數(shù)學(xué)思想方法的兩個源頭

1、.數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法大興電大大興電大.課程的基本內(nèi)容課程的基本內(nèi)容課程內(nèi)容包括數(shù)學(xué)思想與方法的兩個源頭、課程內(nèi)容包括數(shù)學(xué)思想與方法的兩個源頭、數(shù)學(xué)思想與方法的幾次重要突破、數(shù)學(xué)的真理數(shù)學(xué)思想與方法的幾次重要突破、數(shù)學(xué)的真理性、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢、抽象與概括、猜想性、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢、抽象與概括、猜想與反駁、演繹與化歸、計算與算法、應(yīng)用與建與反駁、演繹與化歸、計算與算法、應(yīng)用與建模、其他方法、數(shù)學(xué)思想與方法與素質(zhì)教育、模、其他方法、數(shù)學(xué)思想與方法與素質(zhì)教育、數(shù)學(xué)思想與方法教學(xué)、數(shù)學(xué)思想與方法教學(xué)案數(shù)學(xué)思想與方法教學(xué)、數(shù)學(xué)思想與方法教學(xué)案例。例。 .課程的主線分為三大塊：課程的主線分為三大

2、塊：l上篇上篇 數(shù)學(xué)的起源與基本內(nèi)涵；數(shù)學(xué)的起源與基本內(nèi)涵；l中篇中篇 各種數(shù)學(xué)方法的介紹與應(yīng)用；各種數(shù)學(xué)方法的介紹與應(yīng)用；l下篇下篇 數(shù)學(xué)的素質(zhì)教育及實施數(shù)學(xué)的素質(zhì)教育及實施 .本課程的考試本課程的考試本課程的最終成績由兩部分組成，一本課程的最終成績由兩部分組成，一是平時成績，它由形成性考核作業(yè)冊是平時成績，它由形成性考核作業(yè)冊（占（占20%）來評價，一是期末考試成績）來評價，一是期末考試成績（占（占80%）。形成性考核作業(yè)冊安排）。形成性考核作業(yè)冊安排4次次記分作業(yè)，兩次課堂討論和一次實踐學(xué)記分作業(yè)，兩次課堂討論和一次實踐學(xué)習(xí)，均按百分制統(tǒng)計成績，形成性考核習(xí)，均按百分制統(tǒng)計成績，形成性考

3、核作業(yè)冊的總成績乘以作業(yè)冊的總成績乘以20%得到平時成績。得到平時成績?？荚嚦煽兂艘钥荚嚦煽兂艘?0%+平時成績平時成績=最終成績。最終成績。 .第一章第一章 數(shù)學(xué)思想與方法的兩個源頭數(shù)學(xué)思想與方法的兩個源頭l學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求1知道知道幾何原本幾何原本和和九章算術(shù)九章算術(shù)形成形成的原因和基本內(nèi)容；的原因和基本內(nèi)容；2理解理解幾何原本幾何原本和和九章算術(shù)九章算術(shù)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想的特點和意義。思想的特點和意義。.一、一、幾何原本幾何原本思想方法的體例思想方法的體例幾何原本幾何原本共有十三篇共有十三篇:l第一篇到第四篇是關(guān)于平面幾何一一直線形和圓第一篇到第四篇是關(guān)于平面幾何一一直線形和圓的理論，的理論，

4、l第五篇是比例論，第六篇講平面相似形，第五篇是比例論，第六篇講平面相似形，l第七、八、九篇則闡述算術(shù)第七、八、九篇則闡述算術(shù)(數(shù)論數(shù)論)，l第十篇是關(guān)于第十篇是關(guān)于“不可通約量不可通約量”的理論，的理論，l第十一、十二、十三篇是關(guān)于立體幾何的理論和第十一、十二、十三篇是關(guān)于立體幾何的理論和“窮竭法窮竭法”。l從內(nèi)容上來看，可以說，包括了當(dāng)時希臘數(shù)學(xué)各從內(nèi)容上來看，可以說，包括了當(dāng)時希臘數(shù)學(xué)各個方面的成就。個方面的成就。 .二、二、幾何原本幾何原本思想方法上的思想方法上的特點特點 l（1）封閉的演繹體系）封閉的演繹體系 l幾何原本幾何原本就是一個最早的標(biāo)準(zhǔn)的演繹體系：由少數(shù)不定義的概念，就是一個

5、最早的標(biāo)準(zhǔn)的演繹體系：由少數(shù)不定義的概念，如點如點線、平面等等，和不證明的命題線、平面等等，和不證明的命題公理與公設(shè)公理與公設(shè)出發(fā)，在需要出發(fā)，在需要的地方，定義出相應(yīng)的概念，按著一定的邏輯規(guī)則，演繹出所有其他命的地方，定義出相應(yīng)的概念，按著一定的邏輯規(guī)則，演繹出所有其他命題來。在題來。在幾何原本幾何原本的演繹體系中，公理是最一般的命題，它們是一的演繹體系中，公理是最一般的命題，它們是一系列演繹推理的前提，這個體系的所有其他命題，都是從公理系列演繹推理的前提，這個體系的所有其他命題，都是從公理(通過適通過適當(dāng)?shù)亩x當(dāng)?shù)亩x)推導(dǎo)出來的。除了推導(dǎo)所需要的邏輯規(guī)則外，推導(dǎo)出來的。除了推導(dǎo)所需要的邏

6、輯規(guī)則外，幾何原本幾何原本的由一系列公理、定義、定理等構(gòu)成的數(shù)學(xué)理論體系，原則上不必依賴的由一系列公理、定義、定理等構(gòu)成的數(shù)學(xué)理論體系，原則上不必依賴于其他東西。當(dāng)然，在實際上，于其他東西。當(dāng)然，在實際上，幾何原本幾何原本在某些地方背離了這個原在某些地方背離了這個原則：證明某些命題時運用了公理和邏輯規(guī)則之外的則：證明某些命題時運用了公理和邏輯規(guī)則之外的“直觀直觀”。但是，那。但是，那只是個別的地方，并不影響體系的大局；而且，正是作為只是個別的地方，并不影響體系的大局；而且，正是作為幾何原本幾何原本的的“缺陷缺陷”而受到了人們的指責(zé)的，后來的人們按歐幾里得的原意，不而受到了人們的指責(zé)的，后來的人

7、們按歐幾里得的原意，不斷地在體系中排除直觀，得到更嚴(yán)格斷地在體系中排除直觀，得到更嚴(yán)格 的數(shù)學(xué)理論體系，其指導(dǎo)思想正是的數(shù)學(xué)理論體系，其指導(dǎo)思想正是由由幾何原本幾何原本開始的。由于開始的。由于幾何原本幾何原本的這種思想原則和結(jié)構(gòu)方式，的這種思想原則和結(jié)構(gòu)方式，從實質(zhì)上說，從實質(zhì)上說，幾何原本幾何原本是一個比較完整的、相對封閉的數(shù)學(xué)理論體是一個比較完整的、相對封閉的數(shù)學(xué)理論體系。系。.l（2）抽象化的內(nèi)容）抽象化的內(nèi)容l幾何原本幾何原本以及以它為代表的古希臘數(shù)學(xué)著述，以及以它為代表的古希臘數(shù)學(xué)著述，都是論述一般的、抽象的數(shù)學(xué)概念和命題的，它們探都是論述一般的、抽象的數(shù)學(xué)概念和命題的，它們探討的只

8、是概念和命題的各種邏輯關(guān)系，由一些給定了討的只是概念和命題的各種邏輯關(guān)系，由一些給定了的概念和命題推演出另一些概念和命題。它不考慮產(chǎn)的概念和命題推演出另一些概念和命題。它不考慮產(chǎn)生這些概念和命題的社會背景，也不研究這些數(shù)學(xué)生這些概念和命題的社會背景，也不研究這些數(shù)學(xué)“模型模型”所由之產(chǎn)生的那些現(xiàn)實原型。比如在所由之產(chǎn)生的那些現(xiàn)實原型。比如在幾何幾何原本原本中研究了中研究了“所有的所有的”矩形矩形(即抽象的即抽象的“矩形矩形”概概念念)的性質(zhì)，但卻不研究任何一個具體的矩形的實物的的性質(zhì)，但卻不研究任何一個具體的矩形的實物的大小。又如在大小。又如在幾何原本幾何原本中，研究數(shù)的若干性質(zhì)，中，研究數(shù)的

9、若干性質(zhì)，但卻一點也不涉及具體的數(shù)的計算和應(yīng)用。它用線段但卻一點也不涉及具體的數(shù)的計算和應(yīng)用。它用線段表示數(shù)，即一般的、抽象的數(shù)，用演繹推理研究其性表示數(shù)，即一般的、抽象的數(shù)，用演繹推理研究其性質(zhì)。它排斥各種理論的實際應(yīng)用，重視抽象理論、鄙質(zhì)。它排斥各種理論的實際應(yīng)用，重視抽象理論、鄙視具體運用是視具體運用是幾何原本幾何原本的基本傾向。的基本傾向。.l（3）公理化的方法）公理化的方法l作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種基本的表述方法和發(fā)展方式的公理法就作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種基本的表述方法和發(fā)展方式的公理法就是以歐幾里得的是以歐幾里得的幾何原本幾何原本開其端的。它采用了前面我們說的開其端的。它采用了前面我們說的比較

10、嚴(yán)格的演繹體系比較嚴(yán)格的演繹體系通常稱為公理體系，而建立公理體系的通常稱為公理體系，而建立公理體系的方法就稱為公理方法。歐幾里得的公理法對后世影響極大，方法就稱為公理方法。歐幾里得的公理法對后世影響極大，幾幾何原本何原本作為公理法的典范對數(shù)學(xué)以及科學(xué)的發(fā)展起了很大的作作為公理法的典范對數(shù)學(xué)以及科學(xué)的發(fā)展起了很大的作用?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)和各門科學(xué)中的公理法正是由用。現(xiàn)代數(shù)學(xué)和各門科學(xué)中的公理法正是由幾何原本幾何原本的公理的公理法發(fā)展出來的。法發(fā)展出來的。l作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種基本的表述方法和發(fā)展方式的公理法就作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種基本的表述方法和發(fā)展方式的公理法就是以歐幾里得的是以歐幾里得的幾何原本幾何原本開

11、其端的。它采用了前面我們說的開其端的。它采用了前面我們說的比較嚴(yán)格的演繹體系比較嚴(yán)格的演繹體系通常稱為公理體系，而建立公理體系的通常稱為公理體系，而建立公理體系的方法就稱為公理方法。方法就稱為公理方法。.三三 幾何原本幾何原本的思想方法源遠(yuǎn)的思想方法源遠(yuǎn)流長流長 l幾何原本幾何原本可以說是古希臘數(shù)學(xué)思想的集中可以說是古希臘數(shù)學(xué)思想的集中表現(xiàn)，它把古希臘數(shù)學(xué)的特點，數(shù)學(xué)思想方法表現(xiàn)，它把古希臘數(shù)學(xué)的特點，數(shù)學(xué)思想方法的特點發(fā)揚光大了。的特點發(fā)揚光大了。l幾何原本幾何原本是古希臘數(shù)學(xué)由泰勒斯和畢達(dá)哥是古希臘數(shù)學(xué)由泰勒斯和畢達(dá)哥拉斯開其端的傳統(tǒng)發(fā)展的產(chǎn)物，可以說是古希拉斯開其端的傳統(tǒng)發(fā)展的產(chǎn)物，可以

12、說是古希臘數(shù)學(xué)的最高成就。它開拓了數(shù)學(xué)思想發(fā)展的臘數(shù)學(xué)的最高成就。它開拓了數(shù)學(xué)思想發(fā)展的一個取之不竭的源泉，對人類文化的發(fā)展做出一個取之不竭的源泉，對人類文化的發(fā)展做出了重大的貢獻(xiàn)。了重大的貢獻(xiàn)。 .九章算術(shù)九章算術(shù)的內(nèi)容及思想方法的內(nèi)容及思想方法l九章算術(shù)九章算術(shù)全書約有全書約有90余條抽象性的算法、余條抽象性的算法、公式，公式，246道例題及其解法，包括豐富的算術(shù)、道例題及其解法，包括豐富的算術(shù)、代數(shù)和幾何內(nèi)容。書中的代數(shù)和幾何內(nèi)容。書中的246道題，幾乎全是道題，幾乎全是應(yīng)用題，結(jié)構(gòu)上分為：應(yīng)用題，結(jié)構(gòu)上分為：“問問”“”“答答”“”“術(shù)術(shù)”。這些問題按不同的用途分為九部分，故名這些問題

13、按不同的用途分為九部分，故名九九章算術(shù)章算術(shù)。.l第一章，第一章，“方田方田”，計有，計有38道問題，其中計算道問題，其中計算各種形狀的田地面積的題目有各種形狀的田地面積的題目有24道，提供了道，提供了“方田術(shù)方田術(shù)”、“圭田術(shù)圭田術(shù)”、“邪田術(shù)邪田術(shù)”、“箕箕田術(shù)田術(shù)”、“圓田術(shù)圓田術(shù)”、“宛田術(shù)宛田術(shù)”、“弧田弧田術(shù)術(shù)”、“環(huán)田術(shù)環(huán)田術(shù)”等多種算法。還有與計算面等多種算法。還有與計算面積有關(guān)的分?jǐn)?shù)四則計算題積有關(guān)的分?jǐn)?shù)四則計算題14道。這一章里注重道。這一章里注重研究了各種具體田地面積的計算法。研究了各種具體田地面積的計算法。ll第九章第九章.l九章算術(shù)九章算術(shù)的出現(xiàn)，標(biāo)志著我國古代數(shù)學(xué)體

14、系的正式確立，當(dāng)?shù)某霈F(xiàn)，標(biāo)志著我國古代數(shù)學(xué)體系的正式確立，當(dāng)中有以下的一些特點：中有以下的一些特點：l1、是一個應(yīng)用數(shù)學(xué)體系，全書表述為應(yīng)用問題集的形式；、是一個應(yīng)用數(shù)學(xué)體系，全書表述為應(yīng)用問題集的形式；l2、以算法為主要內(nèi)容，全書以問、答、術(shù)構(gòu)成，、以算法為主要內(nèi)容，全書以問、答、術(shù)構(gòu)成，“術(shù)術(shù)”是主要是主要需闡述的內(nèi)容；需闡述的內(nèi)容；l3、以算籌為工具。、以算籌為工具。 l 九章算術(shù)九章算術(shù)取得了多方面的數(shù)學(xué)成就，包括：分?jǐn)?shù)運算、取得了多方面的數(shù)學(xué)成就，包括：分?jǐn)?shù)運算、比例問題、雙設(shè)法、一些面積、體積計算、一次方程組解法、負(fù)比例問題、雙設(shè)法、一些面積、體積計算、一次方程組解法、負(fù)數(shù)概念的引

15、入及負(fù)數(shù)加減法則、開平方、開立方、一般二次方程數(shù)概念的引入及負(fù)數(shù)加減法則、開平方、開立方、一般二次方程解法等。解法等。九章算術(shù)九章算術(shù)的思想方法對我國古代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的的思想方法對我國古代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響。自隋唐之際，影響。自隋唐之際，九章算術(shù)九章算術(shù)已傳入朝鮮、日本，現(xiàn)在更被已傳入朝鮮、日本，現(xiàn)在更被譯成多種文字。譯成多種文字。 .九章算術(shù)九章算術(shù)思想方法的特點思想方法的特點l（1）開放的歸納體系）開放的歸納體系l九章算術(shù)九章算術(shù)是按著當(dāng)時社會實踐所需要解決的是按著當(dāng)時社會實踐所需要解決的問題來分類的，每一類問題來分類的，每一類(一章一章)中設(shè)置若干個實際問題，中設(shè)置若干個實際問題，每

16、個問題都給出答案，并提供有關(guān)的算法。由于實際每個問題都給出答案，并提供有關(guān)的算法。由于實際問題是從具體的東西開始研究，所以是一個歸納的體問題是從具體的東西開始研究，所以是一個歸納的體系系從個別的問題到一般的算法。又由于是按當(dāng)時從個別的問題到一般的算法。又由于是按當(dāng)時社會實踐所需要解決的問題來分類的，那么社會實踐社會實踐所需要解決的問題來分類的，那么社會實踐的發(fā)展必然向數(shù)學(xué)提出新的問題來，那也就必然會直的發(fā)展必然向數(shù)學(xué)提出新的問題來，那也就必然會直接促進數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的發(fā)展直接來自社會實踐中接促進數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的發(fā)展直接來自社會實踐中的問題，所以是一個開放的體系。整個中國古代數(shù)學(xué)的問題，所以

17、是一個開放的體系。整個中國古代數(shù)學(xué)思想都具有這個特點，思想都具有這個特點，九章算術(shù)九章算術(shù)是它的一個典型是它的一個典型代表。代表。.l（2）算法化的內(nèi)容）算法化的內(nèi)容l前面我們已談過前面我們已談過九章算術(shù)九章算術(shù)的結(jié)構(gòu)特點：按應(yīng)的結(jié)構(gòu)特點：按應(yīng)用方向或主要應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型把全書劃分為若干章，用方向或主要應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型把全書劃分為若干章，在每一章內(nèi)舉出若干個實際問題，對每個問題都給出在每一章內(nèi)舉出若干個實際問題，對每個問題都給出答案，然后給出這一類問題的算法。答案，然后給出這一類問題的算法。九章算術(shù)九章算術(shù)中中稱這種算法為稱這種算法為“術(shù)術(shù)”，按，按“術(shù)術(shù)”給出的程序去做就一給出的程序去做就一定能

18、求出問題的答案來。歷來數(shù)學(xué)家對定能求出問題的答案來。歷來數(shù)學(xué)家對九章算術(shù)九章算術(shù)的注售校夕基本上都是在的注售校夕基本上都是在“術(shù)術(shù)”上作文章，即不斷改上作文章，即不斷改進算法。進算法。 舉一個例子：舉一個例子：九章算術(shù)九章算術(shù)第一章第一章“方田方田”的第的第5、6題及有關(guān)的題及有關(guān)的“術(shù)術(shù)”。.l（3）模型化的方法）模型化的方法l從方法論的角度來看，從方法論的角度來看，九章算術(shù)九章算術(shù)廣泛廣泛地采用了模型化方法。它在每一章中所設(shè)置的地采用了模型化方法。它在每一章中所設(shè)置的問題，都是在大量的實際問題中選擇具有典型問題，都是在大量的實際問題中選擇具有典型性的現(xiàn)實原型，然后再通過性的現(xiàn)實原型，然后再

19、通過“術(shù)術(shù)”(即算法即算法)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。其中有些章就是探討某種數(shù)學(xué)化成數(shù)學(xué)模型。其中有些章就是探討某種數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用的模型的應(yīng)用的其章的標(biāo)題也就是。這種數(shù)其章的標(biāo)題也就是。這種數(shù)學(xué)模型的名稱，如學(xué)模型的名稱，如“勾股勾股”、“方程方程”等章。等章?！八シ炙シ帧薄ⅰ吧購V少廣”等章也是由數(shù)學(xué)模型開始等章也是由數(shù)學(xué)模型開始的。的。.1、九章算術(shù)九章算術(shù)在中國數(shù)學(xué)史上在中國數(shù)學(xué)史上的地位的地位l九章算術(shù)九章算術(shù)是我國的算經(jīng)之首，在中國數(shù)學(xué)史上是一部承前啟是我國的算經(jīng)之首，在中國數(shù)學(xué)史上是一部承前啟后的數(shù)學(xué)巨著，對后世的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。后的數(shù)學(xué)巨著，對后世的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。l九

20、章算術(shù)九章算術(shù)為中國古代數(shù)學(xué)著作提供了編撰創(chuàng)作的范例和樣板，為中國古代數(shù)學(xué)著作提供了編撰創(chuàng)作的范例和樣板，建立了中國古代數(shù)學(xué)的基本框架。以后的數(shù)學(xué)著作大體為兩種模建立了中國古代數(shù)學(xué)的基本框架。以后的數(shù)學(xué)著作大體為兩種模式，一是以式，一是以九章算術(shù)九章算術(shù)為樣本編撰新的著作，如為樣本編撰新的著作，如孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)、張丘建算經(jīng)張丘建算經(jīng)、四元玉鑒四元玉鑒等。另一種就是采取為等。另一種就是采取為九章算九章算術(shù)術(shù)作注的形式，以作注的形式，以九章算術(shù)九章算術(shù)為研究內(nèi)容。如劉徽注、賈憲為研究內(nèi)容。如劉徽注、賈憲細(xì)草、楊輝祥解等，這種形式也造就了大批的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，如：細(xì)草、楊輝祥解等，這種形式也造就了大批的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，如：劉徽、祖沖之、祖暅之、楊輝等。劉徽、祖沖之、祖暅之、楊輝等。l由于從唐代開始，由于從唐代開始，九章算術(shù)九章算術(shù)被欽定為教科書，這也決定了中被欽定為教科書，這也決定了中國古代數(shù)學(xué)的框架基本上是從國古代數(shù)學(xué)的框架基本上是從九章算術(shù)九章算術(shù)發(fā)展起來的。因此還發(fā)展起來的。因此還可以說可以說九章算術(shù)九章算術(shù)奠定了中國數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。奠定了中國數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。.2、九章算術(shù)九章算