三角形全等的探究--教學設計（熊瑩盈）

1、.全等三角形斷定定理的應用 關于“邊邊角在部分條件下證明三角形全等的探究教學設計昆明第十中學 熊瑩盈 153682271531、 內容和內容解析教學內容：本節(jié)課主要探究“邊邊角在哪些條件下可以證明兩個三角形全等.教學內容分析：本節(jié)課是對人教版八年級下冊第十二章三角形全等的斷定中“邊邊角能否斷定兩個三角形全等所做的一個補充探究.希望通過老師適當的引導，讓學生通過動手畫圖、推理論證的過程，學會用已有的關于三角形全等的知識，探究出在哪些特定條件下“邊邊角可以證明兩個三角形全等.本節(jié)課作為對課堂內容的一個補充探究，主要是為了開闊學生考慮問題的思路，讓學生學以致用，可以用已有的知識、技能、方法去解決新的

2、問題，進步學生的數學思維.學生分析：由于本節(jié)課并不是課本的規(guī)定內容，所以是在數學興趣小組學習班上進展探究，因此面對的是年級上程度相對較好并且對數學學科有較強興趣的八年級學生.由于他們已經學過了三角形全等這一章節(jié)，所以本節(jié)探究課所需的知識準備已經滿足，又由于都是對數學比較感興趣的孩子，所以態(tài)度上也會比較積極，為本節(jié)探究課提供了前提條件.二、目的及目的解析教學目的：1、 本節(jié)課以“HL作為引導，啟發(fā)學生從多個角度進展探究，得到在哪些條件下“邊邊角可以證明兩個三角形全等.從而使學生學會用已有的數學知識和技能方法去探究新的問題，加強學生的直觀想象才能和邏輯推理才能，從而進步數學思維.2、 通過小組合作

3、探究，使學生經歷考慮、討論、動手操作、論證等過程，體驗獲得新知的喜悅.3、 通過本節(jié)課課題的選取來培養(yǎng)學生的質疑意識；通過本節(jié)課的探究過程來進步學生的探究精神；過小組合作的學習形式來加強學生的協作精神.教學目的解析：本節(jié)課是一節(jié)探究課，所以首先就需要學生有質疑的意識，“邊邊角不一定可以證明兩個三角形全等，那在什么條件下可以證明兩個三角形全等呢？帶著這樣的疑問，引導學生通過分類討論的思想，對每一種他們能想到的情況進展探究.而探究的方法那么可以類比課本上我們已經學過的探究兩個三角形全等的斷定定理的過程，通過猜測、作圖、理論論證等步驟來進展，從而使學生學到探究問題的根本思路和根本方法，為他們今后進展

4、自主探究學習打下根底，進步學生的探究才能.而之所以采用小組合作的學習形式，主要有兩個原因：1、學生自己完本錢節(jié)課的探究任務有一定的難度，會使學習積極性受到影響.2、在合作的過程中，不僅能培養(yǎng)學生的團隊意識和合作精神，也能使學生學習別人的長處，承受別人不同的觀點，從而開闊自己的視野.三、教學問題診斷分析由于探究課是學生所不熟悉的課型，所以學生看到課題時可能會感到無從下手，那么本節(jié)課的第一個難點就是啟發(fā)學生從哪些方向去進展探究.在借助幾何畫板的展示下，讓學生發(fā)現可以從相等的角是什么類型的角入手進展分類，從而打破難點.而在后面的探究過程中，學生還會出現分類考慮不全的問題，因為當相等的角為銳角時，這個

5、三角形可以是直角三角形、銳角三角形或者鈍角三角形，此時老師要進一步進展引導，幫助學生將問題考慮周全. 有了探究的方向，學生可能還是不知道該怎么辦，這也就是本節(jié)課的第二個難點，啟發(fā)學生找到探究的方法和步驟.如何找到探究的方法和步驟呢？其實我們的課本就是最好的指引，課本上探究三角形全等的斷定定理是通過作圖、猜測、論證來完成的，我們不妨就仿照課本來進展.由此得到本節(jié)課的重點和難點：教學重點：通過分類討論的思想，探究出“邊邊角在哪些特定條件能證明三角形全等.教學難點：1、啟發(fā)學生如何分類進展探究；2、引導學生仿照課本，通過作圖、猜測、論證來進展探究.四、教學支持條件分析 本節(jié)課主要要運用幾何畫板、多媒

6、體輔助以及分組合作的學習形式.5、 教學過程設計教學過程老師活動預設學生活動設計意圖1、 復習回憶、激發(fā)興趣提問：兩個三角形全等的定義是什么？可以完全重合的三角形叫做全等三角形追問：通過前面的學習，要證明兩個三角形全等，我們已經有了哪些工具了呢？SSS、SAS、ASA、AAS、HL繼續(xù)引導：一個三角形有六個元素，三條邊、三個角.其中，“角確定三角形的形狀；“邊確定三角形的大小.我們至少要知道三組元素對應相等才能證明兩個三角形全等.對于兩邊一角的情況，我們往往要強調這個角是兩邊的夾角，此時滿足SAS，兩個三角形一定全等.那假如這個角不是夾角，而是某條邊的對角時，我們就得到了“邊邊角的情況，此時兩

7、個三角形不一定全等，那么在哪些條件下，“邊邊角可以證明兩個三角形全等呢？這就是本節(jié)課我們要探究的問題.引出課題提問：我們學過的斷定定理里面有沒有滿足“邊邊角兩個三角形全等的特例呢？HL結論：HL就是當相等的角為直角時SSA成立的特例.學生對應答復，在答復的過程中復習三角形全等的定義以及已經學過的五個斷定定理.學生答復以下問題，并觀察HL的圖形，感受HL就是當相等的角為直角時SSA成立的特例.復習回憶里面的第一個問題，是讓學生感受全等的三角形是可以完全重合的，為后面作圖、剪圖以后判斷做出的三角形是否和原圖形全等做個鋪墊.第二個問題那么為后面的論證過程做鋪墊.這一段引導是為了讓學生進一步明確三角形

8、的“邊、角元素所起的作用，從而為后面的探究過程中畫圖部分打下根底：要做兩組邊、一組角相等的三角形，我們可以先確定一組邊和一組角，通過觀察第二組邊來得到結論.這個問題一方面能激起學生的興趣，另一方面能引出本節(jié)課最重要的一個根本模型.用幾何畫板展示兩個直角三角形滿足HL即斜邊和一條直角邊對應相等的情況，然后拖動點C，讓學生觀察圖形發(fā)生的變化.提問：為什么會出現兩個三角形？因為當以A為圓心，AC為半徑畫弧時，會與BC邊所在的直線有兩個交點.提問：如今請觀察出現的這兩種三角形，它們有什么特點呢？這兩個三角形滿足“邊邊角，但它們并不全等提問：這兩個三角形為什么不全等？形狀不一樣提問：這兩個三角形中相等的

9、角是什么角？而剛剛HL全等的情況中相等的角又是什么角呢？這兩個三角形相等的角是銳角，而HL全等的情況中相等的角為直角.提問：這有沒有給我們一點探究的思路和方向呢？也就是說，接下來我們可以從哪些方向去探究，“邊邊角在什么條件下可以使兩個三角形全等呢？可以按相等的角是直角、鈍角、銳角來分類討論學生一邊觀察幾何畫板圖象的變化，一邊考慮為什么拖動C點之后會出現兩種情況，從而理解“邊邊角不能證明兩個三角形全等的原因.學生可能答不完全，但應該能觀察出角度發(fā)生了變化.學生應該能觀察出它們滿足“邊邊角，但它們不全等，并且形狀不一樣.學生通過觀察應該能發(fā)現這里相等的角為銳角，而HL的情況中相等的角為直角.學生通

10、過考慮發(fā)現由于相等的角不一樣，所以三角形是否全等的結果也不一樣，得到探究方向.運用幾何畫板可以很直觀的讓學生觀察出當拖動點C會出現兩種情況，而這也是后面探究中作圖的一個難點，可以先做個鋪墊.這兩個個問題引導學生發(fā)現剛剛拖動點C出現的兩個三角形的形狀和大小不一樣，所以它們不全等.這個問題引導學生去考慮這兩個三角形不全等的原因是相等的角發(fā)生了改變，從而得到今天探究的方向，應該對相等的角進展分類，分為直角、鈍角、銳角去討論.二、合作探究、發(fā)現新知和提問：如今我們已經有了探究的方向，那么我們應該利用什么樣的方法或者步驟進展探究呢？提問：我們在課本上已經學習了五個斷定定理，我們都是按照什么樣的方法和步驟

11、進展探究的呢？首先干什么？作圖提出探究任務：ABC，請作出ABC，使得AB=AB，AC=AC，C=C.由于相等的角可以是鈍角或者銳角，所以學生應該可以作出以下三種情況的圖1、 相等的角為鈍角此時作出的圖形是唯一的，剪出的兩個三角形可以完全重合，所以這兩個三角形可能是全等的.2、相等的角為銳角有兩種情況：此時作出的圖形一種情況可能是和原圖形全等的，一種情況是一定不全等的.學生考慮，回憶課本上的相應內容，應該可以答復出探究的第一步是作圖.學生分小組進展作圖的探究，大家先討論、再動手操作，完成之后在卡紙上剪下自己小組所做的圖形，進展展示.學生把剪下來兩個三角形放在一起，看看能不能重合，從而猜測在自己

12、所做的這種情況下滿足“邊邊角的兩個三角形是否全等.這兩個問題的設計是幫助學生找到探究的方法和步驟.其實我們課本上已經學過的內容都可以作為我們研究新內容的工具，所以要讓學生學以致用，融會貫穿.這個探究任務的設計，是讓學生從作圖的角度出發(fā)，開場今天的探究，符合學生的知識生成.由于前面已經有了探究方向，所以這里相等的角C和C可以是鈍角或者銳角.這個作圖先要畫一個角等于角，在課本上已經學習過了，然后用圓規(guī)來截取相等的邊畫弧，方法和課本上也一樣，所以應該是學生可以完成的任務.提問：還有沒有別的情況存在呢？引導：當三角形里面有一個角為直角或者鈍角時，這個三角形的形狀有沒有確定？當三角形中有一個角是直角時，

13、這個三角形只能是直角三角形；當三角形中有一個角是鈍角時，這個三角形只能是鈍角三角形.提問：當三角形中有一個角是銳角時，這個三角形的形狀確定了嗎？當三角形中有一個角為銳角時，這個三角形可能是直角三角形、銳角三角形，還可能是鈍角三角形.讓學生在此根底上繼續(xù)進展探究.通過進一步的探究學生應該可以作出以下五種情況1、相等的角為銳角的直角三角形這兩種情況畫出的三角形和原三角形都是全等的，但此時其實已經有四組相等的條件了.要引導學生觀察圖象發(fā)現這兩種情況是不一樣的：第一種情況相等的邊是一組斜邊一組直角邊；第二種情況相等的邊是兩組直角邊.2、 相等的角為銳角的鈍角三角形此時有兩種情況：此時作出的圖形一種情況

14、可能是和原圖形全等的，一種情況是一定不全等的.此時作出的圖形是唯一的，剪出的兩個三角形可以完全重合，所以它們可能是全等的.學生跟著老師的引導考慮之后答復以下問題.學生還是分小組進展，同樣將做好的圖用卡紙剪下來，每個小組派個代表到展示黑板上進展展示.學生在找鈍角三角形情況時可能會有困難，所以老師會在小組上進展指導.這個引導是幫助學生完善剛剛的分類.當相等的角為銳角時，可能會忽略直角三角形和鈍角三角形的情況，讓學生感受分類討論時要做到不重復，不遺漏.本環(huán)節(jié)的設計是讓學生可以更全面的考慮問題，盡可能的探究出所有的情況.同時在作圖的過程中，進一步加強學生的幾何直觀，理解每一種情況都是在作圖的前提下得到

15、的，從而使學生學會幾何探究的一個有力的方法作圖.這個鈍角三角形的情況在作圖的時候其實是和銳角三角形的情況一樣的，所以學生應該可以完成.同時也讓學生感受到在探究作圖時，我們用到的方法都是一樣的.這種鈍角三角形的作圖，在直角三角形的第二種情況中已經涉及，所以只要學生學會遷移和舉一反三，應該可以完成.3、 應用所學、進展論證提問：剛剛我們都是通過作圖，也就是直觀幾何的角度進展的探究.請大家想一想，課本上作圖之后又做了什么呢？論證提出任務：請每個小組的同學討論一下，如何對我們以上通過作圖發(fā)現的可能全等的情況進展嚴密的論證呢？可以先選擇本小組做出來的情況進展論證.學生應該能很快的證出以下兩種情況：相等的

16、角為鈍角證明：如圖，分別過點A、A作ADBC交BC的延長線于點D，ADBC交 BC的延長線于點D，先證明： ADC ADCAAS得到：AD=A'D'再證明：Rt ADBRt ADBHL得到：B=B最后證： ABC ABCAAS.相等的角為銳角的銳角三角形證明：如圖，分別過點A、A作ADBC交BC于點D，ADBC交 BC于點D，先證明： ADC ADCAAS得到：AD=A'D'再證明：Rt ADBRt ADBHL得到：B=B最后證： ABC ABCAAS.提問：通過這兩種情況的證明，你有什么發(fā)現呢？輔助線都是作高，證明方法是一樣的其他幾種情況也是如此：輔助線做法和

17、證明過程也是一樣的.提問：那么從我們剛剛的探究，我們能得到哪些結論呢？由于是按相等角為直角、鈍角、銳角進展的分類，所以也按相等的角為直角、鈍角、銳角來總結.結論1：兩個三角形滿足“邊邊角，當相等的角為直角或者鈍角時，這兩個三角形全等結論2： 兩個三角形滿足“邊邊角，當相等的角為銳角，且另一對應相等的邊所對的角為同類角時，這兩個三角形全等學生通過小組合作，對本組做出來的情況進展論證，之后每組選一個代表到展示黑板闡述本組證明的情況.學生觀察之后答復.學生和老師一起進展歸納.本環(huán)節(jié)是在上一環(huán)節(jié)作圖的根底上，進展的一個理論上的邏輯推理，是從理論到理論的一個完善.同時也是學生對于三角形全等的斷定定理的一

18、個直接應用.要讓學生體會在論證的過程中我們都要對著相等的角在第三邊上作高，而這么做的目的其實就是為了構造我們本節(jié)課最開場就給出的根本圖形HL全等的情況，因為只有直角三角形在作圖時才是唯一的.并且引導學生發(fā)現，在本節(jié)課的開場，我們引入了HL的特殊情況，從這個特殊情況出發(fā)開場探究一般的情況，而對一般情況進展論證的時候，我們的輔助線作法又回到了之前最特殊的HL的情況，并且所有的論證過程都是一樣的.這其實就是數學中從特殊到一般，再由一般化歸到特殊的數學思想.設計這個環(huán)節(jié)是對本節(jié)課探究所得的結果進展的一個歸納.結論1學生應該比較容易可以得出，但結論2學生歸納起來會有困難，可能學生會去考慮三角形的形狀.所以需要引導學生去看相等的兩組邊，一組邊對著相等的角，而另一組邊所對的角是否是同類角就決定了這兩個三角形是否全等.四、總結所學、升華提升用思維導圖的形式對這節(jié)課進展總結：學生和老師一起完善.思維導圖的引入不僅能使本節(jié)課的內容明晰明了，還能訓練學生的邏輯思維，對孩子們今后的數學學習也