2013屆北京西城區(qū)高三數(shù)學(xué)理科一模試卷及答案

1、北京市西城區(qū)2012 2013學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷 高三數(shù)學(xué)（理科） 2013.1第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1已知集合，則（ ）（A）（B）（C）（D）2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（ ）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)且平行于極軸的直線的方程是（ ）（A）（B）（C）（D）4執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸出， 則框圖中 處可以填入（ ） （A）（B）（C）（D）5已知函數(shù)，其中為常數(shù)那么“”是“為奇函數(shù)”的（ ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不

2、充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件6已知是正數(shù)，且滿足那么的取值范圍是（ ）（A）（B）（C）（D）7某四面體的三視圖如圖所示該四面體的六條棱的長(zhǎng)度中，最大的是（ ） （A）（B）（C）（D）8將正整數(shù)隨機(jī)分成兩組，使得每組至少有一個(gè)數(shù)，則兩組中各數(shù)之和相等的概率是（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9. 已知向量，.若向量與向量共線，則實(shí)數(shù) _10如圖，中，以為直徑的圓交于點(diǎn)，則 ；_11設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為若，則_ 12已知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)是，點(diǎn)在該橢圓上若，則的面積是_ 13已知函數(shù)，

3、其中當(dāng)時(shí)，的值域是_；若的值域是，則的取值范圍是_ 14已知函數(shù)的定義域?yàn)槿舫?shù)，對(duì)，有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)給定下列三個(gè)函數(shù)： ； ； 其中，具有性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)是_三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分13分）在中，已知 （）求角的值； （）若，求的面積 16（本小題滿分14分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，平面，為棱的中點(diǎn)（）求證：/ 平面；（）求證：平面平面； （）求二面角的余弦值17（本小題滿分13分）生產(chǎn)A，B兩種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于為正品，小于為次品現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測(cè)

4、試指標(biāo)元件A元件B（）試分別估計(jì)元件A，元件B為正品的概率；（）生產(chǎn)一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元 .在（）的前提下，（）記為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于140元的概率18（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)若，使，求的取值范圍19（本小題滿分14分）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，（）求的值；（）記直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值20（本小題滿分13分）如圖

5、，設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實(shí)數(shù)，且.記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合對(duì)于，記為的第行各數(shù)之積，為的第列各數(shù)之積令（）請(qǐng)寫出一個(gè)，使得；（）是否存在，使得？說(shuō)明理由；（）給定正整數(shù)，對(duì)于所有的，求的取值集合 北京市西城區(qū)2012 2013學(xué)年度第一學(xué)期期末高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2013.1一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1D； 2B； 3A； 4C； 5C； 6B； 7C； 8B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9； 10，； 11； 12； 13，； 14注：10、13題第一問(wèn)2分，第二問(wèn)3分;14題結(jié)論完全正確才給分.

6、三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15（本小題滿分13分） （）解法一：因?yàn)椋?所以 3分 因?yàn)?， 所以 ， 從而 ， 5分所以 6分解法二： 依題意得 ，所以 ，即 3分因?yàn)?， 所以 ，所以 5分所以 6分（）解法一：因?yàn)?， 根據(jù)正弦定理得 ， 7分所以 8分因?yàn)?， 9分所以 ， 11分所以 的面積 13分解法二：因?yàn)?， 根據(jù)正弦定理得 ， 7分所以 8分根據(jù)余弦定理得 ， 9分化簡(jiǎn)為 ，解得 11分所以 的面積 13分16（本小題滿分14分）（）證明：連接與相交于點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)樗倪呅螢檎叫危詾橹悬c(diǎn)因?yàn)?為棱中點(diǎn) 所以

7、3分因?yàn)?平面，平面， 所以直線/平面 4分 （）證明：因?yàn)槠矫?，所?5分因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?所以平面 7分 所以平面平面 8分 （）解法一：在平面內(nèi)過(guò)作直線因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 9分設(shè)，則 所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得 11分 易知平面的法向量為 12分 所以 13分由圖可知二面角的平面角是鈍角， 所以二面角的余弦值為 14分解法二：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉檎叫危杂桑ǎ┛傻闷矫嬉驗(yàn)?，所以由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 9分設(shè)，則 所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得 11分 易知平面的法向量為 12

8、分 所以 13分由圖可知二面角的平面角是鈍角， 所以二面角的余弦值為 14分17（本小題滿分13分）（）解：元件A為正品的概率約為 1分元件B為正品的概率約為 2分（）解：（）隨機(jī)變量的所有取值為 3分； ； 7分所以，隨機(jī)變量的分布列為:8分 9分（）設(shè)生產(chǎn)的5件元件B中正品有件，則次品有件.依題意，得 ， 解得 所以 ，或 11分 設(shè)“生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于140元”為事件，則 13分18.（本小題滿分13分）（）解： 當(dāng)時(shí)， 故的單調(diào)減區(qū)間為，；無(wú)單調(diào)增區(qū)間 1分 當(dāng)時(shí)， 3分令，得，和的情況如下：故的單調(diào)減區(qū)間為，；單調(diào)增區(qū)間為5分 當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?因?yàn)樵谏虾愠闪?，故的單調(diào)

9、減區(qū)間為，；無(wú)單調(diào)增區(qū)間7分（）解：因?yàn)?，所?等價(jià)于 ，其中 9分設(shè)，在區(qū)間上的最大值為11分則“，使得 ”等價(jià)于所以，的取值范圍是 13分19（本小題滿分14分）（）解：依題意，設(shè)直線的方程為 1分將其代入，消去，整理得 4分從而 5分（）證明：設(shè)， 則 7分設(shè)直線的方程為，將其代入，消去，整理得 9分所以 10分同理可得 11分故 13分由（）得 ，為定值 14分20（本小題滿分13分）（）解：答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求 3分（）解：不存在，使得 4分 證明如下：假設(shè)存在，使得 因?yàn)椋?， 所以，這個(gè)數(shù)中有個(gè)，個(gè) 令 一方面，由于這個(gè)數(shù)中有個(gè)，個(gè)，從而 另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為）；也表示， 從而 、相矛盾，從而不存在，使得 8分（）解：記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為 一方面，從“行”的角度看，有； 另一方面，從“列”的角度看，有從而有 10分注意