參數(shù)方程完全解析

1、參數(shù)方程目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義，能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程；2.了解平擺線、漸開線的生成過程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程，了解其他擺線的生成過程，了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用，了解擺線在表示行星運(yùn)動軌道中的作用。重點(diǎn)、難點(diǎn)：理解參數(shù)方程的概念及轉(zhuǎn)化方法，重點(diǎn)掌握直線和圓的參數(shù)方程及橢圓的參數(shù)方程，并能利用它們解決一些應(yīng)用問題；以及利用參數(shù)建立點(diǎn)的軌跡方程。知識要點(diǎn)梳理:知識點(diǎn)一：參數(shù)方程1. 1. 概念：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個變數(shù)的函數(shù)：，并且對于的每一個允許值，方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線

2、的參數(shù)方程，聯(lián)系間的關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)（簡稱參數(shù)）.相對于參數(shù)方程來說，前面學(xué)過的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程。2. 把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒? 常見的消參方法有：代入消法 ；加減消參；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等.把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r性， 注意方程中的參數(shù)的變化范圍?；セ瘯r，必須使坐標(biāo)x, y的取值范圍在互化前后保持不變，否則，互化就是不等價的。知識點(diǎn)二：常見曲線的參數(shù)方程1直線的參數(shù)方程（1）經(jīng)過定點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）；其中參數(shù)的

3、幾何意義：，有，即表示直線上任一點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離。（當(dāng)在上方時，在下方時，)。 （2）過定點(diǎn)，且其斜率為的直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，為為常數(shù)，）；其中的幾何意義為：若是直線上一點(diǎn)，則。（3）若直線l的傾角a=0時，直線l的參數(shù)方程為.2圓的參數(shù)方程（1）已知圓心為，半徑為的圓的參數(shù)方程為：（是參數(shù)，）；特別地當(dāng)圓心在原點(diǎn)時，其參數(shù)方程為（是參數(shù)）。（2）參數(shù)的幾何意義為：由軸的正方向到連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的半徑所成的角。 （3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地指出圓心和半徑，圓的一般方程突出方程形式上的特點(diǎn)，圓的參數(shù)方程則直接指出圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的特點(diǎn)。3. 橢圓的參數(shù)方程（1）橢圓（）的參數(shù)方程（為

4、參數(shù)）。（2）參數(shù)的幾何意義是橢圓上某一點(diǎn)的離心角。如圖中，點(diǎn)對應(yīng)的角為（過作軸，交大圓即以為直徑的圓于），切不可認(rèn)為是。（3）從數(shù)的角度理解，橢圓的參數(shù)方程實(shí)際上是關(guān)于橢圓的一組三角代換。橢圓上任意一點(diǎn)可設(shè)成，為解決有關(guān)橢圓問題提供了一條新的途徑。4. 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線（,）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）。5. 拋物線的參數(shù)方程拋物線()的參數(shù)方程為（是參數(shù)）。參數(shù)的幾何意義為：拋物線上一點(diǎn)與其頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)，即。6. 圓的漸開線與擺線的參數(shù)方程：（1）圓的漸開線的參數(shù)方程（是參數(shù)）；（2）擺線的參數(shù)方程 （是參數(shù)）。規(guī)律方法指導(dǎo)1.參數(shù)方程作為選考內(nèi)容，試題內(nèi)容涉及參數(shù)方程與普通方程的

5、互化，直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程以及在解題中的應(yīng)用中。由于該內(nèi)容在高考試題的特殊位置，僅以填空題的形式出現(xiàn)一般為容易題或中等題。以考察基礎(chǔ)知識，基本運(yùn)算為主。2. 加強(qiáng)消參的技巧性學(xué)習(xí)，注意等價性，消參常用的方法有代入法、三角法、加減法等。3.從數(shù)的角度理解，圓與橢圓的參數(shù)方程實(shí)際上是一組三角代換，為解決有關(guān)圓、橢圓問題提供了一條新的途徑.經(jīng)典例題精析類型一：參數(shù)方程與普通方程互化1.已知圓的方程是，將它表示為圓的參數(shù)方程形式。思路點(diǎn)撥: 將圓的方程配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用平方和公式進(jìn)行三角代換轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程。解析：配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程令 ， 得圓的參數(shù)方程為（q為參數(shù)）.總結(jié)升華：圓與橢

6、圓的普通方程轉(zhuǎn)化為圓與橢圓的參數(shù)方程一般都是利用進(jìn)行三角代換。舉一反三：【變式】化普通方程為參數(shù)方程。（1） （2）【答案】：（1）配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 令 ， 得圓的參數(shù)方程為（q為參數(shù)）.（2）變形得，令， 得橢圓的參數(shù)方程為（q為參數(shù)）.2把參數(shù)方程化為普通方程(1) (，為參數(shù))；(2) (，為參數(shù)）；(3) (,為參數(shù))； (4) (為參數(shù)).思路點(diǎn)撥:（1）將第二個式子變形后，把第一個式子代入消參；（2）利用三角恒等式進(jìn)行消參；（3）觀察式子的結(jié)構(gòu)，注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因而可以采取加減消參的辦法；或把用表示，反解出后再代入另一表達(dá)式即可消參；（4）此題是（3）題的變式，

7、僅僅是把換成而已，因而消參方法依舊，但需要注意、的范圍。解析：（1），把代入得； 又 , , 所求方程為：(,)（2）,把代入得. 又， ,. 所求方程為(,).（3）（法一）：, 又，, 所求方程為(,). （法二）：由得,代入, （余略）.（4） 由 得, ,由得,當(dāng)時，；當(dāng)時，從而.法一:， 即（），故所求方程為（）法二: 由 得，代入得，即再將代入得，化簡得.總結(jié)升華：1. 消參的方法主要有代入消參，加減消參，比值消參，平方消參，利用恒等式消參等。2.消參過程中應(yīng)注意等價性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來說應(yīng)分別給出、的范圍.在這過程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的

8、各種方法.舉一反三：【變式1】化參數(shù)方程為普通方程。（1）(t為參數(shù)) ； （2）（t為參數(shù)）.【答案】：（1）由得，代入化簡得. , ,. 故所求方程為（，）（2）兩個式子相除得，代入得，即. ，故所求方程為().【變式2】（1）圓的半徑為_ ； （2）參數(shù)方程(表示的曲線為（ ）。A、雙曲線一支，且過點(diǎn)B、拋物線的一部分，且過點(diǎn)C、雙曲線一支，且過點(diǎn) D、拋物線的一部分，且過點(diǎn)【答案】：（1） 其中， 半徑為5。（2），且，因而選B?！咀兪?】（1）直線: (t為參數(shù))的傾斜角為（ ）。A、 B、 C、 D、 （2）為銳角，直線的傾斜角（ ）。A、 B、 C、 D、【答案】：（1），相除得

9、，傾斜角為，選C。（2），相除得， 傾角為，選C。3已知曲線的參數(shù)方程（、為常數(shù)）。（1）當(dāng)為常數(shù)()，為參數(shù)()時，說明曲線的類型；（2）當(dāng)為常數(shù)且，為參數(shù)時，說明曲線的類型。思路點(diǎn)撥:通過消參，化為普通方程，再做判斷。解析：（1）方程可變形為（為參數(shù)，為常數(shù)）取兩式的平方和，得曲線是以為圓心，為半徑的圓。 （2）方程變形為（為參數(shù)，為常數(shù)）, 兩式相除，可得，即, 曲線是過點(diǎn)且斜率的直線?？偨Y(jié)升華：從本例可以看出：某曲線的參數(shù)方程形式完全相同，但選定不同的字母為參數(shù)，則表示的意義也不相同，表示不同曲線。因此在表示曲線的參數(shù)方程時，一般應(yīng)標(biāo)明選定的字母參數(shù)。舉一反三：【變式1】已知橢圓的參數(shù)

10、方程為（為參數(shù)），求出此橢圓的長軸長，短軸長，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率和準(zhǔn)線方程.【答案】：由題意得:, 得. , .即:橢圓的長軸長為26，短軸長為10，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-12)和(0,12)，離心率為，準(zhǔn)線方程為：和.【變式2】已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）（1）判斷點(diǎn)P1（1，2），P2（0，1）與曲線C的位置關(guān)系（2）點(diǎn)Q(2,a)在曲線l上，求a的值.（3）化為普通方程，并作圖（4）若t0， 化為普通方程，并作圖.【答案】：（1）若點(diǎn)P在曲線上，則可以用參數(shù)t表示出x, y，即可以求出相應(yīng)t值. 所以，令， t無解， 點(diǎn)P1不在曲線C上. 同理，令 ， 點(diǎn)P2在曲線C上.（2）Q在曲線C

11、上， .（3）將代入y=3t2+1,如圖.（4）t0, x=2t0, y=3t2+11,消去t， t0時，曲線C的普通方程為(x0, y1).點(diǎn)評:在（4）中，曲線C的普通方程的范圍也可以只寫出x0, 但不能寫成y1，這是因?yàn)槭顷P(guān)于x的自變量，y為因變量的函數(shù)，由x的范圍可以確定y的取值范圍，但反過來不行.即:所得曲線方程為y=f(x)或x=g(y)形式時，可以只寫出自變量的范圍，但對于非函數(shù)形式的方程，即F(x,y)=0，一般來說，x,y的范圍都應(yīng)標(biāo)注出來.【變式3】已知圓錐曲線方程為。（1）若為參數(shù)，為常數(shù)，求此曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離。（2）若為參數(shù)，為常數(shù)，求此曲線的離心率?！敬鸢浮浚海?

12、）方程可化為 消去,得： 曲線是拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離即為。 （2）方程化為， 消去，得， 曲線為橢圓，其中，從而。類型二：圓漸開線以及擺線4.已知圓漸開線的參數(shù)方程是，則基圓面積是_。解析：，面積為16舉一反三：【變式1】半徑為10的基圓的漸開線方程是_;【答案】：（為參數(shù)）變式2擺線的參數(shù)方程為，則一個拱的寬度是_，高度是_。【答案】：半徑，一個拱寬度為一個圓的周長為16，高度為直徑16類型三：求最值5.P是橢圓上的點(diǎn)，求P到直線的距離的最大值與最小值，并求出達(dá)到最值時P點(diǎn)的坐標(biāo).思路點(diǎn)撥: 利用參數(shù)方程求最值。解析：點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)， 可設(shè)，q?0，2p. P到l的距離. 當(dāng)時，即時，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為. 當(dāng)即 時，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為.總結(jié)升華：利用參數(shù)方程求最值是很常見的一種方法，利用參數(shù)方程結(jié)合三角函數(shù)知識可以較簡潔地解決問題。舉一反三：【變式1】求橢圓上的點(diǎn)到直線:的最小距離及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)?！敬鸢浮浚涸O(shè)到的距離為，則（當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號）。點(diǎn)到直線的最小距離為，此時點(diǎn)，即?！咀兪?】圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有_個.【答案】：已知圓方程為，設(shè)其參數(shù)方程為（）則圓上的點(diǎn)到直線的距離為，即，或又，從而滿足要求的點(diǎn)一共有三個.【變式3】橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為_.【答案