線性代數(shù)復習提綱

1、線性代數(shù)復習提綱復習內(nèi)容：第一章行列式及空間直角坐標系、第二章 矩陣、第三章向量空間、第四章線性方程組重點內(nèi)容：行列式的相關內(nèi)容：（1）行列式的性質(zhì)：全排列及逆序數(shù)、行列式的基本性質(zhì)及其推論。（2）行列式的展開定理：代數(shù)余子式；展開定理（3）克萊姆法則矩陣相關內(nèi)容（1）矩陣的運算：線性運算、矩陣相乘；矩陣的轉(zhuǎn)置與對稱矩陣（2）逆矩陣：逆矩陣的性質(zhì)；利用伴隨矩陣求逆矩陣；矩陣多項式及矩陣方程（3）分塊矩陣：分塊矩陣的運算（4）矩陣的初等變換：矩陣的三種初等變換；初等矩陣；逆矩陣的初等變換法；初等變換求方程組的解。（5）矩陣的秩：秩的概念；初等變換求矩陣的秩。（6）消元法求線性方程組：有解和無解的

2、條件。（分為齊次和非齊次線性方程組）向量空間的相關內(nèi)容（1）向量的線性運算；加法運算和數(shù)乘運算，運算律（2）向量間的線性關系：線性表示；線性相關；線性無關；判斷線性相關和線性無關的方法：定義法和定理法（3）向量組的秩：極大無關組；初等變換就向量組的秩。線性方程組相關內(nèi)容（1） 線性方程組有解的判定條件：（2） 齊次線性方程組：只有零解和有非零解的條件；齊次線性方程組解的結構；（3）非齊次線性方程組：非齊次線性方程組有唯一解和無窮多解的條件；非齊次線性方程組解的結構。附：部分復習題一、選擇題、四階行列式的值等于（ ）A B C. D. 2.已知2階行列式=m ,=n ,則=（ ）A.m-n B.

3、n-m C.m+n D.-（m+n）3、已知a，b都是非零向量，且滿足關系式：ab=a+b，則（ ）A. a·b=0 B.a×b=0 C. a+b=0 D.a-b=04、若A為3階方陣且| A-1 |=2，則| 2A |=( )A. B.2 C.4 D.85.設1，2，3，4是4維列向量，矩陣A=（1，2，3，4）.如果|A|=2，則|-2A|=（ ）A.-32B.-4C.4D.326.設A，B，C為同階可逆方陣，則（ABC）-1=（ ）A. A-1B-1C-1B. C-1B-1A-1C. C-1A-1B-1D. A-1C-1B-17.設1，2，3，4都是3維向量，則必有(

4、 )A.1，2，3，4線性無關B.1，2，3，4線性相關C.1可由2，3，4線性表示D.1不可由2，3，4線性表示8.向量組1=（1，0，0），2=（1，1，0），3=（1，1，1）的秩為（ ）A.1B.2C.3D.49.設A,B可逆，則=( )A. B. C. D10.已知A是一個3×4矩陣，下列命題中正確的是（ ）A.若矩陣A中所有3階子式都為0，則秩（A）=2 B.若A中存在2階子式不為0，則秩（A）=2C.若秩（A）=2，則A中所有3階子式都為0D.若秩（A）=2，則A中所有2階子式都不為011.下列命題中錯誤的是（ ）A.只含有一個零向量的向量組線性相關B.由3個2維向量組

5、成的向量組線性相關C.由一個非零向量組成的向量組線性相關D.兩個成比例的向量組成的向量組線性相關12.已知向量組1,2,3線性無關，1,2,3，線性相關，則（ ）A.1必能由2,3，線性表出 B.2必能由1,3，線性表出 C.3必能由1,2，線性表出 D.必能由1,2,3線性表出13.設1，2，3，4 是三維實向量，則（ ）A. 1，2，3，4一定線性無關B. 1一定可由2，3，4線性表出C. 1，2，3，4一定線性相關D. 1，2，3一定線性無關14.設A為m×n矩陣，mn,則齊次線性方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是A的秩（ ）A.小于m B.等于m C.小于n D.等于n

6、15.設A是m×n矩陣，已知Ax=0只有零解，則以下結論正確的是（ ）A.mnB.Ax=b（其中b是m維實向量）必有唯一解C.r（A）=mD.Ax=0存在基礎解系16.下列行列式中，不等于零的是（ ）A. B.  C. D. 17. 的充分必要條件是（）A            B C D18. 設A為3階矩陣,|A|=1,則|-2AT|=( )A.-8 B.-2 C.2 D.819.向量a=（1,1,1），b=（1,2,1），c=（1,1,2）的關系正確的是A共面 B.異面

7、 C.平行 D重合20. 設矩陣A=,B=(1,1),則AB=( )A.0 B.(1,-1) C. D. 21.設A，B，C是n階方陣，ABC=E，則（ ）ABAC=E                   BCBA=E C.CAB=E D.ACB=E22.設 A為n階方陣，A的行列式|A|=a0，那么等于（）A. B. C. D23.設 A,B均可逆，則等于（ ）A. B C. D. 24.設矩陣A的伴隨矩陣A*=,

8、則A-1= ( )A. B. C. D. 25設A,B可逆，則=( )A.  B. C. D26.設=（1，1，-1）, =(1，2，1)，k為任意實數(shù)，則（ ）A. 線性相關 B. 相關 C. 線性無關 D. 線性無關27.設，則（ ）A的秩為1 B. 的秩為2C線性無關 D. 線性無關28. 設，則（ ）A.線性無關 B. 線性無關 C. 線性無關 D. 線性相關29.設A為n階奇異方陣，A中有一個元素的代數(shù)余子式0，則齊次線性方程組AX=0的基礎解系所含解向量的個數(shù)為（ ）個。Ai B.j C. 1 D.n30設n元齊次線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣A的秩為r，則AX=0有非零解

9、的充要條件是下面的哪項（ ）A . r=n B. r<n C. rn D. r>n答案：15 DBACD； 610 BBCCC 1115 CDCDB； 1620 DDABD； 2125 CCBCC 2630 DABCB二、計算題1、用行列式的展開定理求解下列行列式解同理可得：其中所以，2 用克萊姆法則求解線性方程組。.解 =D1= D2= D3= D4= 于是得到3 已知AX=B，其中，求矩陣X解若可逆，則,即4、求矩陣A的秩并求A的一個最高階非零子式。已知解所以，所以必有三節(jié)非零子式，同時也是最高階非零子式，觀察行階梯矩陣可以發(fā)現(xiàn)第1，第2，第4列和前3行組成的矩陣秩為3，因此組

10、成的矩陣行列式值必不為0，所以在原矩陣中應該是=16，則此式即是最高階非零子式。5 設（1） t為何值時，向量組線性無關（2） t為何值是，向量組線性相關，并求出線性組合。解由于行列式所以當t5時，D0，此時線性無關當t=5時，D=0，此時線性相關由最后一個矩陣可知: 6、求向量組的極大線性無關組和秩，并將其余向量表示成極大線性無關組的線性組合。 解，所以這個向量組的極大線性無關組是，且，三、證明題設是非齊次線性方程組的一個解，是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系，（1）證明，線性無關。（2），線性無關。證明：（1）反證法：假設線性相關，則存在則存在不全為0的數(shù)，使得下式成立。其中0，否則，線性相關，與基礎解系是線性相關的矛盾。由