（B）.證明：由推論3.4，r（ABC）r（BC）dim（R（BC）N（A），r（AB）r（B）dim（R（B）N（A），兩式相減得：r（ABC）r（AB）r（BC）r（B）dim（R（B）N（A）dim（R（BC）N（A）.因?yàn)镽（BC） R（B），所以dim（R（B）N（A）dim（R（BC）N（A）0，因此r（ABC）r（AB）r（BC）r（B）.例3 設(shè)，都是數(shù)域P上n維線性空間V上的線性變換，證明dim ker（）dim ker（）dim ker（）.證明：dim Im（）dim Im（）dim（Im（）ker（），dim Im（）dim ker（）n，dim Im（）dim ker（）n.于是，有dim ker（）dim ker（）dim（Im（）ker（）. dim ker（）dim ker（）.例4 設(shè)是數(shù)域P上n維線性空間V上的線性變換，證明dim Im（2）dim Im（）當(dāng)且僅當(dāng)Im（） ker（）V.證明：由推論3.3，dim Im（2）dim Im（）dim（Im（）ker（），于是dim Im（2）dim Im（）當(dāng)且僅當(dāng)dim（Im（）ker（）0, 當(dāng)且僅當(dāng)Im（）ker（）0. 又由定理3.2